Étude des fonctions polynômes du second degré

On dit que la parabole est « tournée vers le haut » lorsque a \gt 0 et « tournée vers le bas » lorsque a \lt 0 .

1. Soit a \lt 0.
Sur l'intervalle ] - \infty \: ; \alpha ] :
u et v sont deux réels tels que u \lt v \leqslant \alpha donc u - \alpha \lt v - \alpha \leqslant 0.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est décroissante sur ] - \infty \: ; 0 ].
a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \lt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \lt f ( v ).
f est donc croissante sur ] - \infty \: ; \alpha ] .

Sur l'intervalle [ \alpha \: ; + \infty [ \: :
u et v sont deux réels tels que \alpha \leqslant u \lt v donc 0 \leqslant u - \alpha \lt v - \alpha.
Ainsi : ( u - \alpha ) ^ { 2 } \lt ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque la fonction carré est croissante sur [ 0 \: ; + \infty [.
a ( u - \alpha ) ^ { 2 } \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } puisque a \lt 0 donc a ( u - \alpha ) ^ { 2 } + \beta \gt a ( v - \alpha ) ^ { 2 } + \beta soit f ( u ) \gt f ( v ).
f est donc décroissante sur [ \alpha \: ; + \infty [.

2. On applique un raisonnement analogue lorsque a \gt 0 .

f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 - ( x + 2 ) ^ { 2 }. En détaillant les étapes, déterminer les variations de f sur ] - \infty \: ; - 2 ].

• Repérer les valeurs de a, \alpha et \beta pour connaître les variations de f sur \mathbb { R }.
• Prendre deux réels u et v tels que u \lt v \leqslant \alpha.
• Repérer les priorités de calcul, puis effectuer les calculs étape par étape.
• Utiliser les variations de la fonction carré.

On pourra également utiliser les propriétés du cours pour résoudre cette question plus rapidement.

1. Si a \lt 0 , alors f admet pour maximum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.
2. Si a \gt 0 , alors f admet pour minimum \beta sur \mathbb { R }, atteint au point d'abscisse \alpha.

On retrouve les coordonnées du sommet \text{S} ( \alpha \: ; \beta ) de la parabole \mathcal { P }.

f est une fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 2 + 3 ( x - 1 ) ^ { 2 }. Déterminer l'extremum de f sur \mathbb { R }.

Pour étudier le signe d'une fonction polynôme du second degré, on utilise la forme factorisée puis on dresse un tableau de signes.

Le cas général (notamment lorsque f n'est pas factorisable) sera étudié dans le chapitre 3.

f est la fonction définie sur \mathbb { R } par f ( x ) = - 3 ( x - 1 ) ( x + 2 ).
Le tableau de signes de f est :

f et g sont définies sur \mathbb { R } par f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 2 x + 5 et g ( x ) = 7 x + 17.

1. Démontrer que, pour tout réel x , f ( x ) - g ( x ) = 3 ( x - 4 ) ( x + 1 ).
2. Étudier la position relative des courbes représentatives C_f et C_g des fonctions f et g .

• Déterminer l'expression de f - g puis développer la forme donnée.
• Étudier le signe de la forme factorisée de f - g en utilisant un tableau de signes.
• Conclure :
• lorsque f - g est positive, C_f est au-dessus de C_g .
• lorsque f - g est négative, C_f est en dessous de C_g .
• lorsque f - g est nulle, C_f et C_g sont sécantes.