Synthèse - Objectif BAC





104
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]

Les noyaux radioactifs se désintègrent au cours du temps. Si l’on regarde un échantillon de N0\mathrm{N}_{0} noyaux radioactifs au temps t=0,t = 0 , alors le nombre N(t)\mathrm{N}(t) de noyaux radioactifs à l’instant tt vérifie l’équation τN(t)+N(t)=0 ouˋ N(0)=N0\tau\, \mathrm{N}^{\prime}(t)+\mathrm{N}(t)=0 \text { où } \mathrm{N}(0)=\mathrm{N}_{0} et τ\tau est un réel strictement positif appelé constante radioactive qui dépend de l’élément radioactif considéré.

1. Montrer que la fonction N(t)=N0exp(tτ)\mathrm{N}(t)=\mathrm{N}_{0} \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right) vérifie les conditions données.


2. Démontrer que la fonction N\mathrm{N} est décroissante sur R+.\mathbb{R}^{+}. Quelle interprétation concrète peut-on faire ? Est-ce surprenant ?


3. On notera ln(2)\ln(2) l’unique solution de l’équation ex=2.\mathrm{e}^{x}=2. Montrer que le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié par rapport au temps initial lorsque t=τln(2).t=\tau\, \ln (2).
On appelle ce réel le « temps de demi-vie » de l’élément radioactif.


4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à la courbe de N\mathrm{N} en t=0.t = 0 . L’abscisse de ce point est appelée « durée de vie moyenne » de l’échantillon.



91
[Calculer.] ◉◉◉
On considère la fonction hh définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par h(x)=exexex+exh(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}

1. Montrer que la courbe représentative de hh dans un repère admet l’origine comme centre de symétrie.


2. Montrer que hh est dérivable sur R.\mathbb{R .}


3. Montrer que la fonction hh vérifie h=1h2.h^{\prime}=1-h^{2}.

Club de Maths


107
DÉFI

On recherche des fonctions ff définies sur R\mathbb{R} et qui vérifient pour tous nombres réels xx et y:y :
f(x+y)=f(x)×f(y).f(x+y)=f(x) \times f(y).

1. Montrer que, pour tout réel a,a, la fonction xeaxx \mapsto \mathrm{e}^{a x} vérifie cette propriété.


2. Montrer que s’il existe un yy tel que f(y)=0,f(y) = 0, alors ff est la fonction identiquement nulle (x0).(x \mapsto 0).


3. On suppose que ff ne s’annule pas.
a. Montrer que f(0)=1.f(0)=1.


b. Montrer que pour tout xR,f(x)>0.x \in \mathbb{R}, f(x)>0.

106
DÉFI

Est-il vrai que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de toutes ses tangentes ? Justifier.

108
ÉNIGME

Pourquoi dit-on qu’une croissance exponentielle est plus forte que la croissance de la fonction carré ?


Fonction exponentielle

94
[Raisonner.]
D’après Bac S - Asie - 2015.
Pour tout entier naturel n,n , on définit la fonction fnf_{n} pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;1] [0 ; 1] par
fn(x)=x+en(x1).f_{n}(x)=x+\mathrm{e}^{n(x-1)}.

On note CnC_{n} la représentation graphique de la fonction fnf_{n} dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,n , la fonction fnf_{n} est positive.


2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn , la fonction fnf_{n} est croissante sur [0 ;1].[0 ; 1].


3. Montrer, par le calcul, que toutes les courbes CnC_{n} ont un point commun A\text{A} dont on précisera les coordonnées.


Tracés de fonction

95
[Raisonner.]
On a représenté ci-dessous les courbes représentant les fonctions ff et ff' définies sur R\mathbb{R} par f(x)=e0,5xf(x)=\mathrm{e}^{-0\text{,}5 x} et f(x)=0,5e0,5xf^{\prime}(x)=-0\text{,}5 \, \mathrm{e}^{-0\text{,}5 x}

Fonction exponentielle


1. Associer à chaque fonction la courbe représentative correspondante.
f(x)=e0,5xf(x)=\mathrm{e}^{-0\text{,}5 x}

f(x)=0,5e0,5x.f^{\prime}(x)=-0,5 \,\mathrm{e}^{-0,5 x}.


