COURS 3


3
Étude des fonctions polynômes du second degré




Le plan est muni d’un repère orthonormé. ff est une fonction polynôme du second degré : f(x)=ax2+bx+c=a(xα)2+β.f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + c = a ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta.

A
Sens de variation d’une fonction polynôme du second degré

Pour étudier les variations d’une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme canonique.


Propriétés

1. Si a<0,a \lt 0 , alors ff est croissante sur ];α]] - \infty \: ; \alpha ] et décroissante sur [α;+[.[ \alpha \: ; + \infty [.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Sens de variation d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références


2. Si a>0,a \gt 0 , alors ff est décroissante sur ];α]] - \infty \: ; \alpha ] et croissante sur [α;+[.[ \alpha \: ; + \infty [.

Étude des fonctions polynômes du second degré - Sens de variation d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

Remarque

On peut aussi utiliser la symétrie de la courbe par rapport à la droite d’équation x=a.x = a .

Remarque

On dit que la parabole est « tournée vers le haut » lorsque a>0a \gt 0 et « tournée vers le bas » lorsque a<0.a \lt 0 .

Cas a<0a \lt 0

Étude des fonctions polynômes du second degré - Sens de variation d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

Cas a>0a \gt 0
Étude des fonctions polynômes du second degré - Sens de variation d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

DÉMONSTRATIONS

1. Soit a<0.a \lt 0.
Sur l’intervalle ];α]: ] - \infty \: ; \alpha ] :
uu et vv sont deux réels tels que u<vαu \lt v \leqslant \alpha donc uα<vα0.u - \alpha \lt v - \alpha \leqslant 0.
Ainsi : (uα)2>(vα)2( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est décroissante sur ];0].] - \infty \: ; 0 ].
a(uα)2<a(vα)2a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a<0 a \lt 0 donc a(uα)2+β<a(vα)2+βa ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f(u)<f(v).f ( u ) \lt f ( v ).
ff est donc croissante sur ];α]. ] - \infty \: ; \alpha ] .

Sur l’intervalle [α;+[: [ \alpha \: ; + \infty [ \: :
uu et vv sont deux réels tels que αu<v\alpha \leqslant u \lt v donc 0uα<vα.0 \leqslant u - \alpha \lt v - \alpha.
Ainsi : (uα)2<(vα)2( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est croissante sur [0;+[.[ 0 \: ; + \infty [.
a(uα)2>a(vα)2a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a<0 a \lt 0 donc a(uα)2+β>a(vα)2+βa ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f(u)>f(v).f ( u ) \gt f ( v ).
ff est donc décroissante sur [α;+[. [ \alpha \: ; + \infty [.

2. On applique un raisonnement analogue lorsque a>0.a \gt 0 .

Application et méthode


SOLUTION

Pour tout réel x,x , on a :
(x1)20( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0
3(x1)20\Leftrightarrow 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant 0
2+3(x1)22\Leftrightarrow - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 } \geqslant - 2
f(x)2.\Leftrightarrow f ( x ) \geqslant - 2.
De plus : f(1)=2+3(11)2=2.f ( 1 ) = - 2 + 3 ( 1 - 1 ) ^ { 2 } = - 2.
2-2 est donc le minimum de ff sur R,\mathbb { R }, atteint en x=1.x = 1 .

Pour s'entraîner : exercices 73 et 74 p. 63

Méthode

  • Repérer les valeurs de a,a , α\alpha et β\beta pour connaître la nature et la valeur de l’extremum de ff .
  • Écrire que, pour tout réel x,x , (xα)20.( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0.
  • Repérer les priorités de calcul puis effectuer les calculs étape par étape.
  • Écrire f(α)=β. f ( \alpha ) = \beta.
  • Conclure.

Énoncé

ff est une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb { R } par f(x)=2+3(x1)2.f ( x ) = - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }.
Déterminer l’extremum de ff sur R.\mathbb { R }.

Application et méthode


Méthode

  • Repérer les valeurs de a,a, α\alpha et β\beta pour connaître les variations de ff sur R.\mathbb { R }.
  • Prendre deux réels uu et vv tels que u<vαu \lt v \leqslant \alpha.
  • Repérer les priorités de calcul, puis effectuer les calculs étape par étape.
  • Utiliser les variations de la fonction carré.
On pourra également utiliser les propriétés du cours pour résoudre cette question plus rapidement.


SOLUTION

a=1<0,a = - 1 \lt 0 , α=2\alpha = - 2 et β=3.\beta = 3.
Montrons que ff est croissante sur ];2].] - \infty \: ; - 2 ]. On considère deux réels uu et vv tels que u<v2.u \lt v \leqslant - 2.
u+2<v+20u + 2 \lt v + 2 \leqslant 0
(u+2)2>(v+2)2\Leftrightarrow ( u + 2 ) ^ { 2 } > ( v + 2 ) ^ { 2 } car la fonction carré est décroissante sur ];0]] - \infty \: ; 0 ]
(u+2)2<(v+2)2\Leftrightarrow - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt - ( v + 2 ) ^ { 2 } car on multiplie par 1–1
3(u+2)2<3(v+2)2 \Leftrightarrow 3 - ( u + 2 ) ^ { 2 } \lt 3 - ( v + 2 ) ^ { 2 }
f(u)<f(v)\Leftrightarrow f ( u ) \lt f ( v )
ff est bien croissante sur ];2].] - \infty \: ; -2 ].

