Les antennes paraboliques

Une antenne parabolique est obtenue lorsqu’une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s’explique par une propriété géométrique des paraboles.
$\mathcal{P}$ est la parabole d’équation $y=m{x}^2$ avec $m\ne 0.$
On considère le point $\text{A}$ de $\mathcal{P}$ d’abscisse $a$ où $a$ est un réel. $d$ est la droite d’équation $x=a.$

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On considère le cas $m=0\text{,}1.$
1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole $\mathcal{P}$ sur l’intervalle $[-5;5].$
2. Tracer les droites :
a. $d$ avec $a=-1$ et $\text{T}$ la droite d’équation $y=2amx-m{a}^2,$ appelée tangente à $\mathcal{P}$ en $\text{A};$
b. $\Delta$ perpendiculaire à $\text{T}$ passant par $\text{A};$
c. $d^{\prime }$ symétrique de $d$ par rapport à la droite $\Delta .$
3. Recommencer la question précédente pour le cas $a=1$ et $a=3.$
4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites $d^{\prime }$ obtenues pour différentes valeurs de $a?$

On considère le cas $m=0\text{,}5.$ On note $f$ la fonction représentée par $\mathcal{P}.$ Construire sur GeoGebra la parabole $\mathcal{P}.$
1. a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant pour $a=-2.$

Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ?
b. Tracer la droite d’équation $-0\text{,}6x-0\text{,}8y=-0\text{,}4.$

2. Pour le cas $a=2,$ on obtient en dernière ligne l’équation $-0\text{,}6x+0\text{,}8y=0\text{,}4.$
a. Tracer la droite d’équation $-0\text{,}6x+0\text{,}8y=0\text{,}4.$

b. Résoudre le système :$\{\begin{array}{l}-0\text{,}6x-0\text{,}8y=-0\text{,}4\\ -0\text{,}6x+0\text{,}8y=0\text{,}4\end{array}$

c. Graphiquement, qu’obtient-on à la question précédente ?

On note $\text{T}$ la tangente à $\mathcal{P}$ en $\text{A.}$ $\Delta$ est la droite perpendiculaire à $\text{T}$ passant par $\text{A}$ et $d^{\prime }$ est la symétrique de $d$ par rapport à la droite $\Delta .$
1. Avec l’outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant.

Quelle droite a pour équation $y=-a^{2}m+2amx?$

2. Déterminer l’équation réduite de $\Delta$ en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à $-1.$ »
On admettra pour la mise en commun que $d^{\prime }$ a pour équation :
$y=\frac{1-4m}{4m}x+\frac{1}{4m}$ lorsque $a=-1$ et $y=\frac{4m-1}{4m}x+\frac{1}{4m}$ lorsque $a=1.$