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TRAVAILLER ENSEMBLE


Les antennes paraboliques





Une antenne parabolique est obtenue lorsqu’une parabole effectue une rotation de 360° selon son axe de symétrie. Ce choix s’explique par une propriété géométrique des paraboles.
P\mathcal { P } est la parabole d’équation y=mx2y = mx^2 avec m≠0.m \neq 0 .
On considère le point A\text{A} de P\mathcal { P } d’abscisse aa où aa est un réel. dd est la droite d’équation x=a.x = a .

Les antennes paraboliques - Fonctions de référence

PARTIE 1 ★☆☆

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On considère le cas m=0,1.m = 0\text{,}1 .
1. Sur une feuille de papier millimétrée ou avec GeoGebra, construire la parabole P\mathcal { P } sur l’intervalle [−5 ;5].[ - 5 \: ; 5 ].
2. Tracer les droites :
a. dd avec a=−1a = -1 et T\text{T} la droite d’équation y=2amx−ma2,y = 2amx -ma^2 , appelée tangente à P\mathcal { P } en A ;\text{A} \: ;
b. Δ\Delta perpendiculaire à T\text{T} passant par A ;\text{A} \: ;
c. d ′d ^ { \: \prime } symétrique de dd par rapport à la droite Δ.\Delta.
3. Recommencer la question précédente pour le cas a=1a = 1 et a=3.a = 3 .
4. Quelle conjecture peut-on faire pour les droites d ′d ^ { \: \prime } obtenues pour différentes valeurs de a ?a ?

Mise en commun

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Une antenne parabolique est obtenue à partir de la parabole P\mathcal { P } d’équation y=mx2.y = mx^2 .
Les signaux reçus arrivent de façon parallèle à l’axe de symétrie de P\mathcal { P } et sont renvoyés symétriquement par rapport à la perpendiculaire à la tangente à P\mathcal { P } en A\text{A} (point d’impact).
Où placer le récepteur pour optimiser la réception des signaux pour m=0,1 ?m = 0\text{,}1 ? m=0,5 ?m = 0\text{,}5 ? mm quelconque ?

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 3 ★★☆

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On note T\text{T} la tangente à P\mathcal { P } en A.\text{A.} Δ\Delta est la droite perpendiculaire à T\text{T} passant par A\text{A} et d ′d ^ {  \prime } est la symétrique de dd par rapport à la droite Δ.\Delta.
1. Avec l’outil calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant.

Les antennes paraboliques - Travailler ensemble - Fonctions de référence

Quelle droite a pour équation y=−a2m+2amx ?y = - a ^ { 2 } m + 2 a m x ?


2. Déterminer l’équation réduite de Δ\Delta en utilisant la propriété suivante : « Deux droites perpendiculaires ont le produit de leur coefficient directeur égal à −1.-1. »
On admettra pour la mise en commun que d ′d ^ {  \prime } a pour équation :
y=1−4m4mx+14my = \dfrac { 1 - 4 m } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a=−1a = - 1 et y=4m−14mx+14my = \dfrac { 4 m - 1 } { 4 m } x + \dfrac { 1 } { 4 m } lorsque a=1.a = 1.

Lancer le module Geogebra

PARTIE 2 ★★☆

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On considère le cas m=0,5.m = 0\text{,}5 . On note ff la fonction représentée par P.\mathcal { P }. Construire sur GeoGebra la parabole P.\mathcal { P }.
1. a. Avec le menu de calcul formel de GeoGebra, on obtient l’affichage suivant pour a=−2.a = -2 .

Les antennes paraboliques - Travailler ensemble - Fonctions de référence

Que calculent ces trois lignes de GeoGebra ?

b. Tracer la droite d’équation −0,6x−0,8y=−0,4. -0\text{,}6x - 0\text{,}8y = -0\text{,}4 .

2. Pour le cas a=2,a = 2 , on obtient en dernière ligne l’équation −0,6x+0,8y=0,4.-0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .
a. Tracer la droite d’équation −0,6x+0,8y=0,4. -0\text{,}6x + 0\text{,}8y = 0\text{,}4 .

b. Résoudre le système :{−0,6x−0,8y=−0,4−0,6x+0,8y=0,4\left\{ \begin{array} { l } { - 0\text{,}6 x - 0\text{,}8 y = - 0\text{,}4 } \\ { - 0\text{,}6 x + 0\text{,}8 y = 0\text{,}4 } \end{array} \right.


c. Graphiquement, qu’obtient-on à la question précédente ?

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