Partie A
1. Choisir deux nombres réels a et b et calculer \mathrm { M } ( a , b ). Réitérer plusieurs fois le procédé et vérifier que l'on peut conjecturer que \mathrm { M } ( a , b ) donne le maximum entre a et b .

2. On suppose a \geqslant b. Montrer que \mathrm { M } ( a , b ) = a. Conclure.

3. Choisir a \in \mathbb { R } et tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = \mathrm { M } ( a , x ). Qu'observe-t-on ? Pouvait-on prévoir le comportement de f \: ?

Partie B
1. Choisir deux nombres réels a et b et calculer m(a , b). Réitérer plusieurs fois le procédé et conjecturer sur la valeur de m(a , b).

2. Démontrer cette conjecture de la même manière que dans la première partie.

Partie C
Conjecturer et démontrer ce que renvoie la fonction \text{S} .

Le lendemain de la finale de la coupe du monde de football de 2018, la ville de Bondy (ville où Kylian Mbappé a grandi), a décidé d'organiser un spectacle pour fêter la deuxième étoile de l'équipe de France. Édouard, en charge de cet événement, prévoit un lancer de fusées en direction du public, situé à 120 m du lancement. Pour des raisons de sécurité, les fusées doivent atterrir à plus de 20 m des spectateurs.
Voici le schéma représentant la situation :

Carine, agricultrice, doit arroser un champ. Ne voulant pas perdre d'eau, elle souhaite savoir comment orienter le jet pour éviter d'asperger la route bordant son champs. On note \text{A} l'emplacement du tuyau d'arrosage et \text{R} l'impact du jet d'eau voulu par Carine : \text{AR} = 150 m.
Voici deux schémas représentant la situation :

Dans cet exercice, nous utiliserons la formule de la trajectoire d'un projectile de coordonnées (x\:;y) lancé à une vitesse de départ v en m·s^–1 en faisant un angle de \alpha (en degré) avec l'horizontale et \alpha \gt 45 ° : y = - \dfrac { g } { 2 v ^ { 2 } } x ^ { 2 } \left[ 1 + ( \tan \alpha ) ^ { 2 } \right] + ( \tan \alpha ) x où g = 9,81 m·s^–2.
À la sortie du tuyau, l'eau a une vitesse de 56 m·s^–1 avec un angle \alpha.

1. Justifier que répondre au problème revient à résoudre l'équation suivante :
-2\:943z^2 + 12\:544z - 2\:943 = 0 d'inconnue z .

2. À l'aide d'une calculatrice, déterminer les solutions de cette équation. Arrondir les résultats au centième.

3. En déduire l'angle \alpha que doit utiliser Carine.

Partie A : Distance de réaction
La distance de réaction est celle parcourue entre l'observation de la situation et le freinage. Le temps de réaction est d'une seconde pour un conducteur concentré.
1. Compléter la deuxième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance de réaction pour un véhicule roulant à 80 km·h^–1 ? à 90 km·h^–1 ?

Partie B : Distance de freinage
La distance de freinage est celle parcourue par le véhicule lorsque le conducteur appuie sur le frein. D'après les physiciens, cette distance (sur route sèche et entretenue) est, pour une vitesse v exprimée en m·s^–1, égale à : \mathrm { D } ( v ) \approx \dfrac { v ^ { 2 } } { 12\text{,}75 }.
1. Compléter la troisième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance de freinage pour un véhicule roulant à 80 km·h^–1 ? à 90 km·h^–1 ?

Partie C : Distance d'arrêt
1. Compléter la quatrième ligne du tableau.
2. Quelle est la distance d'arrêt pour un véhicule roulant à 80 km·h^–1 ? à 90 km·h^–1 ?

Partie D : Distance d'arrêt avec d'autres conditions
1. Lorsque la route est mouillée, la distance de freinage est doublée. Calculer alors les distances d'arrêt pour les différentes vitesses du tableau.

2. Lorsque le conducteur est en état d'ébriété, la distance de réaction est triplée. Calculer alors les distances d'arrêt pour les différentes vitesses du tableau.

Lia, maître-nageuse sauveteuse, doit surveiller une plage et doit être à égale distance de la vedette de secours et du bord de mer. La vedette est placée à 10 m du bord de l'eau. L'objectif est de déterminer le chemin que Lia doit emprunter pour respecter cette obligation.
On note \text{V} le point représentant la vedette et \text{L} le point représentant Lia.

Partie A : Conjecture à l'aide de GeoGebra
1. a. Tracer la droite d d'équation y = 0 représentant le bord de l'eau.
b. Placer \text{V}(10 \: ; 10) .
c. Placer un point \text{P} sur la droite d . Tracer la droite d_1 perpendiculaire à d passant par \text{P}. La distance entre Lia et l'eau est la distance entre \text{L} et la droite d . Cette distance est égale à la longueur \text{LP} lorsque \mathrm { L } \in d _ { 1 }.

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2. a. Tracer la médiatrice d_2 du segment [\text{VP}].

b. Justifier que \text{L} appartient à d_2.

c. Placer alors \text{L} à l'intersection de d_1 et d_2.
3. Afficher la trace de \text{L} puis déplacer le point \text{P}. Que remarque-t-on ?

Partie B : Démonstration
On se place dans un repère orthonormé ( \text{O} ; \vec { i } , \vec { j } ) du plan. \text{P} appartient à l'axe des abscisses donc \text{P} a pour coordonnées \mathrm { P } ( x \: ; 0 ) où x est un réel.
1. Quelle est l'abscisse de \text{L} \: ? On note y son ordonnée.

