Synthèse - Objectif BAC





91
[Chercher.] ◉◉
Pour tous réels aa et b,b , on définit les réels : M(a,b)=a+b+ab2,\mathrm { M } ( a , b ) = \dfrac { a + b + | a - b | } { 2 }, m(a,b)=a+bab2m ( a , b ) = \dfrac { a + b - | a - b | } { 2 } et S(a)=aa\mathrm { S } ( a ) = \dfrac { a } { | a | } (lorsque a0a \neq 0).

Partie A
1. Choisir deux nombres réels aa et bb et calculer M(a,b).\mathrm { M } ( a , b ). Réitérer plusieurs fois le procédé et vérifier que l’on peut conjecturer que M(a,b)\mathrm { M } ( a , b ) donne le maximum entre aa et b.b .

2. On suppose ab.a \geqslant b. Montrer que M(a,b)=a.\mathrm { M } ( a , b ) = a. Conclure.

3. Choisir aRa \in \mathbb { R } et tracer la courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb { R } par f(x)=M(a,x).f ( x ) = \mathrm { M } ( a , x ). Qu’observe-t-on ? Pouvait-on prévoir le comportement de f?f \: ?

Lancer le module Geogebra

Partie B
1. Choisir deux nombres réels aa et bb et calculer m(a,b).m(a , b). Réitérer plusieurs fois le procédé et conjecturer sur la valeur de m(a,b).m(a , b).

2. Démontrer cette conjecture de la même manière que dans la première partie.


Partie C
Conjecturer et démontrer ce que renvoie la fonction S.\text{S} .

Histoire des maths

 Histoire des maths - L'Homme de Vitruve

Le nombre d’or Φ\Phi se lit « phi » et est, depuis l’Antiquité, considéré comme une « divine proportion ». Ce nombre d’or sera longtemps considéré comme un synonyme de beauté, de pureté d’esthétisme. Il est utilisé en peinture, en sculpture, en architecture, etc. Un rectangle d’or est un rectangle dont le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal à Φ.\Phi.

Voici quelques exemples d’utilisation de cette « divine proportion » :
  • l’Homme de Vitruve de Léonard de Vinci;
  • le Parthénon d'Athènes ;
  • etc.

L’étude du nombre d’or a apporté des avancées dans différentes branches des mathématiques : suite de Fibonacci, arithmétique, géométrie, etc.

92
En Physique
[Modéliser.]
Le lendemain de la finale de la coupe du monde de football de 2018, la ville de Bondy (ville où Kylian Mbappé a grandi), a décidé d’organiser un spectacle pour fêter la deuxième étoile de l’équipe de France. Édouard, en charge de cet événement, prévoit un lancer de fusées en direction du public, situé à 120 m du lancement. Pour des raisons de sécurité, les fusées doivent atterrir à plus de 20 m des spectateurs.
Voici le schéma représentant la situation :

Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence

Les physiciens ont démontré la formule suivante, définissant la trajectoire d’un projectile de coordonnées (x;y)( x ; y ) lancé à une vitesse de départ vv en m·s-1 en faisant un angle α \alpha (en degré) avec l’horizontale :
y=g2v2x2[1+(tanα)2]+(tanα)xy = - \dfrac { g } { 2 v ^ { 2 } } x ^ { 2 } \left[ 1 + ( \tan \alpha ) ^ { 2 } \right] + ( \tan \alpha ) xg=9,81g = 9,81 m·s–2.
Édouard veut lancer une fusée à une vitesse de 50 m·s-1 avec un angle α=80°.\alpha = 80° .

1. Les consignes de sécurité seraient-elles respectées ?

2. Quelle est la hauteur maximale du projectile ? À quelle distance d’Édouard cette hauteur est-elle atteinte ? Donner des valeurs approchées à l’unité.

97
En géométrie
[Raisonner.]
On considère les deux réels Φ=1+52\Phi = \dfrac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } et Ψ=152.\Psi = \dfrac { 1 - \sqrt { 5 } } { 2 } .
Le nombre Φ\Phi est appelé nombre d’or. Nous allons étudier quelques propriétés de ce nombre d’or, ainsi que des rectangles d’or.

Partie A : ff est la fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb { R } par f(x)=x2x1.f(x) = x^2 - x - 1 .
1. a. Montrer que Φ\Phi et Ψ \Psi sont les antécédents de 00 par f.f .

b. En déduire la forme factorisée de ff en fonction de Φ\Phi et Ψ. \Psi.

c. Démontrer que, pour tout réel x,x , on a : f(x)=(x12)254.f ( x ) = \left( x - \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 5 } { 4 }.

d. Dresser le tableau de variations de ff sur R.\mathbb { R }.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Démontrer que Ψ=1Φ\Psi = 1 - \Phi puis que Φ=1+1Φ.\Phi = 1 + \dfrac { 1 } { \Phi } .


