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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 6

Synthèse

Exercices de Synthèse - Objectif BAC

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

103

Parcours 3 : exercices

;

105

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89
Démo
[Raisonner.]
On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = e^{x} - x - 1.

1. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse

x = 0.

2. Tracer dans un repère la courbe représentant la fonction exponentielle ainsi que sa tangente au point d'abscisse

x = 0.

3. Justifier que

f

est dérivable sur

R

puis étudier les variations de la fonction

f

sur

R .

4. Montrer que, pour tout réel

x,

f (x) ⩾ 0.

5. En déduire que la courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours au-dessus de sa tangente au point d'abscisse

0.

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90
Démo
[Raisonner.]
Soit

f,

une fonction définie et dérivable sur

R

. Si

f^{'}

est dérivable, alors sa dérivée est la dérivée seconde de

f .

On la note

f^{''} .

Autrement dit,

f^{''} = (f^{'})^{'}

On dit, de plus, qu'une fonction dérivable deux fois est convexe sur

R

si et seulement si pour tout réel

x,

f^{''} (x) ⩾ 0.

1. Vérifier que la fonction exponentielle est convexe.

2. Soient

a

b

deux réels fixés. On note

f_{a, b}

la fonction définie sur

R

par

f_{a, b} (x) = e^{a x + b} .

a. Pour tout réel

x,

justifier l'existence de

f_{a, b}^{''}

et déterminer

f_{a, b}^{''} (x) .

b. En déduire que

f_{a, b}

est convexe pour tous réels

a

b .

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91
[Calculer.]

On considère la fonction

h

définie pour tout

x \in R

par

h (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

1. Montrer que la courbe représentative de

h

dans un repère admet l'origine comme centre de symétrie.

2. Montrer que

h

est dérivable sur

R .

3. Montrer que la fonction

h

vérifie

h^{'} = 1 - h^{2} .

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92
[Raisonner.]
Soit

y_{x}

l'unique solution de l'équation d'inconnue

y :

e^{y} = x

où

x

appartient à

R .

On définit la fonction

f

par

f (x) = y_{x} .

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction

f ?

2. Que vaut

f (1)?

Que vaut

f (e) ?

3. Soient

a

b

deux réels strictement positifs. Montrer que

f (ab) = f (a) + f (b) .

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93
[Représenter.]

D'après Bac ES - Asie - 2018.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative

C_{f}

d'une fonction

f

définie sur

I = [0; 25]

par

f (x) = (a x + b) e^{- 0, 2 x}

où

a

b

sont deux nombres réels. On a représenté également sa tangente

T

au point

A (0; 7) .

T

passe par le point

B — (2; 14, 2) .

1. Résoudre graphiquement l'équation

f (x) = 6.

2. a. Par lecture graphique, donner

f (0) .

b. Écrire

f (0)

en fonction de

a

b .

c. En déduire que sur

I,

f (x) = (a x + 7) e^{- 0, 2 x} .

3. a. Quel est le coefficient directeur de la droite

T ?

b. Exprimer, pour tout

x \in I

f^{'} (x)

en fonction de

a .

c. En déduire que, pour tout

x \in I,

f (x) = (5 x + 7) e^{- 0, 2 x} .

4. On souhaite connaître le maximum de la fonction

f

sur

I .

a. Montrer que, pour tout

x \in I,

f^{'} (x) = (- x + 3, 6) e^{- 0, 2 x} .

b. Étudier le signe de

f^{'} (x)

puis les variations de

f

sur

I .

c. En déduire le maximum de

f

sur

I .

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94
[Raisonner.]
D'après Bac S - Asie - 2015.
Pour tout entier naturel

n,

on définit la fonction

f_{n}

pour tout réel

x

de l'intervalle

[0; 1]

par

f_{n} (x) = x + e^{n (x - 1)} .

On note

C_{n}

la représentation graphique de la fonction

f_{n}

dans un repère orthogonal. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel

n,

la fonction

f_{n}

est positive.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel

n

, la fonction

f_{n}

est croissante sur

[0; 1] .

3. Montrer, par le calcul, que toutes les courbes

C_{n}

ont un point commun

A

dont on précisera les coordonnées.

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95
[Raisonner.]
On a représenté ci-dessous les courbes représentant les fonctions

f

f^{'}

définies sur

R

par

f (x) = e^{- 0, 5 x}

f^{'} (x) = - 0, 5 e^{- 0, 5 x}

1. Associer à chaque fonction la courbe représentative correspondante.

f (x) = e^{- 0, 5 x}

f^{'} (x) = - 0, 5 e^{- 0, 5 x} .

2. Montrer que, pour tout réel

x,

on a :

f^{'} (x) + 0, 5 f (x) = 0.

3. On considère une fonction

g

définie et dérivable sur

R

telle que, pour tout réel

x,

g^{'} (x) = - 0, 5 g (x) .

