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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 2

Entraînement 3

Étude des fonctions polynômes du second degré

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 :exercices

;

Parcours 3 :exercices

;

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64
[Chercher.]

Pour chaque cas, donner un encadrement de

x^{2},

ou une inégalité vérifiée par

x^{2} .

- 2 < x ⩽ 7

4 ⩽ x < 7

x > - 3

x < - 2

- 6 ⩽ x < 3

- 11 < x ⩽ - 2

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65
[Raisonner.]

x

est un réel tel que

- 4 < x ⩽ 3.

Déterminer un encadrement de :

(x + 5)^{2} - 1

- 3 (x - 4)^{2} + 6

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66
[Chercher.]
Résoudre dans

R

les inéquations suivantes.

(x - 3)^{2} ⩽ 36

3 (x + 1)^{2} - 8 ⩽ 4

2 (x + 1)^{2} - 4 ⩾ 10

- 5 (x - 2)^{2} ⩾ 10

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67
[Chercher.]

f

est une fonction polynôme du second degré définie par

f (x) = a x^{2} + b x + c .

On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On donne les informations suivantes :

Le point de $C_{f}$ d'abscisse $0$ a pour ordonnée $- 2.$
$f$ est d'abord croissante puis décroissante.
Les antécédents de $- 2$ par $f$ sont $0$ et $5.$

Proposer deux expressions possibles de

f

en fonction de

x .

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68
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 5 x^{2} - 3.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que

f

est décroissante sur

] - \infty; 0]

puis de dresser son tableau de variations sur

R .

1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels

a

b

tels que :

a < b ⩽

Alors :

a^{2}

b^{2}

car

5 a^{2}

5 b^{2}

5 a^{2} - 3

5 b^{2} - 3

f (a)

f (b)

Donc, la fonction

f

est

sur

. »

2. Dresser le tableau de variations de

f

sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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69
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = - 4 x^{2} + 1.

1. Démontrer que

f

est croissante sur

] - \infty; 0] .

2. Dresser son tableau de variations sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Ressource affichée de l'autre côté.
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70
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 4 (x + 2)^{2} - 3.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que

f

est décroissante sur

] - \infty; - 2]

puis de dresser son tableau de variations sur

R .

1. Compléter la démonstration suivante :
« On considère deux réels

a

b

tels que :

a < b ⩽

Alors :

a + 2

b + 2 ⩽

(a + 2)^{2}

(b + 2)^{2}

car

4 (a + 2)^{2}

4 (b + 2)^{2}

4 (a + 2)^{2} - 3

4 (b + 2)^{2} - 3

f (a)

f (b)

Donc, la fonction

f

est

sur

. »

2. Dresser le tableau de variations de

f

sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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71
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = - 2 (x + 7)^{2} - 1.

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormal du plan. 1. a. Démontrer que la fonction

f

est croissante sur

] - \infty; - 7] .

b. Dresser son tableau de variations sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Donner l'équation réduite de l'axe de symétrie de

C_{f}

et les coordonnées du sommet

S

C_{f} .

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72
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = - (x + 3)^{2} + 5.

L'objectif de cet exercice est de démontrer que

f

admet un maximum sur

R .

Compléter la démonstration suivante :
« Pour tout réel

x,

on a :

(x + 3)^{2}

0

- (x + 3)^{2}

0

- (x + 3)^{2} + 5

f (x)

De plus :

f

(

)

=

.
Donc, la fonction

f

admet

pour

sur

R .

Il est atteint pour

x =

.»

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73
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 6 (x - 2)^{2} - 7.

Déterminer l'extremum de

f

sur

R .

Ressource affichée de l'autre côté.
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74
[Raisonner.]

g

est la fonction définie sur

R

par

g (x) = - 3 (x + 4)^{2} - 2.

Déterminer l'extremum de

g

sur

R .

Ressource affichée de l'autre côté.
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75
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 5 (x - 1)^{2} - 3.

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormé du plan. 1. Démontrer que

f

est décroissante sur

] - \infty; 1] .

2. Dresser le tableau de variations de

f

sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3. Déterminer l'extremum de

f

sur

R .

Ressource affichée de l'autre côté.
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76
[Représenter.]

f

est une fonction polynôme définie sur

R

par

f (x) = a x^{2} + b x + c

dont voici le tableau de signes.

Tableau: variations fonction polynôme second degré. Racines -8 et 2.

Dans chaque cas, préciser si l'affirmation est vraie ou fausse. Justifier chacune de vos réponses. Dans le cas où l'affirmation est fausse, la rectifier pour que celle-ci soit vraie.

f (- 10) < 0

f (- 9) ⩾ f (1)

f (0) = 2

a < 0

5. L'ensemble des solutions de l'équation

f (x) = 0

est

S = {- 8; 2} .

6. L'ensemble des solutions de l'inéquation

f (x) < 0

est

S = [- 8; 2] .

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77
[Représenter.]

f

est définie sur

R

par :

f (x) = 2 (x - 3)^{2} - 8 = 2 (x - 5) (x - 1) .

P

est sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 1. Déterminer la forme développée de

f .

2. Sans démonstration et en précisant la forme utilisée, donner :
a. l'axe de symétrie et le sommet de

P;

b. le signe de

f .

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78
[Représenter.]

f

est une fonction polynôme du second degré dont on a tracé la représentation graphique à l'aide de la calculatrice.

Graphique montrant une fonction polynomiale du second degré représentée par une parabole rouge. Minimum en (0,-6).

1. Dresser le tableau de signe de

f

sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Déterminer la forme factorisée de

f .

