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TP / TICE 1


Approcher l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles





Objectif

On souhaite approcher D\mathcal { D } en calculant I\text{I} à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
TABLEUR

Ouvrir une feuille de calcul et recopier la feuille suivante.

Approcher l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles - TP/TICE - Fonctions de références

1. a. Calculer A0\text{A}_{0} pour n=6.n = 6 .

b. Comment calculer la valeur obtenue en B4.

c. Quelle formule faut-il écrire en B5 pour obtenir A1 ?\text{A}_{1} ?

d. Jusqu’à quelle ligne doit-on étirer la formule pour obtenir toutes les valeurs de Ak\text{A}_{k} pour n=6 ?n = 6 ?

Aide : On pensera à utiliser les symboles $\$ si nécessaire.

2. a. En C5, on a saisi =C4+B5.= \text{C}4 + \text{B}5. Expliquer la formule.

b. En déduire une valeur approchée de D.\mathcal {D}.

3. Modifier la feuille de calcul pour obtenir une valeur approchée de D\mathcal {D} pour n=20.n = 20 .

Tableur


Lancer le module Geogebra

Approcher l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles - TP/TICE - Fonctions de références

Énoncé

ff est définie sur [0;1][ 0 \: ; 1 ] par f(x)=x2.f(x) = x^2. On note P\mathcal { P } sa représentation graphique. D\mathcal { D } est l’aire du domaine hachuré en rouge.
On subdivise l’intervalle [0;1][ 0 \: ; 1 ] en nn intervalles de la forme [kn;k+1n] \left[ \dfrac { k } { n } \: ; \dfrac { k + 1 } { n } \right], où nn et kk sont des entiers tels que 1n201 \leqslant n \leqslant 20 et 0kn1.0 \leqslant k \leqslant n - 1.
On note Ak\text{A}_{k} l’aire de chaque rectangle bleu de la figure.
P\mathcal { P } coupe chaque rectangle au milieu de la largeur. On note I=A0+A1++An1.\mathrm { I } = \mathrm { A } _ { 0 } + \mathrm { A } _ { 1 } + \ldots + \mathrm { A } _ { n - 1 }.
La méthode des rectangles montre que I\text{I} est une valeur approchée de D.\mathcal { D }.

Question préliminaire : En utilisant le graphique, exprimer Ak\text{A}_{k} en fonction de k.k .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

GeoGebra

Lancer le module Geogebra

Avec GeoGebra, tracer la courbe P\mathcal { P } en utilisant la saisie : f(x)=Si(0<x<1,xf(x) = \text{Si} (0 \lt x \lt 1, x ^ 2).2).
1. a. Faire une construction pour n=3.n = 3 .
b. Déterminer une valeur approchée de D.\mathcal{D} .

2. On souhaite désormais obtenir un encadrement plus précis de D\mathcal{D} en faisant varier la valeur de n.n .
a. Créer un curseur nn variant de 00 à 2020 avec un pas de 1.1.
b. Définir le nombre I\text{I} par : I=SommeRectangles(x\text{I}=\text{SommeRectangles}(x^2,0,1,n,1/2).2 , 0 ,1, n,1/2).

c. En déduire une valeur approchée de D\mathcal{D} pour n=20.n = 20 .

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

Python




nn est un entier naturel non nul. On considère l’algorithme suivant :
 Fonction Aire(n) :  I 1n×(12n)2 Pour k allant de ... aˋ ... I...Fin PourRetourner IFin Fonction \boxed{ \begin{array} { l } { \text { Fonction Aire} (n) \text { : } } \\ \quad \text { I } \leftarrow \dfrac { 1 } { n } \times \left( \dfrac { 1 } { 2 n } \right) ^ { 2 } \\ \quad \quad \text { Pour } k \text { allant de ... à ... } \\ \quad \quad \quad \text {I} \leftarrow \text {...} \\ \quad \quad \text {Fin Pour} \\ \quad \text {Retourner I}\\ \text {Fin Fonction} \\ \end{array} }

1. Exprimer A0\text{A}_{0} en fonction de n.n .

2. Expliquer la ligne 2 de cet algorithme.

3. Compléter cet algorithme afin d’obtenir I\text{I} pour un entier naturel nn donné.

4. Programmer et tester cet algorithme avec Python et en déduire une valeur approchée de D\mathcal{D} pour n=20.n = 20 .

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