Montrer que la fonction

h

définie, pour tout

x \in R,

par

h (x) = \frac{g ( x )}{f ( x )}

est constante.

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96
[Modéliser.]

D'après Bac S - Pondichery - 2018.
Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de

1000

°C. À la fin de la cuisson, il est éteint. On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l'instant où il est éteint. La courbe représente la température du four en fonction du temps. La température du four, à l'instant

t,

est donnée par la fonction

f

définie pour tout nombre réel

t ⩾ 0

par

f (t) = 980 e^{\frac{- t}{5}} + 20.

1. Au bout de combien de temps la température est-elle inférieure à

200

°C ?

2. Calculer

f^{'} (t)

pour tout nombre

t ⩾ 0

et en déduire les variations de

f .

3. Démontrer que la température à l'intérieur du four ne peut jamais être inférieure à

20

°C.

4. Montrer que, pour tout

t ⩾ 0 :

f^{'} (t) + \frac{1}{5} f (t) = 4.

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97
[Représenter.]

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{k x}

où

a,

b,

c

k

sont des réels fixés.
La courbe représentative de la fonction

f

est donnée dans un repère orthogonal.
Celle-ci passe par les points

A,

B

D

de coordonnées respectives

(- 2; 0)

(- \frac{1}{2}; 0)

(0; 2) .

De plus, la droite

(CD),

où

C

est le point de coordonnées

(- \frac{1}{2}; - 1),

est tangente à la courbe en

x = 0.

À l'aide de toutes ces informations, retrouver les valeurs des paramètres

a,

b,

c

k .

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98
En médecine
[Modéliser.]

D'après Bac S - Centres étrangers - 2017.

La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-à-dire sa concentration dans le plasma.
On note

f (t)

la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre (μg·L^-1), du médicament, au bout de

t

heures après administration.
Si l'administration est faite par voie intraveineuse,

f

est modélisée par :

f (t) = 20 e^{- 0, 1 t}

avec

t \in [0; + \infty [.

1. Donner la concentration plasmatique initiale.

2. Étudier les variations de la fonction

f

sur

[0; + \infty [.

3. On estime que le médicament est éliminé dès que laconcentration plasmatique est inférieure à 0,2 μg·L^-1. Compléter le programme ci-dessous qui donne le temps nécessaire à l'élimination de ce médicament (à 0,1 heure près).

from math import*
C = ...
t = ...
while ... :
	...
  ...
print(t)

Cliquez pour accéder à la correction

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99
[Modéliser.]
D'après Bac ES - Antilles Guyane - 2017.
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail.
La production minimale est de 10 tonnes. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en milliers d'euros, correspondant à la production d'une quantité de

q

dizaines de tonnes d'aliments.
On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction

B

donnée par

B (q) = 10 - \frac{e ^{0, 2 q + 1}}{q} .

1. Sur quel intervalle

I

est définie

B

2. a. Démontrer que, pour tout réel

q \in I :

B^{'} (q) = \frac{( 1 - 0 , 2 q ) e ^{0, 2 q + 1}}{q ^{2}} .

b. Étudier le signe de

B^{'} (q)

sur

I .

c. En déduire le tableau de variations de la fonction

B

sur

I .

Cliquez ici pour avoir accès à un espace de dessin

3. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ? Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

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100
[Modéliser.]
Une entreprise fabrique

x

centaines d'objets, où

x

appartient à l'intervalle

[0; 40] .

On suppose que toute la production de l'entreprise est vendue et que le bénéfice, en milliers d'euros, de cette entreprise peut être modélisé par une fonction

f

définie sur

[0; 40]

par

f (x) = (10 x - 10) e^{- 0, 1 x} .

1. Déterminer la perte de l'entreprise lorsqu'il n'y a pas de production.

2. Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel sera alors le montant de ce bénéfice ?

3. À partir de quelle quantité produite et vendue l'entreprise réalise un bénéfice ?

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101
Python
[Modéliser.]
Le nombre

e

peut être approché par le nombre

A_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

lorsque

n

devient infiniment grand.

1. Calculer

A_{1}

A_{2} .

Ces approximations semblent-elles satisfaisantes ? Justifier.

2. Écrire un programme avec Python qui calcule

A_{n}

pour une valeur de

n

donnée.

Cliquez pour accéder à la correction

a. Pour

n = 100,

avec quelle précision le nombre

A_{n}

est une valeur approchée de

e ?

b. Pour

n = 10000,

avec quelle précision le nombre

A_{n}

est une valeur approchée de

e ?

c. Faire un dernier test avec

n = 1000 000.

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102
Tableau
[Représenter.]

Théo place un capital de

1000

euros sur un livret au taux composé annuel de 3,5 % (ce qui signifie que le capital dont dispose Théo augmente de 3,5% par an). 1. Quel sera le capital de Théo à l'issue de deux années de placement ?

