Les antennes paraboliques

Une antenne parabolique est obtenue lorsqu’une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s’explique par une propriété géométrique des paraboles.
$\mathcal { P }$ est la parabole d’équation $y = mx^2$ avec $m \neq 0 .$
On considère le point $\text{A}$ de $\mathcal { P }$ d’abscisse $a$ où $a$ est un réel. $d$ est la droite d’équation $x = a .$

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On considère le cas $m = 0\text{,}1 .$
1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole $\mathcal { P }$ sur l’intervalle $[ - 5 \: ; 5 ].$
2. Tracer les droites :
a. $d$ avec $a = -1$ et $\text{T}$ la droite d’équation $y = 2amx -ma^2 ,$ appelée tangente à $\mathcal { P }$ en $\text{A} \: ;$
b. $\Delta$ perpendiculaire à $\text{T}$ passant par $\text{A} \: ;$
c. $d ^ { \: \prime }$ symétrique de $d$ par rapport à la droite $\Delta.$
3. Recommencer la question précédente pour le cas $a = 1$ et $a = 3 .$
4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites $d ^ { \: \prime }$ obtenues pour différentes valeurs de $a ?$

On considère le cas $m = 0\text{,}5 .$ On note $f$ la fonction représentée par $\mathcal { P }.$ Construire sur GeoGebra la parabole $\mathcal { P }.$
1. a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant pour $a = -2 .$

Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ?
b. Tracer la droite d’équation $-0\text{,}6x - 0\text{,}8y = -0\text{,}4 .$

2. Pour le cas $a = 2 ,$ on obtient en dernière ligne l’équation $-0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .$
a. Tracer la droite d’équation $-0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .$

b. Résoudre le système :$\left\{ \begin{array} { l } { - 0\text{,}6 x - 0\text{,}8 y = - 0\text{,}4 } \\ { - 0\text{,}6 x + 0\text{,}8 y = 0\text{,}4 } \end{array} \right.$

c. Graphiquement, qu’obtient-on à la question précédente ?

On note $\text{T}$ la tangente à $\mathcal { P }$ en $\text{A.}$ $\Delta$ est la droite perpendiculaire à $\text{T}$ passant par $\text{A}$ et $d ^ {  \prime }$ est la symétrique de $d$ par rapport à la droite $\Delta.$
1. Avec l’outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant.

Quelle droite a pour équation $y = - a ^ { 2 } m + 2 a m x ?$

2. Déterminer l’équation réduite de $\Delta$ en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à $-1.$ »
On admettra pour la mise en commun que $d ^ {  \prime }$ a pour équation :
$y = \dfrac { 1 - 4 m } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m }$ lorsque $a = - 1$ et $y = \dfrac { 4 m - 1 } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m }$ lorsque $a = 1.$