2. Montrer que, pour tout réel x,x , on a : f(x)+0,5f(x)=0.f^{\prime}(x)+0\text{,}5\,f(x)=0.


3. On considère une fonction gg définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que, pour tout réel x,x , g(x)=0,5g(x).g^{\prime}(x)=-0\text{,}5\,g(x).
Montrer que la fonction hh définie, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, par h(x)=g(x)f(x)h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)} est constante.


105
[Modéliser.] ◉◉◉
Pour modéliser la croissance d’une population soumise à des limitations de ressources, le mathématicien Pierre-François Verhulst propose, en 1838, d’étudier des équations de la forme P(t)=rP(t)(1P(t)K)\mathrm{P}^{\prime}(t)=r\,\mathrm{P}(t)\left(1-\dfrac{\mathrm{P}(t)}{\mathrm{K}}\right)P(t)\mathrm{P}(t) est la population au temps t,t, rr est le taux de croissance de la population et K\mathrm{K} la capacité d’accueil de la population, en lien avec les ressources disponibles. On appelle P0\mathrm{P}_{0} la population initiale.

1. Montrer que la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(t)=KP0ertK+P0(ert1)f(t)=\dfrac{\mathrm{K\,P}_{0} \mathrm{e}^{r t}}{\mathrm{K}+\mathrm{P}_{0}\left(\mathrm{e}^{r t}-1\right)} vérifie l'équation donnée plus haut.


2. Que se passe-t-il lorsque P0=K ?\mathrm{P}_{0}= \mathrm{K} ? Quelle interprétation concrète peut-on faire ?


Fonction exponentielle

100
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique xx centaines d’objets, où xx appartient à l’intervalle [0 ;40].[0 ; 40] .
On suppose que toute la production de l’entreprise est vendue et que le bénéfice, en milliers d’euros, de cette entreprise peut être modélisé par une fonction ff définie sur [0 ;40][0 ; 40] par f(x)=(10x10)e0,1x.f(x)=(10 x-10)\, \mathrm{e}^{-0,1 x}.

1. Déterminer la perte de l’entreprise lorsqu’il n’y a pas de production.


2. Quelle doit être la production de l’entreprise pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel sera alors le montant de ce bénéfice ?


3. À partir de quelle quantité produite et vendue l’entreprise réalise un bénéfice ?



101
PYTHON
[Modéliser.]
Le nombre e\mathrm{e} peut être approché par le nombre An=(1+1n)n\mathrm{A}_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} lorsque nn devient infiniment grand.

1. Calculer A1\mathrm{A}_{1} et A2.\mathrm{A}_{2}. Ces approximations semblent-elles satisfaisantes ? Justifier.


2. Écrire un programme avec Python qui calcule An\mathrm{A}_{n} pour une valeur de nn donnée.


a. Pour n=100,n = 100 , avec quelle précision le nombre An\mathrm{A}_{n} est une valeur approchée de e ?\mathrm{e} ?


b. Pour n=10000,n = 10\,000 , avec quelle précision le nombre An\mathrm{A}_{n} est une valeur approchée de e ?\mathrm{e} ?


c. Faire un dernier test avec n=1000000.n = 1\,000\,000 .