Partie B : ABCD\text{ABCD} est un rectangle tel que AD=a\text{AD} = a et CD=a+b\mathrm { CD } = a + b et ab=Φ. \dfrac { a } { b } = \Phi.
E\text{E} et F\text{F} sont des points appartenant respectivement aux segments [AB][\text{AB}] et [CD][\text{CD}] tels que AE=DF=a.\text{AE} = \text{DF} = a .
Un tel rectangle est appelé rectangle d’or.
1. a. Montrer que : ABAD=BCBE=Φ.\dfrac { \mathrm { AB } } { \mathrm { AD } } = \dfrac { \mathrm { BC } } { \mathrm { BE } } = \Phi .

b. G\text{G} et H\text{H} sont des points appartenant respectivement aux segments [EF][\text{EF}] et [BC][\text{BC}] tels que EG=BH=b.\text{EG} = \text{BH} = b .
Montrer que : BCFC=GHCH=Φ.\dfrac { \mathrm { BC } } { \mathrm { FC } } = \dfrac { \mathrm { GH } } { \mathrm { CH } } = \Phi .

2. AEFD\text{AEFD} est un carré de côté a.a . I\text{I} est le milieu du segment [DF].[\text{DF}]. Le cercle de centre I\text{I} et de rayon aa coupe la demi-droite [DF)[\text{DF}) au point C.\text{C}. B\text{B} est le point tel que ABCD\text{ABCD} soit un rectangle.
a. Faire une figure.

Lancer le module Geogebra
b. Démontrer que le rectangle ABCD\text{ABCD} est un rectangle d’or.

96
[Chercher.]
On définit la fonction f:x4x1+2x8.f : x \longmapsto | 4 x - 1 | + | 2 x - 8 |.

Lancer le module Geogebra

1. Tracer la courbe représentative de cette fonction à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra.
2. a. Dresser le tableau de signes de la fonction x4x1.x \mapsto 4 x - 1 .

Couleurs
Formes
Dessinez ici


b. Que vaut 4x1| 4 x - 1 | lorsque 4x10?4 x - 1 \geqslant 0 \: ? lorsque 4x10?4 x - 1 \leqslant 0 \: ?

c. En déduire l’expression de x4x1x \mapsto | 4 x - 1 | selon que x14 x \leqslant \dfrac { 1 } { 4 } ou x14 x \geqslant \dfrac { 1 } { 4 }

3. Procéder de même pour la fonction x2x8.x \mapsto | 2 x - 8 |.


Couleurs
Formes
Dessinez ici


4. En déduire l’expression de ff sur les intervalles ];14],\left] - \infty \: ; \dfrac { 1 } { 4 } \right], [14;4]\left[ \dfrac { 1 } { 4 } \: ; 4 \right] et [4;+[.[ 4 \: ; + \infty [.

5. Déterminer alors les variations de ff sur R. \mathbb { R }.

Club de Maths


99
DÉFI

Ama est une cordonnière. Elle doit fabriquer sur-mesure des embouts de chaussures pour un client. Afin de se faciliter la tâche, elle souhaite fabriquer un patron réutilisable pour d’autres demandes. Cet embout prend la forme d’une parabole dont voici l’une des représentations :

Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence

L’embout doit dépasser de 10 mm de chaque côté du pied et de 30 mm au-dessus des orteils (voir schéma).
1. Déterminer l’équation de la parabole nécessaire à la production.

2. Ama réutilise la même parabole pour répondre aux attentes d’un autre client, dont le haut du pied est 5 cm plus grand. Déterminer la largeur L\text{L} de ce nouvel embout.

101
DÉFI

Extrait de Rallye Mathématique du Centre, 2015.
Jean-Pierre vient d’acheter un nouveau téléviseur pour remplacer l’ancien tombé en panne. Il remarque que les deux téléviseurs ont des dimensions extérieures identiques de 102 cm sur 63 cm, le nouveau ayant pourtant une dalle d’écran de 117 cm de diagonale alors que celle de l’ancien écran était de 104 cm. Il se dit que la différence doit provenir du cadre de largeur régulière qui entoure les écrans. Il est beaucoup plus fin sur le nouveau, il ne fait que 1 cm de large.

