TP / TICE 1


La méthode d’Euler pour tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle




Énoncé

On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle en utilisant seulement sa définition : c’est l’unique fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff' = f et f(0)=1.f(0) = 1.

Question préliminaire :
1. Soit h>0.h > 0. Rappeler la définition du nombre dérivé de la fonction ff en x=a.x = a .


2. Expliquer alors pourquoi on peut écrire que « très près de aa » (on dit au voisinage de a)a ) : f(a+h)f(a)+hf(a).f(a+h) \approx f(a)+h f^{\prime}(a).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

On choisit de partager l’intervalle [0 ;1][0 ; 1] en dix intervalles réguliers (appelés subdivision régulière).

1. a. Quel sera le pas hh de la subdivision ?


b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2. , donner une approximation affine de f(0,1). f(0{,}1).


c. Quelle est la valeur approximative de f(0,1)f'(0\text{,}1) ?


d. En déduire une approximation affine de f(0,2).f(0{,}2) .


Tableur poru méthode d'Euler


2. Construire une feuille de tableur sur GeoGebra comme ci-dessus.
Lancer le module Geogebra
3. Représenter le nuage de points associé à cette feuille de calculs et tracer une courbe approximative de la fonction exponentielle sur l’intervalle [0 ;1].[0 ; 1].

4. Comment obtenir une courbe plus précise ? Faire des essais.



Objectif

Construire point par point la courbe représentative de la fonction exponentielle sur l’intervalle [0 ;1][0 ; 1] à l’aide des segments représentant des fonctions affines en utilisant une des deux méthodes.

Remarque

Le segment [AB][\text{AB}] représente une fonction affine sur l’intervalle [0 ;0,4][0 ; 0\text{,}4] et est proche de la courbe représentant la fonction ff telle que f(0)=1f(0)=1 et f(0)=1f'(0) = 1 avec h=0,4.h = 0{,}4.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

from matplotlib import pyplot as plt

n = 10
x = [] #liste des abscisses
y = [] #liste des ordonnées
x = x + [0]
y = y + [1]

for k in range(1, n + 1):
	a = float(x[k - 1]) + 1/n
  x = x + [a]
  b = (1 + 1/n)*float(y[k - 1])
  y = y + [b]
  # Affichage des points dans le repère
plt.clf()
plt.plot(x, y, marker='o', linestyle='-')
plt.show()

3. Expliquer le code des lignes 9 à 13.


4. Exécuter ce programme avec dix puis cent subdivisions et comparer le résultat avec la courbe de la fonction exponentielle.



On choisit de partager l’intervalle [0;1][0\, ; 1] en dix intervalles réguliers (appelés subdivision régulière).

1. a. Quel sera le pas hh de la subdivision ?


b. En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la question préliminaire 2., donner une approximation affine de f(0,1).f(0\text{,}1) .


c. Quelle est la valeur approximative de f(0,1)f'(0{,}1) ?


d. En déduire une approximation affine de f(0,2).f(0{,}2) .


2. Le programme ci-dessous donne une courbe approchant la représentation graphique de la fonction exponentielle sur l’intervalle [0 ;1].[0 ; 1]. Où apparaît le nombre de subdivisions régulières ?



La méthode d’Euler pour tracer la courbe représentative de la fonction exponentielle
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