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COURS 1


2
Étude de la fonction exponentielle




Application et méthode


SOLUTION

Pour tout nombre réel x,x , la fonction exponentielle est strictement positive donc ex>0.\mathrm{e}^{-x}>0.
De même, pour tout nombre réel x,x , e3x1>0,\mathrm{e}^{-3 x-1}>0, donc e3x1<0.-\mathrm{e}^{-3 x-1}\lt 0.

Pour s'entraîner : exercices 31 et 32 p.171

Énoncé

Donner le signe des expressions suivantes :
ex\mathrm{e}^{-x} et e3x1.\mathrm{-e}^{-3 x-1}.

Méthode

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement positive sur R.\mathbb{R}.

Application et méthode


Méthode

1. Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle :
  • La fonction dérivée de xexp(ax+b)x \mapsto \exp (a x+b) est xaexp(ax+b).x \mapsto a \exp (a x+b).

  • exp(a)exp(b)=0exp(a)=exp(b)a=b\begin{aligned} \exp (a)-\exp (b)=0 & \Leftrightarrow \exp (a)=\exp (b) \\ & \Leftrightarrow a=b \end{aligned}
  • car la fonction exponentielle est strictement monotone sur R.\mathbb{R} .

  • exp(a)exp(b)>0exp(a)>exp(b)a>b\begin{aligned} \exp (a)-\exp (b)>0 & \Leftrightarrow \exp (a)>\exp (b) \\ & \Leftrightarrow a>b \end{aligned}
    car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.\mathbb{R} .

  • 2. Il faut également penser à simplifier au maximum l’expression de la dérivée pour permettre l’utilisation des propriétés de la fonction exponentielle.

    3. Le lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée doit évidemment être connu et utilisé.


    Méthode

    On utilise les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour se ramener à des équations du type ea=eb \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} ou eaeb.\mathrm{e}^{a} \leqslant \mathrm{e}^{b}.
    On se sert ensuite des propriétés ea=eba=b\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a = b et eaebab.\mathrm{e}^a \leqslant \mathrm{e}^b \Leftrightarrow a \leqslant b .

    Énoncé

    ▶▶ Résoudre des équations et des inéquations

    Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation e2x=1e\mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}} puis e3x+4+12.\mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2.

    Énoncé

    ▶▶ Utiliser les variations de la fonction exponentielle

    On considère la fonction ff définie et dérivable sur [2;2] [-2\, ; 2] par f(x)=b8(exp(xb)+exp(xb))f(x)=\dfrac{-b}{8}\left(\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)+\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right)bb est un réel fixé strictement positif.
    Déterminer les variations de la fonction ff sur son ensemble de définition.

    SOLUTION

  • e2x=1e\mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}
    e2x=e1 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x}=\mathrm{e}^{-1}
    2x=1\Leftrightarrow 2 x=-1
    x=12 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}

  • L’équation e2x=1e\mathrm{e}^{2 x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}} a pour unique solution 12.-\dfrac{1}{2}.

  • e3x+4+12\mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2
    e3x+41 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-3 x+4} \geqslant 1
    e3x+4e0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{-3 x+4} \geqslant \mathrm{e}^{0}
    3x+40 \Leftrightarrow-3 x+4 \geqslant 0
    x43\Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{4}{3}

  • L’ensemble des solutions de l’inéquation e3x+4+12\mathrm{e}^{-3 x+4}+1 \geqslant 2 est l'intervalle];43]. ]-\infty\, ; \dfrac{4}{3} ].

    Pour s'entraîner : exercices 35 à 37 p. 171

    SOLUTION

    D’après l’énoncé, la fonction ff est dérivable sur [2;2].[-2\, ; 2].
    La dérivée de xxbx \mapsto \dfrac{x}{b} est 1b,\dfrac{1}{b}, donc la dérivée de xexp(xb)x \mapsto \exp \left(\dfrac{x}{b}\right) est 1b×exp(xb).\dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{x}{b}\right).
    La dérivée de xxbx \mapsto \dfrac{-x}{b} est 1b,\dfrac{-1}{b}, donc la dérivée de xexp(xb)x \mapsto \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right) est 1b×exp(xb).\dfrac{-1}{b} \times \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right).

    Ainsi, pour tout x[2;2],x \in[-2\, ; 2], f(x)=b8(1b×exp(xb)1b×exp(xb)).f^{\prime}(x)=\dfrac{-b}{8}\left(\dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\dfrac{1}{b} \times \exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right).
    En simplifiant par b,b , on obtient f(x)=18(exp(xb)exp(xb)). f^{\prime}(x)=\dfrac{-1}{8}\left(\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)\right).

    Puisque18<0, \dfrac{-1}{8} \lt 0, le signe de f f' est du signe contraire de exp(xb)exp(xb).\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right).

    D’une part, exp(xb)exp(xb)=0 \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)=0
    exp(xb)=exp(xb)\Leftrightarrow \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)=\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)
    xb=xbx=0. \Leftrightarrow \dfrac{x}{b}=\dfrac{-x}{b} \Leftrightarrow x=0.

