Fonction exponentielle

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La fonction exponentielle, notée $\exp$ , est l'unique fonction $\mathbf{x}\mapsto {\mathbf{e}}^x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R},$ égale à sa dérivée sur $\mathbb{R}$ et vérifiant ${\mathbf{e}}^0=1$. Pour tout nombre réel $x,$ ${\mathbf{e}}^x>0.$ Cela permet de :

✔ compléter la liste des fonctions de référence avec une nouvelle fonction importante dans plusieurs domaines des mathématiques (analyse, probabilité, algèbre, etc.) ;
✔ résoudre des problèmes liés à des croissances ou des décroissances à taux constants.

2

Pour tous nombres réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n,$ ${\mathbf{e}}^{x+y}={\mathbf{e}}^x{\mathbf{e}}^y$ ; ${\mathbf{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathbf{e}}^x}$ et ${\mathbf{e}}^{nx}={\left({\mathbf{e}}^x\right)}^n.$ Cela permet de :

✔ transformer une expression contenant la fonction exponentielle pour obtenir une forme simplifiée ;
✔ résoudre des équations où apparaît la fonction exponentielle.

3

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et est égale à sa dérivée. Cela permet de :

✔ connaître les variations de la fonction exponentielle : elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
✔ résoudre des équations et des inéquations : $\exp (a)=\exp (b)\iff a=b$ et $\exp (a)>\exp (b)\iff a>b$
✔ étudier des fonctions plus complexes où la fonction exponentielle intervient.