Histoire des maths


Jacques (Jakob de son vrai prénom) Bernoulli est un mathématicien et physicien suisse du XVIIe siècle. Il avait lancé un défi: « étudier la courbe obtenue par un câble tendu entre deux poteaux ». La réponse a été trouvée de manière indépendante par Gottfried W. Leibniz, Christian Huyghens et Jean Bernoulli (son frère): cette courbe a été appelée chaînette et est obtenue à l’aide du cosinus hyperbolique. Jacques Bernoulli qui a mis en place l’exponentielle à l’aide de sa relation fonctionnelle, a compris le calcul différentiel proposé par Leibniz et a beaucoup contribué à l’avancée du calcul des probabilités. On lui doit l’approximation de ee par (1+1n)n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n} quand nn devient très grand.

Jacques Bernouilli

96
[Modéliser.] ◉◉
D’après Bac S - Pondichery - 2018.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 10001\,000  °C. À la fin de la cuisson, il est éteint. On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La courbe représente la température du four en fonction du temps. La température du four, à l’instant t,t , est donnée par la fonction ff définie pour tout nombre réel t0t \geqslant 0 par f(t)=980et5+20.f(t)=980 \, \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{-t}{5}}}+20.

Fonction exponentielle


1. Au bout de combien de temps la température est-elle inférieure à 200200 °C ?


2. Calculer f(t)f'(t) pour tout nombre t0t \geqslant 0 et en déduire les variations de f.f .


3. Démontrer que la température à l’intérieur du four ne peut jamais être inférieure à 2020 °C.


4. Montrer que, pour tout t0:t \geqslant 0 : f(t)+15f(t)=4.f^{\prime}(t)+\dfrac{1}{5} f(t)=4.

92
[Raisonner.]
Soit yxy_{x} l’unique solution de l’équation d’inconnue y:y : ey=x\mathrm{e}^{y}=xxx appartient à R.\mathbb{R}. On définit la fonction ff par f(x)=yx.f(x)=y_{x}.

1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?f ?


2. Que vaut f(1)? f(1) ? Que vaut f(e) ? f(\mathrm{e}) ?


3. Soient aa et bb deux réels strictement positifs. Montrer que f(ab)=f(a)+f(b).f(ab) = f(a) + f(b) .

99
[Modéliser.]
D’après Bac ES - Antilles Guyane - 2017.
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail.
La production minimale est de 10 tonnes. On s’intéresse au bénéfice réalisé, en milliers d’euros, correspondant à la production d’une quantité de qq dizaines de tonnes d’aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction B\mathrm{B} donnée par B(q)=10e0,2q+1q.\mathrm{B}(q)=10-\dfrac{\mathrm{e}^{0,2 q+1}}{q}.
1. Sur quel intervalle I\mathrm{I} est définie B\mathrm{B} ?


2. a. Démontrer que, pour tout réel qI:q \in \mathrm{I} :
B(q)=(10,2q)e0,2q+1q2.\mathrm{B}^{\prime}(q)=\dfrac{(1-0\text{,}2 q) \, \mathrm{e}^{0,2 q+1}}{q^{2}}.


b. Étudier le signe de B(q)\mathrm{B}'(q) sur I.\mathrm{I}.


c. En déduire le tableau de variations de la fonction B\mathrm{B} sur I.\mathrm{I}.


3. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d’aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

97
[Représenter.] ◉◉◉
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(ax2+bx+c)ekxf(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{k x}a,a, b,b, cc et kk sont des réels fixés.
La courbe représentative de la fonction ff est donnée dans un repère orthogonal.
Celle-ci passe par les points A,\text{A} , B\text{B} et D\text{D} de coordonnées respectives (2;0)(-2 ; 0), (12;0)\left(-\dfrac{1}{2}\, ; 0\right) et (0;2).(0\, ; 2). De plus, la droite (CD),(\text{CD}), C\text{C} est le point de coordonnées (12;1),\left(-\dfrac{1}{2} ;-1\right), est tangente à la courbe en x=0.x=0.