Pour s'entraîner : exercices 31 p. 59 et 69 p. 63

Énoncé

ff est une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3(x+2)2.f ( x ) = 3 - ( x + 2 ) ^ { 2 }. En détaillant les étapes, déterminer les variations de ff sur ];2]. ] - \infty \: ; - 2 ].

C
Signe d’une fonction polynôme du second degré

Pour étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme factorisée puis on dresse un tableau de signes.

Remarque

Le cas général (notamment lorsque ff n’est pas factorisable) sera étudié dans le chapitre 3.

Exemple

ff est la fonction définie sur R\mathbb { R } par f(x)=3(x1)(x+2).f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 2 ).
Le tableau de signes de ff est :

Étude des fonctions polynômes du second degré - Signe d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

Application et méthode

Énoncé

ff et gg sont définies sur R\mathbb { R } par f(x)=3x22x+5f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 et g(x)=7x+17.g ( x ) = 7 x + 17.
1. Démontrer que, pour tout réel x,x , f(x)g(x)=3(x4)(x+1).f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).
2. Étudier la position relative des courbes représentatives CfC_f et CgC_g des fonctions ff et g.g .

Méthode

  • Déterminer l’expression de fgf - g puis développer la forme donnée.
  • Étudier le signe de la forme factorisée de fgf - g en utilisant un tableau de signes.
  • Conclure :
    • lorsque fgf - g est positive, CfC_f est au-dessus de Cg.C_g .
    • lorsque fgf - g est négative, CfC_f est en dessous de Cg.C_g .
    • lorsque fgf - g est nulle, CfC_f et CgC_g sont sécantes.



SOLUTION

1. Pour tout réel x,x , on a :
f(x)g(x)=3x22x+5(7x+17)=3x22x+57x17=3x29x12\begin{aligned} f ( x ) - g ( x ) & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - ( 7 x + 17 ) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 - 7 x - 17 \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}

et 3(x4)(x+1)=3(x2+x4x4)=3(x23x4)=3x29x12\begin{aligned} \text{et } 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ) & = 3 \left( x ^ { 2 } + x - 4 x - 4 \right) \\ & = 3 \left( x ^ { 2 } - 3 x - 4 \right) \\ & = 3 x ^ { 2 } - 9 x - 12 \end{aligned}
Donc, pour tout réel x,x , f(x)g(x)=3(x4)(x+1).f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).
2. On obtient :
Étude des fonctions polynômes du second degré - Signe d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

CfC_f est au-dessus de CgC_g sur ];1]] - \infty \: ; - 1 ] et sur [4;+[[ 4 \: ; + \infty [ et en dessous sur [1;4].[ - 1 \: ; 4 ]. CfC_f et Cg_g sont sécantes en 1-1 et 4.4.

Pour s'entraîner : exercices 32 p. 59 et 81 p. 64

B
Extremum d’une fonction polynôme du second degré


Propriétés

1. Si a<0,a \lt 0 , alors ff admet pour maximum β\beta sur R,\mathbb { R }, atteint au point d’abscisse α.\alpha.
2. Si a>0,a \gt 0 , alors ff admet pour minimum β\beta sur R,\mathbb { R }, atteint au point d’abscisse α.\alpha.

Cas a>0a \gt 0
Étude des fonctions polynômes du second degré - Extremum d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

DÉMONSTRATION

1. On considère le cas a<0.a \lt 0.
Pour tout réel x,x , on a : (xα)20( x - \alpha ) ^ { 2 } \geqslant 0 donc
a(xα)20a ( x - \alpha ) ^ { 2 } \leqslant 0 car a<0.a \lt 0 . D'où a(xα)2+ββa ( x - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \leqslant \beta soit f(x)β.f ( x ) \leqslant \beta.
De plus : f(α)=a(αα)2+β=β. f ( \alpha ) = a ( \alpha - \alpha ) ^ { 2 } + \beta = \beta.
β\beta est donc un maximum de ff sur R,\mathbb { R }, atteint au point d’abscisse α.\alpha.

2. On applique un raisonnement analogue lorsque a>0.a \gt 0 .

Cas a<0a \lt 0
Étude des fonctions polynômes du second degré - Extremum d’une fonction polynôme du second degré - Fonctions de références

Remarque

On retrouve les coordonnées du sommet S(α;β)\text{S} ( \alpha \: ; \beta ) de la parabole P.\mathcal { P }.
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