Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Une antenne parabolique est obtenue lorsqu'une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s'explique par une propriété géométrique des paraboles.
\mathcal { P } est la parabole d'équation y = mx^2 avec m \neq 0 .
On considère le point \text{A} de \mathcal { P } d'abscisse a où a est un réel. d est la droite d'équation x = a .

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Rendu 3D de deux grandes antennes paraboliques utilisées pour la communication et la transmission de données.

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Partie 1

On considère le cas m = 0\text{,}1 .

1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole \mathcal { P } sur l'intervalle [ - 5 \: ; 5 ].

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2. Tracer les droites :
a. d avec a = -1 et \text{T} la droite d'équation y = 2amx -ma^2 , appelée tangente à \mathcal { P } en \text{A} \: ;
b. \Delta perpendiculaire à \text{T} passant par \text{A} \: ;
c. d ^ { \: \prime } symétrique de d par rapport à la droite \Delta.

3. Recommencer la question précédente pour le cas a = 1 et a = 3 .

4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites d ^ { \: \prime } obtenues pour différentes valeurs de a ?

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Partie 2

On considère le cas m = 0\text{,}5 . On note f la fonction représentée par \mathcal { P }. Construire sur GeoGebra la parabole \mathcal { P }.

1. a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l'affichage suivant pour a = -2 .

Capture d'écran d'équations mathématiques : équation de la tangente, de sa perpendiculaire et de leur symétrie.

Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ?

b. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x - 0\text{,}8y = -0\text{,}4 .

2. Pour le cas a = 2 , on obtient en dernière ligne l'équation -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .
a. Tracer la droite d'équation -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .

b. Résoudre le système :\left\{ \begin{array} { l } { - 0\text{,}6 x - 0\text{,}8 y = - 0\text{,}4 } \\ { - 0\text{,}6 x + 0\text{,}8 y = 0\text{,}4 } \end{array} \right.

c. Graphiquement, qu'obtient-on à la question précédente ?

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Partie 3

On note \text{T} la tangente à \mathcal { P } en \text{A.} \Delta est la droite perpendiculaire à \text{T} passant par \text{A} et d ^ { \prime } est la symétrique de d par rapport à la droite \Delta. 1. Avec l'outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l'affichage suivant.

Image d'une formule mathématique : équation de la tangente, y = -a²m + 2amx, avec les variables a, m et x.

Quelle droite a pour équation y = - a ^ { 2 } m + 2 a m x ?

2. Déterminer l'équation réduite de \Delta en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à -1. »
On admettra pour la mise en commun que d ^ { \prime } a pour équation :
y = \dfrac { 1 - 4 m } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = - 1 et y = \dfrac { 4 m - 1 } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a = 1.

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Mise en commun

Une antenne parabolique est obtenue à partir de la parabole \mathcal { P } d'équation y = mx^2 . Les signaux reçus arrivent de façon parallèle à l'axe de symétrie de \mathcal { P } et sont renvoyés symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la tangente à \mathcal { P } en \text{A} (point d'impact).
Où placer le récepteur pour optimiser la réception des signaux pour m = 0\text{,}1 ? m = 0\text{,}5 ? m quelconque ?

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