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Entrainement 3


Étude des fonctions polynômes du second degré





79
[Chercher.]
ff est une fonction polynôme du second degré dont on donne les informations suivantes :
  • l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)0f ( x ) \geqslant 0 est ];1][2;+[;] - \infty \: ; 1 ] \cup [ 2 \: ; + \infty [ \: ;
  • l’image de 00 par ff est 3.3.

Déterminer une expression de la fonction ff en fonction de x.x .

65
[Raisonner.] ◉◉
xx est un réel tel que 4<x3.- 4 \lt x \leqslant 3. Déterminer un encadrement de :
1. (x+5)21( x + 5 ) ^ { 2 } - 1

2. 3(x4)2+6- 3 ( x - 4 ) ^ { 2 } + 6

75
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=5(x1)23.f ( x ) = 5 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 3. CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormé du plan.
1. Démontrer que ff est décroissante sur ];1].] - \infty \: ; 1 ].

2. Dresser le tableau de variations de ff sur R.\mathbb { R }.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. Déterminer l’extremum de ff sur R.\mathbb { R }.

80
[Chercher.]
ff est une fonction polynôme du second degré dont voici le tableau de signes.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence

Proposer une expression de ff en fonction de x.x .

66
[Chercher.]
Résoudre dans R\mathbb { R } les inéquations suivantes.
1. (x3)236( x - 3 ) ^ { 2 } \leqslant 36

2. 3(x+1)2843 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 8 \leqslant 4

3. 2(x+1)24102 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 \geqslant 10

4. 5(x2)210- 5 ( x - 2 ) ^ { 2 } \geqslant 10

87
[Raisonner.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=(x132)(x12).f ( x ) = - \left( x - \dfrac { 13 } { 2 } \right) \left( x - \dfrac { 1 } { 2 } \right).
CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormal du plan.
À l’aide de l’outil calcul formel de GeoGebra, nous obtenons les résultats suivants.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence

Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée :
1. Calculer f(0).f(0).

2. Résoudre l’équation f(x)=9.f(x) = 9 .

3. Dresser le tableau de signes de f.f .
Couleurs
Formes
Dessinez ici


4. Résoudre l’inéquation f(x)>0.f(x) \gt 0 .

5. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de CfC_f se situant en dessous de l’axe des abscisses.

71
[Raisonner.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=2(x+7)21.f ( x ) = - 2 ( x + 7 ) ^ { 2 } - 1 . CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormal du plan.
1. a. Démontrer que la fonction ff est croissante sur ];7].] - \infty \: ; - 7 ].

b. Dresser son tableau de variations sur R.\mathbb { R }.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Donner l’équation réduite de l’axe de symétrie de CfC_f et les coordonnées du sommet S\text{S} de Cf.C_f.

74
[Raisonner.]
gg est la fonction définie sur R\mathbb { R } par g(x)=3(x+4)22.g ( x ) = - 3 ( x + 4 ) ^ { 2 } - 2.
Déterminer l’extremum de gg sur R.\mathbb { R }.

81
[Chercher.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=5(x2)(x+5)f ( x ) = 5 ( x - 2 ) ( x + 5 )
1. Étudier le signe de ff sur R.\mathbb { R }.

2. En déduire l’ensemble des solutions de :
a. f(x)=0f ( x ) = 0

b. f(x)0f ( x ) \leqslant 0

c. f(x)>0f ( x ) \gt 0

69
[Raisonner.]
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=4x2+1.f(x) = -4x^2 + 1 .
1. Démontrer que ff est croissante sur ];0].] - \infty \: ; 0 ].

2. Dresser son tableau de variations sur R.\mathbb { R }.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

89
[Chercher.]
Francis, entrepreneur, décide de fabriquer une gouttière dont la section a une forme parabolique.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence
Étude des fonctions polynômes du second degré -  gouttiere - Fonctions de référence

La fonction polynôme du second degré ff qui servira à la conception est représentée ci-dessus. Pour lancer la fabrication, Francis doit déterminer une expression de la fonction f.f . Hélas, il a perdu la plupart de ses documents de préparation.
Il connaît seulement deux informations :
  • L’ensemble des solutions de f(x)0f ( x ) \leqslant 0 est un intervalle d’amplitude 1010 ;
  • Le sommet de la parabole représentant ff est le point S(3;5).S ( - 3 \: ; - 5 ).