1. Vérifier que la dalle de l’écran du nouveau téléviseur est bien d’environ 117 cm.

2. Trouver la largeur du cadre qui entourait l’ancien téléviseur de Jean-Pierre.

102
ÉNIGME

Flavie décide d’effectuer un saut à l’élastique du viaduc de Garabit, dans le Cantal, réalisé par Gustave Eiffel en 1884. Sur le schéma ci-dessous, on a reporté les informations connues par Flavie.
Les consignes de saut sont telles que la longueur de l’élastique doit être égale à 13 \dfrac { 1 } { 3 } de la hauteur entre l’endroit du saut et la surface de l’eau.

Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence

Quelle longueur d’élastique doit-elle acheter ?

100
CASSE-TÊTE

On considère un entier naturel n.n .
On note S\text{S} la somme des carrés, c’est-à-dire S=12+22+32++n2.\text{S} = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \ldots + n ^ { 2 }.

Déterminer S\text{S} en fonction de n.n .

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 42 ; 46 ; 56 ; 63 ; 64 ; 78 ; 81 et 84
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 48 ; 59 ; 65 ; 67 ; 70 ; 72 ; 82 ; 87 et 91
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 60 ; 71 ; 75 ; 85 ; 86 et 88

98
[Chercher.]
ff et gg sont les fonctions définies sur R\mathbb { R } par f(x)=2x2+4x+49f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } + 4 x + 49 et g(x)=x22x+4.g ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 4.
CfC_f et CgC_g sont respectivement les représentations graphiques de ff et gg dans un repère orthonormé du plan.
1. a. En remarquant que x22xx^2 - 2x est le début d’une identité remarquable, compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x,x , on a :
g(x)=(xg ( x ) = ( x - )2 ) ^ { 2 } - +4;+\: 4 \: ;
g(x)=(xg ( x ) = ( x - )2+ ) ^ { 2 } + .

b. Déterminer les antécédents de 1919 par g.g .

2. a. Compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x,x , on a :
3x2+6x+45- 3 x ^ { 2 } + 6 x + 45
=3( = - 3 ( - - ) )
=3[(x= - 3 [ ( x - )2 ) ^ { 2 } - - ]]
=3[(x= - 3 [ ( x - )2 ) ^ { 2 } - 2] ^ { 2 } ]

En utilisant une identité remarquable, on obtient :
3x2+6x+45=3(x- 3 x ^ { 2 } + 6 x + 45 = - 3 ( x - )(x+ ) ( x + ))
b. Étudier la position relative des courbes CfC_f et Cg.C_g .

3. Application : un jardinier doit faire le parterre suivant qui correspond aux courbes CfC_f et Cg.C_g .
L’unité est le mètre.
Déterminer les dimensions AB\text{AB} et CD\text{CD} de ce parterre en s’aidant des informations du graphique.


Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence

94
En Physique
[Modéliser.]
L’objectif est d’étudier la distance d’arrêt d’un véhicule selon sa vitesse. La distance D\text{D} d’arrêt d’un véhicule est la somme de la distance de réaction R\text{R} et de la distance F\text{F} de freinage : D=R+F. \text{D} = \text{R} + \text{F} .

Synthèse - Objectif BAC - voiture -Fonctions de référence

Le tableau ci-après sera complété en arrondissant les résultats à l’unité.

 Vitesse en km·h-1 50 80 90 110 130
 Vitesse en m·s-1
 Distance de freinage en m
Distance d'arrêt en m

Partie A : Distance de réaction
La distance de réaction est celle parcourue entre l’observation de la situation et le freinage. Le temps de réaction est d’une seconde pour un conducteur concentré.
1. Compléter la deuxième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance de réaction pour un véhicule roulant à 8080 km·h–1 ? à 9090 km·h–1 ?


Partie B : Distance de freinage
La distance de freinage est celle parcourue par le véhicule lorsque le conducteur appuie sur le frein. D’après les physiciens, cette distance (sur route sèche et entretenue) est, pour une vitesse vv exprimée en m·s–1, égale à : D(v)v212,75.\mathrm { D } ( v ) \approx \dfrac { v ^ { 2 } } { 12\text{,}75 }.
1. Compléter la troisième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance de freinage pour un véhicule roulant à 8080 km·h–1 ? à 9090 km·h–1 ?


Partie C : Distance d’arrêt
1. Compléter la quatrième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance d’arrêt pour un véhicule roulant à 8080 km·h–1 ? à 9090 km·h–1 ?


