TP / TICE 1


Évolution du nombre de noyaux radioactifs




Énoncé

Certaines proportions de protons et neutrons dans le noyau d’un atome ne permettent pas la stabilité du noyau. Le noyau est alors dit radioactif. Les noyaux instables se désintègrent spontanément mais on ne peut prévoir à quel instant. Néanmoins, sur des échantillons comportant de très nombreux noyaux radioactifs, la courbe traduisant le nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps a toujours la même allure.

On admet que la fonction N:tN0exp(tτ) \mathrm{N} : t \mapsto \mathrm{N}_{0} \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)N0\mathrm{N}_{0} est le nombre de noyaux radioactifs à l’instant initial t=0t = 0 et τ\tau est une constante (appelée constante de temps) caractéristique du noyau radioactif étudié donne l’évolution du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.

On appelle demi-vie d’un échantillon radioactif la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux est divisé par deux par rapport au nombre de noyaux initial. Cette modélisation est vraie pour N0\mathrm{N}_{0} très grand. Dans le cadre de cet exercice, on se limitera à des valeurs plus raisonnables pour les logiciels.

On donne les caractéristiques suivantes pour des atomes particuliers.

N0\mathrm{N}_{0} τ\tau Unité de temps
Polonium 210 5 000 199,6 jour
Iode 131 10 000 11,57 jour
Uranium 235 1 000 1 015 million d'années


Question préliminaire :
1. La courbe ci-contre traduit l’évolution de noyaux radioactifs d’uranium 235. Estimer une valeur approchée de la demi-vie de cet atome.


2. Quelle est l’expression de la fonction N(t)\mathrm{N}(t) associée à cet échantillon d’uranium ?




Évolution du nombre de noyaux radioactifs
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

On souhaite utiliser un tableur pour déterminer la demi-vie du polonium, de l’iode et de l’uranium.

Lancer le module Geogebra
1. Recopier le tableau suivant. Pourquoi utilise-t-on le signe $ ?


Évolution du nombre de noyaux radioactifs

2. Étirer la formule vers le bas jusqu’à trouver un encadrement à l’unité près de la demi-vie du polonium. Dans la case G3, inscrire la borne supérieure.

3. Procéder de la même façon pour trouver un encadrement à l’unité près des demi-vies de l’iode et de l’uranium. Inscrire les bornes supérieures des intervalles dans les cases H3 et I3.


4. Dans les cases G4, H4 et I4, calculer le rapport de la demi-vie par la constante τ. \tau. Que remarque-t-on ?


5. Comment faire pour obtenir une estimation plus précise du temps de demi-vie ?


MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. Tracer les courbes correspondant aux trois atomes étudiés dans GeoGebra.

Lancer le module Geogebra

2. Rechercher graphiquement les demi-vies de chaque noyau radioactif. Il peut être utile de régler l’échelle des axes pour faciliter la lecture.


3. Tracer les tangentes à chacune des courbes au point d’abscisse 0.

4. Relever l’abscisse du point d’intersection des tangentes avec l’axe des abscisses que l’on notera x0.x_{0}.


5. Quel lien peut-on faire entre τ\tau et x0x_{0} pour chaque échantillon ?


6. Pour chaque noyau, diviser la demi-vie par l’abscisse du point x0.x_{0} .


7. Que peut-on en déduire ?



Objectif

Déterminer la constante de temps τ\tau de différents noyaux radioactifs à l’aide d’une des deux méthodes.
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