Aider Fabrice à retrouver une expression de ff pour lancer la production.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 42 ; 46 ; 56 ; 63 ; 64 ; 78 ; 81 et 84
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 48 ; 59 ; 65 ; 67 ; 70 ; 72 ; 82 ; 87 et 91
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 75 ; 85 ; 86 et 88

88
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3(x+2)2+27.f ( x ) = - 3 ( x + 2 ) ^ { 2 } + 27. CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormal du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x,x , on a :
a. f(x)=3x212x+15f ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 12 x + 15 ;

b. f(x)=3(x1)(x+5).f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 5 ).

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
a. Déterminer les antécédents de 00 par f.f .

b. Calculer f(2).f(-2) .

c. Déterminer l’extremum de ff sur R.\mathbb { R }.

d. Résoudre l’équation f(x)=15.f ( x ) = 15.

e. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de CfC_f avec l’axe des ordonnées.

67
[Chercher.] ◉◉
ff est une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=ax2+bx+c.f(x) = ax^2 + bx + c . On note CfC_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On donne les informations suivantes :
  • Le point de CfC_f d’abscisse 00 a pour ordonnée 2.-2 .
  • ff est d’abord croissante puis décroissante.
  • Les antécédents de 2-2 par ff sont 00 et 5.5.

Proposer deux expressions possibles de ff en fonction de x.x .

90
[Chercher.]
À l’aide de la calculatrice, on a tracé la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré g.g. Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (12;2512).\left( - \dfrac { 1 } { 2 } \: ; - \dfrac { 25 } { 12 } \right).
De plus, la courbe coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0;2).(0 \: ; - 2) .

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence

En le justifiant, déterminer les deux solutions de l’équation g(x)=0.g(x) = 0 .

84
[Raisonner.] ◉◉
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb { R } par f(x)=x2f ( x ) = x ^ { 2 } et g(x)=6x9.g ( x ) = 6 x - 9.
1. a. Tracer, à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions ff et g,g , notées respectivement CfC_f et Cg.C_g .

Lancer le module Geogebra
b. Conjecturer alors les coordonnées du ou des points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g .

c. Conjecturer la position relative des courbes CfC_f et Cg.C_g .

2. Démontrer de manière algébrique les deux conjectures émises.

70
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=4(x+2)23.f ( x ) = 4 ( x + 2 ) ^ { 2 } - 3.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que ff est décroissante sur ];2]] - \infty \: ; -2 ] puis de dresser son tableau de variations sur R.\mathbb { R }.
1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels aa et bb tels que : a<ba \lt b \leqslant
Alors : a+2a + 2 b+2b + 2\leqslant
(a+2)2( a + 2 ) ^ { 2 } (b+2)2( b + 2 ) ^ { 2 } car
4(a+2)24 ( a + 2 ) ^ { 2 } 4(b+2)24 ( b + 2 ) ^ { 2 }
4(a+2)234 ( a + 2 ) ^ { 2 }-3 4(b+2)234 ( b + 2 ) ^ { 2 }-3
f(a)f(a) f(b) f(b)
Donc, la fonction ff est sur . »

2. Dresser le tableau de variations de ff sur R.\mathbb { R }.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

78
[Représenter.] ◉◉
ff est une fonction polynôme du second degré dont on a tracé la représentation graphique à l’aide de la calculatrice.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence


1. Dresser le tableau de signe de ff sur R.\mathbb { R }.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Déterminer la forme factorisée de f.f.

68
DÉMO
[Raisonner.]
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=5x23.f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 3.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que ff est décroissante sur ];0]] - \infty \: ; 0 ] puis de dresser son tableau de variations sur R.\mathbb { R }.
1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels aa et bb tels que : a<ba \lt b \leqslant
Alors : a2a^2 b2b^2 car
5a25a^2 5b25b^2
5a235a^2 - 3 5b235b^2 - 3
f(a)f(a) f(b) f(b)
Donc, la fonction ff est sur . »

2. Dresser le tableau de variations de ff sur R.\mathbb { R }.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

85
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb { R } par f(x)=x2f ( x ) = x ^ { 2 } et g(x)=2x2+5x+2.g ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 5 x + 2.
1. a. Tracer, à l’aide de GeoGebra ou d’une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions ff et g,g , notées respectivement CfC_f et Cg.C_g .

