Approcher l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles

$f$ est définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^2.$ On note $\mathcal{P}$ sa représentation graphique. $\mathcal{D}$ est l'aire du domaine hachuré en rouge. On subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $1⩽n⩽20$ et $0⩽k⩽n-1.$
On note ${\text{A}}_k$ l'aire de chaque rectangle bleu de la figure.
$\mathcal{P}$ coupe chaque rectangle au milieu de la largeur. On note $\mathrm{I}={\mathrm{A}}_0+{\mathrm{A}}_1+\dots +{\mathrm{A}}_{n-1}.$
La méthode des rectangles montre que $\text{I}$ est une valeur approchée de $\mathcal{D}.$

Avec GeoGebra, tracer la courbe $\mathcal{P}$ en utilisant la saisie : $f(x)=\text{Si}(0<x<1,x$ ^ $2).$

1. a. Faire une construction pour $n=3.$

b. Déterminer une valeur approchée de $\mathcal{D}.$

2. On souhaite désormais obtenir un encadrement plus précis de $\mathcal{D}$ en faisant varier la valeur de $n.$
a. Créer un curseur $n$ variant de $0$ à $20$ avec un pas de $1.$
b. Définir le nombre $\text{I}$ par : $\text{I}=\text{SommeRectangles}(x$^$2,0,1,n,1/2).$

c. En déduire une valeur approchée de $\mathcal{D}$ pour $n=20.$

1. Exprimer ${\text{A}}_0$ en fonction de $n.$

2. Expliquer la ligne 2 de cet algorithme.

3. Compléter cet algorithme afin d'obtenir $\text{I}$ pour un entier naturel $n$ donné.

4. Programmer et tester cet algorithme avec Python et en déduire une valeur approchée de $\mathcal{D}$ pour $n=20.$

1. a. Calculer ${\text{A}}_0$ pour $n=6.$

b. Comment calculer la valeur obtenue en B4.

c. Quelle formule faut-il écrire en B5 pour obtenir ${\text{A}}_1?$

d. Jusqu'à quelle ligne doit-on étirer la formule pour obtenir toutes les valeurs de ${\text{A}}_k$ pour $n=6?$

Aide : On pensera à utiliser les symboles $\$$ si nécessaire.

2. a. En C5, on a saisi $=\text{C}4+\text{B}5.$ Expliquer la formule.

b. En déduire une valeur approchée de $\mathcal{D}.$

3. Modifier la feuille de calcul pour obtenir une valeur approchée de $\mathcal{D}$ pour $n=20.$