Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus





Activités




C
Du discret vers le continu


Voir les réponses

6
En utilisant les questions précédentes, montrer que gg est une bonne approximation de la fonction D.\mathrm{D}.



7
On suppose maintenant que la quantité de médicament dans le sang diminue de moitié la première heure, puis elle diminue d’un tiers l’heure suivante, puis d’un quart l’heure d’après, etc.

a) En prenant D0=12,\mathrm{D}_{0} = 12 , réaliser le nuage de points représentant cette situation jusqu’à D4.\mathrm{D}_{4}.

Tracé de courbe, activité sur l'exponentielle
b) À l’aide de GeoGebra, peut-on trouver un réel positif kk tel que la fonction xD0×ekxx \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-k x} soit une bonne approximation de la situation ?


Lancer le module Geogebra

LOGIQUE

2
Sans aucune autre information, un nuage de points est insuffisant pour définir une unique fonction.

Perfusion

Histoire des maths

En 1731, Leonhard Euler a démontré que le nombre ee est irrationnel. Il a donné une approximation de ce nombre avec 23 décimales.

Leonhard Euler

Voir les réponses

3
Soient hh un entier naturel et tt un réel positif.

a) Exprimer le rapport D(t+h)D(t)\dfrac{\mathrm{D}(t+h)}{\mathrm{D}(t)} en fonction de h.h.


b) Quel lien peut-on faire avec un taux d’évolution ? Ce taux d’évolution est-il constant ?



4
À la calculatrice, estimer la valeur e0,69\mathrm{e}^{-0,69} à 10-2 près.



5
On considère la fonction g:xD0×e0,69x.g : x \mapsto \mathrm{D}_{0} \times \mathrm{e}^{-0,69 x}. Tracer la courbe représentative de gg à l’aide de la calculatrice ou de GeoGebra en prenant D0=8.\mathrm{D}_{0} = 8.

Lancer le module Geogebra
Voir les réponses


Bilan
Que peut-on modéliser à l’aide d’une fonction exponentielle ?

AIDE

3
Si, en une heure, la quantité de médicament diminue de moitié, de combien diminue-t-elle en hh heures ?

AIDE

1
Utiliser le fait que la quantité de médicaments diminue de moitié en une heure.

Voir les réponses
Lorsque l’on injecte une dose de médicament dans le sang d’un patient, la quantité de médicament, exprimée en nombre de molécules, diminue naturellement au cours du temps.

On injecte, au temps t=0,t = 0 , une dose D0\mathrm{D}_{0} de médicament.
On suppose que la quantité de médicament présente dans le sang diminue de moitié chaque heure. On note D(t)\mathrm{D}(t) la quantité de médicament présente au temps t,t, mesurée en heure. On a donc par exemple D(1)=12D0\mathrm{D}(1)=\dfrac{1}{2} \mathrm{D}_{0} et D(2)=14D0.\mathrm{D}(2)=\dfrac{1}{4} \mathrm{D}_{0}.


1
Dans un repère orthogonal, placer les points de coordonnées (0 ;D0)(0 ; \mathrm{D}_{0}) , (1 ;D(1))(1 ; \mathrm{D}(1)), (2 ;D(2)),(2 ; \mathrm{D}(2)), (3 ;D(3))(3 ; \mathrm{D}(3)) et (4 ;D(4)).(4 ; \mathrm{D}(4)). En ordonnée, on prendra 8 carreaux pour D0\mathrm{D}_{0} unités.

Tracé de courbe, activité sur l'exponentielle

2
Montrer qu’il n’est pas correct d’affirmer que la quantité de médicament diminue d’un quart toutes les 30 minutes.




Objectif
Modéliser une situation à l’aide d’une fonction exponentielle pour passer du cas discret au cas continu.

A
Démontrer qu’une expression ne s’annule pas


Voir les réponses
3
Que peut-on en déduire concernant la fonction gg ?


4
Donner l’expression de g(x)g(x) pour tout réel xx en utilisant les résultats des questions
1
et
3
.


5
En utilisant la définition de la fonction gg, montrer que, pour tout nombre réel x,x, on a f(x)0.f(x) \neq 0.

AIDE

5
On suppose qu’il existe un nombre réel x0x_{0} tel que f(x0)=0f(x_{0}) = 0 et on calcule g(x0).g(x_{0}).


Objectif
Démontrer une propriété qui sera utilisée pour définir la fonction exponentielle.


Voir les réponses
On admet qu’il existe une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} qui vérifie f(0)=1f(0) = 1 et f(x)=f(x)f'(x) = f(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R}.
On note gg la fonction définie sur R\mathbb{R} par g(x)=f(x)×f(x).g(x)=f(x) \times f(-x).

1
Calculer g(0).g(0).


2
Montrer que gg est dérivable sur R\R et que, pour tout nombre réel x,x, g(x)=0.g'(x) = 0.


Voir les réponses

Bilan
Que peut-on dire d’une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} qui vérifie : f(0)=1f(0) = 1 et f=ff' = f ?

AIDE

2
La dérivée de la fonction xf(x)x \mapsto f(-x) est xf(x).x \mapsto-f^{\prime}(-x).

LOGIQUE

5
On utilise un raisonnement par l’absurde. On suppose la négation de la conclusion et en utilisant les hypothèses, une égalité fausse apparaît. La négation de la conclusion est donc fausse, la conclusion est ainsi vraie.

B
Démontrer qu’une fonction est unique

Voir les réponses


Bilan
Donner une nouvelle propriété d’une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} et qui vérifie f(0)=1f(0) = 1 et f=f.f'= f .



Objectif
Démontrer que la fonction ff définie dans l’activité précédente est unique.


1
Justifier que hh est bien définie sur R.\mathbb{R.}


2
Justifier que hh est dérivable sur R\mathbb{R} et déterminer sa fonction dérivée.


3
En déduire l’expression de h(x)h(x) pour tout réel x.x.


4
Que peut-on alors en déduire pour les fonctions ff et gg ?

Voir les réponses
Comme dans l’activité précédente, on considère la fonction ff définie et dérivable sur R\R qui vérifie f(0)=1f(0) = 1 et f(x)=f(x)f'(x) = f(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R}. On suppose maintenant qu’il existe une deuxième fonction gg qui vérifie cette relation. gg est donc une fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que g(0)=1g(0) = 1 et g(x)=g(x)g^{\prime}(x)=g(x) pour tout xR.x \in \mathbb{R}. On définit également la fonction hh pour tout xR.x \in \mathbb{R}. par h(x)=g(x)f(x).h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}.

AIDE

3
Commencer par calculer l’expression de h(x)h(x) pour une valeur particulière de x. x .

LOGIQUE

4
Pour démontrer qu’une fonction ff est unique, on suppose qu’il existe une fonction gg qui vérifie les mêmes hypothèses que ff et on démontre que f(x)=g(x)f(x) = g(x) pour tout réel x.x .
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?