Chapitre 6


Fonction exponentielle




Capacités attendues - chapitre

1.Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
2. Étudier le comportement de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle.
3. Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle.
4. Modéliser une situation à l’aide de la fonction exponentielle.

Avant de commencer

Voir les réponses

4
Dériver un produit

Soit hh la fonction définie par h(x)=xx.h(x)=x \sqrt{x}.

1. Donner le domaine de définition de h.h .


2. Sur quel ensemble hh est-elle dérivable ?


3. Calculer la fonction dérivée hh' de hh et déterminer son tableau de signes sur son ensemble de définition.


4. En déduire le tableau de variations de la fonction h.h .
Couleurs
Formes
Dessinez ici

Anecdote

Si vous possédez 1 centime d’euro et que vous doublez votre capital chaque jour, il vous faudra 27 jours pour devenir millionnaire et 37 jours pour devenir milliardaire.

Fonction exponentielle
Voir les réponses

2
Utiliser les tangentes à une courbe

On considère une fonction ff , définie et dérivable sur R\mathbb{R} dont une portion de la courbe représentative est donnée ici. La tangente à la courbe en x=1x = 1 est horizontale. On a, de plus, tracé en vert la tangente à la courbe en x=0.x = 0 .
Fonction polynomiale et tangente

1. Lire graphiquement f(0). f'(0).


2. Déterminer la valeur de f(1)f'(1) grâce aux données de l’énoncé.


3. Déterminer le signe de f(3),f'(-3), f(1)f'(-1) et f(2).f'(2).

Prérequis

1. Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances.
2. Établir le tableau de signes d’une expression littérale.
3. Calculer une fonction dérivée en utilisant les opérations usuelles.
4. Utiliser la dérivation pour étudier les variations d’une fonction.
Voir les réponses

6
Problème

Une entreprise produit des pièces destinées à l’industrie automobile. On appelle xx le nombre de pièces produites en un jour. Pour des raisons matérielles, x[0 ;30].x \in[0 ; 30]. Le bénéfice journalier de l’entreprise, en euro, peut être modélisé par une fonction B\mathrm{B} définie sur [0 ;30][0 ; 30] par B(x)=2x2+60x400.\mathrm{B}(x)=-2 x^{2}+60 x-400.

1. Déterminer, pour tout xx dans [60;30],[60\,; 30], l’expression de B(x).\mathrm{B}'(x).


2. En déduire la production de l’entreprise permettant de réaliser un bénéfice maximal. Que vaut alors ce bénéfice ?


3. Montrer que B(x)\mathrm{B}(x) peut s’écrire sous forme factorisée B(x)=2(x10)(x20).\mathrm{B}(x)=-2(x-10)(x-20).


4. En déduire les productions pour lesquelles l’entreprise est bénéficiaire.
Voir les réponses

1
Utiliser les puissances

Écrire les expressions suivantes à l’aide d’une seule puissance.

1. 24×27×232^{4} \times 2^{7} \times 2^{3}


2. 64×696^{4} \times 6^{-9}


3. 32×943^{2} \times 9^{4}


4. 25×352^{5} \times 3^{5}


5. 28×2421×23\dfrac{2^{8} \times 2^{-4}}{2^{-1} \times 2^{3}}

Voir les réponses

5
Démontrer avec les dérivées

On considère deux fonctions ff et gg définies sur le même intervalle I\mathrm{I} tel que, pour tout xI,x \in \mathrm{I}, f(x)=g(x)f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) On note h,h, la fonction définie sur I\mathrm{I} par h(x)=f(x)g(x).h(x) = f(x) - g(x).

1. Justifier que hh est dérivable et déterminer sa fonction dérivée h.h' .


2. Que peut-on en déduire sur h h ?


3. a. Quelle relation algébrique existe-t-il alors entre les fonctions ff et gg ?


b. En donner une interprétation graphique.
Voir les réponses

3
Déterminer les variations d’une fonction

On considère une fonction gg définie et dérivable sur R\mathbb{R} dont la dérivée gg' est définie par g(x)=(2x+6)(3x+12).g^{\prime}(x)=(-2 x+6)(3 x+12).
Construire le tableau de variations de la fonction gg sur R.\mathbb{R}.


Couleurs
Formes
Dessinez ici


La scintigraphie est une technique d’imagerie médicale qui utilise des substances radioactives. Des isotopes radioactifs sont injectés et vont se fixer sur l’organe ou sur les tissus à explorer en émettant des rayonnements qui seront vus par une caméra spéciale. Grâce à la fonction exponentielle, les médecins connaissent la durée de vie des isotopes radioactifs injectés.

Fonction exponentielle
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Se connecter

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?