Lancer le module Geogebra
b. Conjecturer les coordonnées des points d’intersection des courbes CfC_f et Cg.C_g .

c. Conjecturer la position relative des courbes CfC_f et Cg.C_g .

2. Justifier que pour tout réel x,x , on a : f(x)g(x)=(3x+1)(x2).f ( x ) - g ( x ) = ( 3 x + 1 ) ( x - 2 ).

3. Démontrer les conjectures émises.

73
[Raisonner.]
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=6(x2)27.f ( x ) = 6 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7.
Déterminer l’extremum de ff sur R.\mathbb { R }.

82
[Chercher.] ◉◉
Résoudre dans R\mathbb { R } les inéquations suivantes.
1. 5(x+2)(x6)<0 5 ( x + 2 ) ( x - 6 ) \lt 0

2. (x5)(x+11)0- ( x - 5 ) ( x + 11 ) \geqslant 0

77
[Représenter.]
ff est définie sur R\mathbb { R } par : f(x)=2(x3)28=2(x5)(x1).f ( x ) = 2 ( x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 2 ( x - 5 ) ( x - 1 ). P\mathcal { P } est sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la forme développée de f.f .

2. Sans démonstration et en précisant la forme utilisée, donner :
a. l’axe de symétrie et le sommet de P ;\mathcal { P } ;

b. le signe de f.f .

83
[Chercher.]
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par : f(x)=6(x3)(x+4). f ( x ) = 6 ( x - 3 ) ( x + 4 ). CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormal du plan.
1. Déterminer les antécédents de 00 par f.f .

2. Déterminer l’ensemble des abscisses des points de CfC_f situés au-dessus de l’axe des abscisses.

64
[Chercher.] ◉◉
Pour chaque cas, donner un encadrement de x2,x^2 , ou une inégalité vérifiée par x2.x^2 .
1. 2<x7- 2 \lt x \leqslant 7

2. 4x<74 \leqslant x \lt 7

3. x>3x \gt - 3

4. x<2x \lt - 2

5. 6x<3- 6 \leqslant x \lt 3

6. 11<x2- 11 \lt x \leqslant - 2

72
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=(x+3)2+5.f ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 2 } + 5.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que ff admet un maximum sur R.\mathbb { R }.
Compléter la démonstration suivante :
« Pour tout réel x, x , on a :
(x+3)2( x + 3 ) ^ { 2 } 00
(x+3)2-( x + 3 ) ^ { 2 } 00
(x+3)2+5-( x + 3 ) ^ { 2 }+5
f(x)f(x)
De plus : ff ( ) == .
Donc, la fonction ff admet pour sur R.\mathbb { R }.
Il est atteint pour x=x =

86
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3(x1)(x73).f ( x ) = 3 ( x - 1 ) \left( x - \dfrac { 7 } { 3 } \right).
CfC_f est la représentation graphique de ff dans un repère orthonormé du plan.
1. Montrer que, pour tout réel x,x , on a :
a. f(x)=3x210x+7f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 10 x + 7

b. f(x)=3(x53)243 f ( x ) = 3 \left( x - \dfrac { 5 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { 3 }

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :
a. f(x)0f ( x ) \leqslant 0

b. f(x)>7f ( x ) \gt 7

c. f(x)6f ( x ) \leqslant 6

76
[Représenter.]
ff est une fonction polynôme définie sur R\mathbb { R } par f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c dont voici le tableau de signes.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Fonctions de référence


Dans chaque cas, préciser si l’affirmation est vraie ou fausse. Justifier chacune de vos réponses. Dans le cas où l’affirmation est fausse, la rectifier pour que celle-ci soit vraie.
1. f(10)<0f ( - 10 ) \lt 0

2. f(9)f(1)f ( - 9 ) \geqslant f ( 1 )

3. f(0)=2f(0) = 2

4. a<0a \lt 0

5. L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=0f ( x ) = 0 est S={8;2}. \mathrm { S } = \{ - 8 \: ; 2 \}.

6. L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)<0f ( x ) \lt 0 est S=[8;2]. \mathrm { S } = [ - 8 \: ; 2 ].
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