2. Exprimer \mathrm { L } \mathrm { P } ^ { 2 } puis \mathrm { L } \mathrm { V } ^ { 2 } en fonction de x et y .

3. En déduire y en fonction de x .

4. On définit la fonction f : x \mapsto y. Quelle est la nature de cette fonction ?

5. a. Justifier que, pour tout réel x , on a : x ^ { 2 } - 20 x - 800 = ( x - 10 ) ^ { 2 } - 900.

b. Lia n'a pas le droit de s'éloigner de plus de 50 m du bord de l'eau (donc \mathrm { LP } \leqslant 50). Calculer alors la longueur de la portion de mer qu'elle peut surveiller.

1. Tracer la courbe représentative de cette fonction à l'aide de la calculatrice ou de GeoGebra.

2. a. Dresser le tableau de signes de la fonction x \mapsto 4 x - 1 .

b. Que vaut | 4 x - 1 | lorsque 4 x - 1 \geqslant 0 \: ? lorsque 4 x - 1 \leqslant 0 \: ?

c. En déduire l'expression de x \mapsto | 4 x - 1 | selon que x \leqslant \dfrac { 1 } { 4 } ou x \geqslant \dfrac { 1 } { 4 }

3. Procéder de même pour la fonction x \mapsto | 2 x - 8 |.

4. En déduire l'expression de f sur les intervalles \left] - \infty \: ; \dfrac { 1 } { 4 } \right], \left[ \dfrac { 1 } { 4 } \: ; 4 \right] et [ 4 \: ; + \infty [.

5. Déterminer alors les variations de f sur \mathbb { R }.

Partie A : f est la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f(x) = x^2 - x - 1 .
1. a. Montrer que \Phi et \Psi sont les antécédents de 0 par f .

b. En déduire la forme factorisée de f en fonction de \Phi et \Psi.

c. Démontrer que, pour tout réel x , on a : f ( x ) = \left( x - \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 5 } { 4 }.

d. Dresser le tableau de variations de f sur \mathbb { R }.

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2. Démontrer que \Psi = 1 - \Phi puis que \Phi = 1 + \dfrac { 1 } { \Phi } .

Partie B : \text{ABCD} est un rectangle tel que \text{AD} = a et \mathrm { CD } = a + b et \dfrac { a } { b } = \Phi.
\text{E} et \text{F} sont des points appartenant respectivement aux segments [\text{AB}] et [\text{CD}] tels que \text{AE} = \text{DF} = a .
Un tel rectangle est appelé rectangle d'or.
1. a. Montrer que : \dfrac { \mathrm { AB } } { \mathrm { AD } } = \dfrac { \mathrm { BC } } { \mathrm { BE } } = \Phi .

b. \text{G} et \text{H} sont des points appartenant respectivement aux segments [\text{EF}] et [\text{BC}] tels que \text{EG} = \text{BH} = b .
Montrer que : \dfrac { \mathrm { BC } } { \mathrm { FC } } = \dfrac { \mathrm { GH } } { \mathrm { CH } } = \Phi .

2. \text{AEFD} est un carré de côté a . \text{I} est le milieu du segment [\text{DF}]. Le cercle de centre \text{I} et de rayon a coupe la demi-droite [\text{DF}) au point \text{C}. \text{B} est le point tel que \text{ABCD} soit un rectangle.
a. Faire une figure.

b. Démontrer que le rectangle \text{ABCD} est un rectangle d'or.

Le nombre d'or \Phi se lit « phi » et est, depuis l'Antiquité, considéré comme une « divine proportion ». Ce nombre d'or sera longtemps considéré comme un synonyme de beauté, de pureté d'esthétisme. Il est utilisé en peinture, en sculpture, en architecture, etc. Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal à \Phi.

Voici quelques exemples d'utilisation de cette « divine proportion » :

• l'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci ;
• le Parthénon d'Athènes ;
• etc.

L'étude du nombre d'or a apporté des avancées dans différentes branches des mathématiques : suite de Fibonacci, arithmétique, géométrie, etc.

1. a. En remarquant que x^2 - 2x est le début d'une identité remarquable, compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x , on a :
g ( x ) = ( x -

) ^ { 2 } -

+\: 4 \: ;
g ( x ) = ( x -

) ^ { 2 } +

.

b. Déterminer les antécédents de 19 par g .

2. a. Compléter les cases suivantes :
Pour tous les réels x , on a :
- 3 x ^ { 2 } + 6 x + 45
= - 3 (

-

-

)
= - 3 [ ( x -

) ^ { 2 } -

-

]
= - 3 [ ( x -

) ^ { 2 } -

^ { 2 } ]

En utilisant une identité remarquable, on obtient :
- 3 x ^ { 2 } + 6 x + 45 = - 3 ( x -

) ( x +

)
b. Étudier la position relative des courbes C_f et C_g .

3. Application : un jardinier doit faire le parterre suivant qui correspond aux courbes C_f et C_g .
L'unité est le mètre.
Déterminer les dimensions \text{AB} et \text{CD} de ce parterre en s'aidant des informations du graphique.

Ama est une cordonnière. Elle doit fabriquer sur-mesure des embouts de chaussures pour un client. Afin de se faciliter la tâche, elle souhaite fabriquer un patron réutilisable pour d'autres demandes. Cet embout prend la forme d'une parabole dont voici l'une des représentations :


L'embout doit dépasser de 10 mm de chaque côté du pied et de 30 mm au-dessus des orteils (voir schéma).

1. Déterminer l'équation de la parabole nécessaire à la production.

2. Ama réutilise la même parabole pour répondre aux attentes d'un autre client, dont le haut du pied est 5 cm plus grand. Déterminer la largeur \text{L} de ce nouvel embout.