Partie D : Distance d’arrêt avec d’autres conditions
1. Lorsque la route est mouillée, la distance de freinage est doublée. Calculer alors les distances d’arrêt pour les différentes vitesses du tableau.

2. Lorsque le conducteur est en état d’ébriété, la distance de réaction est triplée. Calculer alors les distances d’arrêt pour les différentes vitesses du tableau.

93
En Physique
[Modéliser.]
Carine, agricultrice, doit arroser un champ. Ne voulant pas perdre d’eau, elle souhaite savoir comment orienter le jet pour éviter d’asperger la route bordant son champs. On note A\text{A} l’emplacement du tuyau d’arrosage et R\text{R} l’impact du jet d’eau voulu par Carine : AR=150\text{AR} = 150 m.
Voici deux schémas représentant la situation :

Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence
  
Synthèse - Objectif BAC - Fonctions de référence

Dans cet exercice, nous utiliserons la formule de la trajectoire d’un projectile de coordonnées (x;y)(x\:;y) lancé à une vitesse de départ vv en m·s–1 en faisant un angle de α\alpha (en degré) avec l’horizontale et α>45°:\alpha \gt 45 ° : y=g2v2x2[1+(tanα)2]+(tanα)xy = - \dfrac { g } { 2 v ^ { 2 } } x ^ { 2 } \left[ 1 + ( \tan \alpha ) ^ { 2 } \right] + ( \tan \alpha ) xg=9,81g = 9,81 m·s–2.
À la sortie du tuyau, l’eau a une vitesse de 5656 m·s–1 avec un angle α.\alpha.

1. Justifier que répondre au problème revient à résoudre l’équation suivante :
2943z2+12544z2943=0-2\:943z^2 + 12\:544z - 2\:943 = 0 d’inconnue z.z .

2. À l’aide d’une calculatrice, déterminer les solutions de cette équation. Arrondir les résultats au centième.

3. En déduire l’angle α\alpha que doit utiliser Carine.

95
GEOGEBRA
[Modéliser.]
Lia, maître-nageuse sauveteuse, doit surveiller une plage et doit être à égale distance de la vedette de secours et du bord de mer. La vedette est placée à 10 m du bord de l’eau. L’objectif est de déterminer le chemin que Lia doit emprunter pour respecter cette obligation.
On note V\text{V} le point représentant la vedette et L\text{L} le point représentant Lia.

Synthèse - Objectif BAC - Bateau sauveteur - Fonctions de référence

Lancer le module Geogebra

Partie A : Conjecture à l’aide de GeoGebra
1. a. Tracer la droite dd d’équation y=0y = 0 représentant le bord de l’eau.
b. Placer V(10;10).\text{V}(10 \: ; 10) .
c. Placer un point P\text{P} sur la droite d.d . Tracer la droite d1d_1 perpendiculaire à dd passant par P.\text{P}. La distance entre Lia et l’eau est la distance entre L\text{L} et la droite d.d . Cette distance est égale à la longueur LP\text{LP} lorsque Ld1.\mathrm { L } \in d _ { 1 }.

 Fonctions de référence


2. a. Tracer la médiatrice d2d_2 du segment [VP].[\text{VP}].
b. Justifier que L\text{L} appartient à d2.d_2.
c. Placer alors L\text{L} à l’intersection de d1d_1 et d2.d_2.
3. Afficher la trace de L\text{L} puis déplacer le point P.\text{P}. Que remarque-t-on ?


Partie B : Démonstration
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j)( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ) du plan. P\text{P} appartient à l’axe des abscisses donc P\text{P} a pour coordonnées P(x;0)\mathrm { P } ( x \: ; 0 )xx est un réel.
1. Quelle est l’abscisse de L?\text{L} \: ? On note yy son ordonnée.

2. Exprimer LP2\mathrm { L } \mathrm { P } ^ { 2 } puis LV2\mathrm { L } \mathrm { V } ^ { 2 } en fonction de xx et y.y .

3. En déduire yy en fonction de x.x .

4. On définit la fonction f:xy.f : x \mapsto y. Quelle est la nature de cette fonction ?

5. a. Justifier que, pour tout réel x,x , on a : x220x800=(x10)2900.x ^ { 2 } - 20 x - 800 = ( x - 10 ) ^ { 2 } - 900.

b. Lia n’a pas le droit de s’éloigner de plus de 50 m du bord de l’eau (donc LP50\mathrm { LP } \leqslant 50). Calculer alors la longueur de la portion de mer qu’elle peut surveiller.
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