Fonction exponentielle


À l’aide de toutes ces informations, retrouver les valeurs des paramètres a,a , b,b , cc et k.k .
  • a=a =
  • b=b =
  • c=c =
  • k=k =

  • 90
    DÉMO
    [Raisonner.]
    Soit f,f , une fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R} . Si ff' est dérivable, alors sa dérivée est la dérivée seconde de f.f . On la note f.f'' . Autrement dit, f=(f)f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime} On dit, de plus, qu’une fonction dérivable deux fois est convexe sur R\mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x,x , f(x)0.f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0.

    1. Vérifier que la fonction exponentielle est convexe.


    2. Soient aa et bb deux réels fixés. On note fa,bf_{a, b} la fonction définie sur R\mathbb{R} par fa,b(x)=eax+b.f_{a, b}(x)=\mathrm{e}^{a x+b}.
    a. Pour tout réel x,x , justifier l’existence de ff'' et déterminer fa,b(x).f_{a, b}^{\prime \prime}(x).


    b. En déduire que fa,bf_{a,b} est convexe pour tous réels aa et b.b .

    102
    TABLEAU
    [Représenter.]
    Théo place un capital de 10001\,000 euros sur un livret au taux composé annuel de 3,5 % (ce qui signifie que le capital dont dispose Théo augmente de 3,5% par an).

    1. Quel sera le capital de Théo à l’issue de deux années de placement ?


    2. À l’aide du tableur ci-dessous, expliquer pourquoi la fonction ff définie sur [0;+[[0\, ;+\infty[ par f(x)=1000e0,034xf(x)=1000\, \mathrm{e}^{0,034 x} est une bonne approximation de l’évolution du capital.


    3. Théo souhaite récupérer son placement au bout de 5 ans et 10 mois. Combien peut-il espérer obtenir ?




    Lancer le module Geogebra

    DIFFÉRENCIATION

    ◉◉ Parcours 1 : exercices 45 ; 50 ; 56 ; 66 ; 69 et 81.
    ◉◉ Parcours 2 : exercices 53 ; 61 ; 74 ; 86 ; 93 ; 96 et 103.
    ◉◉◉ Parcours 3 : exercices 76 ; 82 ; 91 ; 97 et 105.

    103
    [Calculer.] ◉◉
    On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+ex2.f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}.

    Cette fonction est appelée cosinus hyperbolique. Sa courbe représentative modélise par exemple le câble électrique tendu entre deux poteaux.

    Fonction exponentielle cosinus hyberbolique


    1. a. Montrer que la fonction ff est paire.


    b. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?


    2. a. Calculer f(x)f'(x) pour tout réel x.x .


    b. Étudier le signe de f(x).f'(x).


    c. En déduire les variations de ff sur R.\mathbb{R}.


    3. Représenter la fonction ff dans un repère.

    Tracé de fonction exponentielle

    93
    [Représenter.] ◉◉
    D’après Bac ES - Asie - 2018.
    On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative CfC_{f} d'une fonction ff définie sur I=[0 ;25]\mathrm{I} = [0 ; 25] par f(x)=(ax+b)e0,2xf(x)=(a x+b)\mathrm{ e}^{-0,2 x}aa et bb sont deux nombres réels. On a représenté également sa tangente T\mathrm{T} au point A(0 ;7).\mathrm{A}(0 ;7). T\mathrm{T} passe par le point B(2 ;14,2).\mathrm{B}—(2 ; 14\text{,}2).

    Fonction exponentielle


    1. Résoudre graphiquement l’équation f(x)=6.f(x)=6.


    2. a. Par lecture graphique, donner f(0).f(0) .


    b. Écrire f(0)f(0) en fonction de aa et b.b .


    c. En déduire que sur I, \mathrm{I} {,} f(x)=(ax+7)e0,2x. f(x)=(a x+7) \,\mathrm{e}^{-0,2 x}.


    3. a. Quel est le coefficient directeur de la droite T ?\mathrm{T} ?


    b. Exprimer, pour tout xIx \in \mathrm{I} , f(x)f'(x) en fonction de a.