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79
[Chercher.]

f

est une fonction polynôme du second degré dont on donne les informations suivantes :

l'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩾ 0$ est $] - \infty; 1] \cup [2; + \infty [;$
l'image de $0$ par $f$ est $3.$

Déterminer une expression de la fonction

f

en fonction de

x .

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80
[Chercher.]

f

est une fonction polynôme du second degré dont voici le tableau de signes.

Tableau: étude du signe d'une fonction polynôme du second degré. Racines -2 et 7.

Proposer une expression de

f

en fonction de

x .

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81
[Chercher.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 5 (x - 2) (x + 5)

1. Étudier le signe de

f

sur

R .

2. En déduire l'ensemble des solutions de :
a.

f (x) = 0

f (x) ⩽ 0

f (x) > 0

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82
[Chercher.]

Résoudre dans

R

les inéquations suivantes. 1.

5 (x + 2) (x - 6) < 0

- (x - 5) (x + 11) ⩾ 0

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83
[Chercher.]

f

est la fonction définie sur

R

par :

f (x) = 6 (x - 3) (x + 4) .

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormal du plan. 1. Déterminer les antécédents de

0

par

f .

2. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de

C_{f}

situés au-dessus de l'axe des abscisses.

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84
[Raisonner.]

On considère les fonctions

f

g

définies sur

R

par

f (x) = x^{2}

g (x) = 6 x - 9.

1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions

f

g,

notées respectivement

C_{f}

C_{g} .

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

b. Conjecturer alors les coordonnées du ou des points d'intersection des courbes

C_{f}

C_{g} .

c. Conjecturer la position relative des courbes

C_{f}

C_{g} .

2. Démontrer de manière algébrique les deux conjectures émises.

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85
[Raisonner.]

On considère les fonctions

f

g

définies sur

R

par

f (x) = x^{2}

g (x) = - 2 x^{2} + 5 x + 2.

1. a. Tracer, à l'aide de GeoGebra ou d'une calculatrice, les courbes représentatives des fonctions

f

g,

notées respectivement

C_{f}

C_{g} .

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

b. Conjecturer les coordonnées des points d'intersection des courbes

C_{f}

C_{g} .

c. Conjecturer la position relative des courbes

C_{f}

C_{g} .

2. Justifier que pour tout réel

x,

on a :

f (x) - g (x) = (3 x + 1) (x - 2) .

3. Démontrer les conjectures émises.

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86
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 3 (x - 1) (x - \frac{7}{3}) .

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormé du plan.

1. Montrer que, pour tout réel

x,

on a :
a.

f (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7

f (x) = 3 (x - \frac{5}{3})^{2} - \frac{4}{3}

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et résoudre les inéquations :
a.

f (x) ⩽ 0

f (x) > 7

f (x) ⩽ 6

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87
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = - (x - \frac{13}{2}) (x - \frac{1}{2}) .

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormal du plan.
À l'aide de l'outil calcul formel de GeoGebra, nous obtenons les résultats suivants.

Image d'exercices mathématiques : développement et forme canonique d'une fonction polynôme du second degré.

Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.

1. Calculer

f (0) .

2. Résoudre l'équation

f (x) = 9.

3. Dresser le tableau de signes de

f .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

4. Résoudre l'inéquation

f (x) > 0.

5. Déterminer l'ensemble des abscisses des points de

C_{f}

se situant en dessous de l'axe des abscisses.

Ressource affichée de l'autre côté.
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88
DÉMO
[Raisonner.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = - 3 (x + 2)^{2} + 27.

C_{f}

est la représentation graphique de

f

dans un repère orthonormal du plan.

1. Montrer que, pour tout réel

x,

on a :
a.

f (x) = - 3 x^{2} - 12 x + 15

;

f (x) = - 3 (x - 1) (x + 5) .

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer la forme la plus adaptée et effectuer la tâche demandée.
a. Déterminer les antécédents de

0

par

f .

b. Calculer

f (- 2) .

c. Déterminer l'extremum de

f

sur

R .

d. Résoudre l'équation

f (x) = 15.

e. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de

C_{f}

avec l'axe des ordonnées.

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89
[Chercher.]
Francis, entrepreneur, décide de fabriquer une gouttière dont la section a une forme parabolique.

Photographie gouttière noire sur toit en construction, charpente bois apparente.

La fonction polynôme du second degré

f

qui servira à la conception est représentée ci-dessus. Pour lancer la fabrication, Francis doit déterminer une expression de la fonction

f .

Hélas, il a perdu la plupart de ses documents de préparation.
Il connaît seulement deux informations :

L'ensemble des solutions de $f (x) ⩽ 0$ est un intervalle d'amplitude $10$ ;
Le sommet de la parabole représentant $f$ est le point $S (- 3; - 5) .$

Aider Fabrice à retrouver une expression de

f

pour lancer la production.

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90
[Chercher.]
À l'aide de la calculatrice, on a tracé la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré

g .

Le sommet de la parabole est le point de coordonnées

(- \frac{1}{2}; - \frac{25}{12}) .

De plus, la courbe coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées

(0; - 2) .

Graphique montrant une parabole rouge concave représentant une fonction polynôme du second degré.

En le justifiant, déterminer les deux solutions de l'équation

g (x) = 0.

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Nouvelle épreuve Bac

Ch. 1Suites numériques

Ch. 2Fonctions de référence

Ch. 3Équations et inéquations du second degré

Ch. 4Dérivation

Ch. 5Applications de la dérivation

Ch. 6Fonction exponentielle

Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Étude des fonctions polynômes du second degré

GeoGebra

GeoGebra

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles