Une antenne parabolique est obtenue lorsqu’une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s’explique par une propriété géométrique des paraboles. P est la parabole d’équation y=mx2 avec m=0.
On considère le point A de P d’abscisse a où a est un réel. d est la droite d’équation x=a.
Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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PARTIE 1 ★☆☆
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On considère le cas m=0,1. 1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole P sur l’intervalle
[−5;5]. 2. Tracer les droites : a.d avec a=−1 et T la droite d’équation y=2amx−ma2, appelée tangente à P en A; b.Δ perpendiculaire à T passant par A; c.d′ symétrique de d par rapport à la droite Δ. 3. Recommencer la question précédente pour le cas a=1 et a=3. 4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites d′ obtenues pour différentes valeurs de a?
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PARTIE 2 ★★☆
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On considère le cas m=0,5. On note f la fonction représentée par P. Construire sur GeoGebra la parabole P. 1.a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant pour a=−2.
Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ? b. Tracer la droite d’équation −0,6x−0,8y=−0,4.
2. Pour le cas a=2, on obtient en dernière ligne l’équation −0,6x+0,8y=0,4. a. Tracer la droite d’équation −0,6x+0,8y=0,4.
b. Résoudre le système :{−0,6x−0,8y=−0,4−0,6x+0,8y=0,4
c. Graphiquement, qu’obtient-on à la question
précédente ?
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PARTIE 3 ★★☆
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On note T la tangente à P en A.Δ est la droite
perpendiculaire à T passant par A et d′ est la symétrique de d par rapport à la droite Δ. 1. Avec l’outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant.
Quelle droite a pour équation y=−a2m+2amx?
2. Déterminer l’équation réduite de Δ en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à −1. »
On admettra pour la mise en commun que d′ a pour équation : y=4m1−4mx+4m1 lorsque a=−1 et y=4m4m−1x+4m1 lorsque a=1.
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Mise en commun
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Une antenne parabolique est obtenue à partir de la parabole P d’équation y=mx2.
Les signaux reçus arrivent de façon parallèle à l’axe de symétrie de P et sont renvoyés symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la tangente à P en A (point d’impact).
Où placer le récepteur pour optimiser la réception des signaux pour m=0,1?m=0,5?m quelconque ?
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