Étude des fonctions polynômes du second degré

On dit que la parabole est « tournée vers le haut » lorsque $a>0$ et « tournée vers le bas » lorsque $a<0.$

1. Soit $a<0.$
Sur l'intervalle $]-\infty ;\alpha ]:$
$u$ et $v$ sont deux réels tels que $u<v⩽\alpha$ donc $u-\alpha <v-\alpha ⩽0.$
Ainsi : $(u-\alpha {)}^2>(v-\alpha {)}^2$ puisque la fonction carré est décroissante sur $]-\infty ;0].$
$a(u-\alpha {)}^2<a(v-\alpha {)}^2$ puisque $a<0$ donc $a(u-\alpha {)}^2+\beta <a(v-\alpha {)}^2+\beta$ soit $f(u)<f(v).$
$f$ est donc croissante sur $]-\infty ;\alpha ].$

Sur l'intervalle $[\alpha ;+\infty [:$
$u$ et $v$ sont deux réels tels que $\alpha ⩽u<v$ donc $0⩽u-\alpha <v-\alpha .$
Ainsi : $(u-\alpha {)}^2<(v-\alpha {)}^2$ puisque la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty [.$
$a(u-\alpha {)}^2>a(v-\alpha {)}^2$ puisque $a<0$ donc $a(u-\alpha {)}^2+\beta >a(v-\alpha {)}^2+\beta$ soit $f(u)>f(v).$
$f$ est donc décroissante sur $[\alpha ;+\infty [.$

2. On applique un raisonnement analogue lorsque $a>0.$

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3-(x+2{)}^2.$ En détaillant les étapes, déterminer les variations de $f$ sur $]-\infty ;-2].$

• Repérer les valeurs de $a,$ $\alpha$ et $\beta$ pour connaître les variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$
• Prendre deux réels $u$ et $v$ tels que $u<v⩽\alpha$.
• Repérer les priorités de calcul, puis effectuer les calculs étape par étape.
• Utiliser les variations de la fonction carré.

On pourra également utiliser les propriétés du cours pour résoudre cette question plus rapidement.

1. Si $a<0,$ alors $f$ admet pour maximum $\beta$ sur $\mathbb{R},$ atteint au point d'abscisse $\alpha .$
2. Si $a>0,$ alors $f$ admet pour minimum $\beta$ sur $\mathbb{R},$ atteint au point d'abscisse $\alpha .$

On retrouve les coordonnées du sommet $\text{S}(\alpha ;\beta )$ de la parabole $\mathcal{P}.$

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2+3(x-1{)}^2.$ Déterminer l'extremum de $f$ sur $\mathbb{R}.$

Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme factorisée puis on dresse un tableau de signes.

Le cas général (notamment lorsque $f$ n'est pas factorisable) sera étudié dans le chapitre 3.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3(x-1)(x+2).$
Le tableau de signes de $f$ est :

$f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+5$ et $g(x)=7x+17.$

1. Démontrer que, pour tout réel $x,$ $f(x)-g(x)=3(x-4)(x+1).$
2. Étudier la position relative des courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g.$

• Déterminer l'expression de $f-g$ puis développer la forme donnée.
• Étudier le signe de la forme factorisée de $f-g$ en utilisant un tableau de signes.
• Conclure :
• lorsque $f-g$ est positive, $C_f$ est au-dessus de $C_g.$
• lorsque $f-g$ est négative, $C_f$ est en dessous de $C_g.$
• lorsque $f-g$ est nulle, $C_f$ et $C_g$ sont sécantes.