2. À l'aide du tableur ci-dessous, expliquer pourquoi la fonction

f

définie sur

[0; + \infty [

par

f (x) = 1000 e^{0, 034 x}

est une bonne approximation de l'évolution du capital.

3. Théo souhaite récupérer son placement au bout de 5 ans et 10 mois. Combien peut-il espérer obtenir ?

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103
[Calculer.]

On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} .

Cette fonction est appelée cosinus hyperbolique. Sa courbe représentative modélise par exemple le câble électrique tendu entre deux poteaux.

Photographie de pylônes électriques au crépuscule. Lignes à haute tension s'étendant à l'horizon.

1. a. Montrer que la fonction

f

est paire.

b. Quelle interprétation graphique peut-on faire ?

2. a. Calculer

f^{'} (x)

pour tout réel

x .

b. Étudier le signe de

f^{'} (x) .

c. En déduire les variations de

f

sur

R .

3. Représenter la fonction

f

dans un repère.

Histoire des maths

Jacques (Jakob de son vrai prénom) Bernoulli est un mathématicien et physicien suisse du XVII^e siècle. Il avait lancé un défi : « étudier la courbe obtenue par un câble tendu entre deux poteaux ». La réponse a été trouvée de manière indépendante par Gottfried W. Leibniz, Christian Huyghens et Jean Bernoulli (son frère): cette courbe a été appelée chaînette et est obtenue à l'aide du cosinus hyperbolique. Jacques Bernoulli qui a mis en place l'exponentielle à l'aide de sa relation fonctionnelle, a compris le calcul différentiel proposé par Leibniz et a beaucoup contribué à l'avancée du calcul des probabilités. On lui doit l'approximation de

e

par

(1 + \frac{1}{n})^{n}

quand

n

devient très grand.

Portrait peint de Jacques Bernoulli, mathématicien du 17e siècle, tenant un globe terrestre.

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104
En physique
[Modéliser.]
Les noyaux radioactifs se désintègrent au cours du temps. Si l'on regarde un échantillon de

N_{0}

noyaux radioactifs au temps

t = 0,

alors le nombre

N (t)

de noyaux radioactifs à l'instant

t

vérifie l'équation

τ N^{'} (t) + N (t) = 0 o u ˋ N (0) = N_{0}

τ

est un réel strictement positif appelé constante radioactive qui dépend de l'élément radioactif considéré. 1. Montrer que la fonction

N (t) = N_{0} exp (- \frac{t}{τ})

vérifie les conditions données.

2. Démontrer que la fonction

N

est décroissante sur

R^{+} .

Quelle interprétation concrète peut-on faire ? Est-ce surprenant ?

3. On notera

ln (2)

l'unique solution de l'équation

e^{x} = 2.

Montrer que le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié par rapport au temps initial lorsque

t = τ ln (2) .

On appelle ce réel le « temps de demi-vie » de l'élément radioactif.

4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe de

N

t = 0.

L'abscisse de ce point est appelée « durée de vie moyenne » de l'échantillon.

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105
[Modéliser.]

Pour modéliser la croissance d'une population soumise à des limitations de ressources, le mathématicien Pierre-François Verhulst propose, en 1838, d'étudier des équations de la forme

P^{'} (t) = r P (t) (1 - \frac{P ( t )}{K})

où

P (t)

est la population au temps

t,

r

est le taux de croissance de la population et

K

la capacité d'accueil de la population, en lien avec les ressources disponibles. On appelle

P_{0}

la population initiale. 1. Montrer que la fonction

f

définie sur

R

par

f (t) = \frac{K P _{0} e ^{r t}}{K + P _{0} ( e ^{r t} - 1 )}

vérifie l'équation donnée plus haut.

2. Que se passe-t-il lorsque

P_{0} = K ?

Quelle interprétation concrète peut-on faire ?

Photographie aérienne d'une immense foule formant la planète Terre. Diversité humaine globale.

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Club de Maths

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106
Défi
Est-il vrai que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située au-dessus de toutes ses tangentes ? Justifier.

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107
Défi

On recherche des fonctions

f

définies sur

R

et qui vérifient pour tous nombres réels

x

y :

f (x + y) = f (x) \times f (y) .

1. Montrer que, pour tout réel

a,

la fonction

x \mapsto e^{a x}

vérifie cette propriété.

2. Montrer que s'il existe un

y

tel que

f (y) = 0,

alors

f

est la fonction identiquement nulle

(x \mapsto 0) .

3. On suppose que

f

ne s'annule pas.
a. Montrer que

f (0) = 1.

b. Montrer que pour tout

x \in R, f (x) > 0.

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108
Énigme
Pourquoi dit-on qu'une croissance exponentielle est plus forte que la croissance de la fonction carré ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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Ch. 2Fonctions de référence

Ch. 3Équations et inéquations du second degré

Ch. 4Dérivation

Ch. 5Applications de la dérivation

Ch. 6Fonction exponentielle

Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

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Trigonométrie

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