    D'autre part, exp(xb)exp(xb)>0\exp \left(\dfrac{x}{b}\right)-\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)>0
    exp(xb)>exp(xb) \Leftrightarrow \exp \left(\dfrac{x}{b}\right)>\exp \left(\dfrac{-x}{b}\right)
    xb>xb \Leftrightarrow \dfrac{x}{b}>\dfrac{-x}{b}
    x>0. \Leftrightarrow x>0.
    On en déduit alors que f(x)=0x=0 et f(x)>0x<0.f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text { et } f^{\prime}(x)>0 \Leftrightarrow x \lt 0.
    La fonction ff est donc croissante sur [2 ;0][-2 ; 0] et décroissante sur [0 ;2].[0 ;2].

    Pour s'entraîner : exercices 85 et 86 p. 175

    Application et méthode

    Énoncé

    Étudier les variations des fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par :
    1. f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x

    2. g(x)=e2x+6g(x)=\mathrm{e}^{-2 x+6}

    Méthode

    1. On calcule la fonction dérivée de ff puis on étudie le signe de f(x).f'(x).

    2. xf(ax+b) x \mapsto f(a x+b) a pour fonction dérivée xa×f(ax+b).x \mapsto a \times f^{\prime}(a x+b).


    SOLUTION

    1. ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx , f(x)=ex+1.f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}+1. Or, ex+10ex1,\mathrm{e}^{x}+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^{x} \geqslant-1, ce qui est vrai pour tout nombre réel x.x . L’équation f(x)=0f^{\prime}(x)=0 n’admet pas de solution. Donc f(x)>0f^{\prime}(x)>0 sur R\mathbb{R} et ff est strictement croissante sur R.\mathbb{R}.

    2. gg est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx, g(x)=2×e2x+6.g^{\prime}(x)=-2 \times \mathrm{e}^{-2 x+6}. Or, pour tout réel xx, e2x+6>0 \mathrm{e}^{-2 x+6}>0 donc g(x)<0g^{\prime}(x)\lt 0 sur R.\mathbb{R}. Par conséquent, gg est strictement décroissante sur R.\mathbb{R}.

    Pour s'entraîner : exercices 33 et 34 p. 171

    B
    Variations de la fonction exponentielle


    Propriété

    La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.\mathbb{R} .
    Variations de la fonction exponentielle


    Variations de la fonction exponentielle

    Exemple

    La fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=3e2x5+1h(x)=-3 \, e^{2 x-5}+1 est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel x,x, h(x)=2×(3e2x5)=6e2x5.h^{\prime}(x)=2 \times\left(-3\, \mathrm{e}^{2 x-5}\right)=-6 \, \mathrm{e}^{2 x-5}. Pour tout réel xx , e2x5>0,\mathrm{e}^{2 x-5}>0 , donc on en déduit que h(x)<0.h^{\prime}(x) \lt 0. Par conséquent, hh est strictement décroissante sur R.\mathbb{R}.

    DÉMONSTRATION

    Pour tout nombre réel x,x , exp(x)=exp(x)>0.\exp ^{\prime}(x)=\exp (x)>0.

    La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb{R} donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.\mathbb{R}.

    Propriété

    Pour tous réels aa et bb fixés, la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=eax+bf(x) = \mathrm{e}^{ax+b} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel x,x , f(x)=aeax+b. f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x+b}.

    DÉMONSTRATION

    On applique directement la formule p. 113 pour obtenir le résultat souhaité.

    Remarque

    On calcule ici la dérivée de la composée de la fonction exponentielle avec une fonction affine.

    C
    Résolution d’équations et d’inéquations


    DÉMONSTRATION

    La fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} donc :
  • deux images égales ont nécessairement le même antécédent ;
  • deux nombres et leur image sont classés dans le même ordre.

  • Exemples

    ex=e7x=7\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{7} \Leftrightarrow x=7  et   ex<e2x<2\mathrm{e}^{x} \lt \mathrm{e}^{-2} \Leftrightarrow x \lt -2

    Propriétés

    Pour tous nombres réels aa et b:b :
  • ea=eba=b\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a=b
  • ea<eba<b\mathrm{e}^{a} \lt \mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a \lt b
  • ea>eba>b\mathrm{e}^{a}>\mathrm{e}^{b} \Leftrightarrow a>b
  • Remarque

    Il est bon de connaître par cœur :
    ex1x0\mathrm{e}^{x} \geqslant 1 \Leftrightarrow x \geqslant 0

    A
    Signe de la fonction exponentielle


    DÉMONSTRATION

    Pour tout nombre réel x,x, on a ex=ex2+x2=ex2×ex2=(ex2)2.\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}}=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}} \times \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}=\left(\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}\right)^{2}. Dans R,\mathbb{R} , un carré est toujours positif ou nul. Or, la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur R,\mathbb{R} , donc, pour tout nombre réel x,x, e(x2)2>0\mathrm{e}^{\normalsize{(\frac{x}{2}})^{2}}>0 d'où ex2>0\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}>0

    Exemples

    e3>0\mathrm{e}^{3}>0 et e5>0\mathrm{e^{-5}}>0
    L'équation ex=4\mathrm{e}^{x} = -4 n’admet pas de solution car 4 -4 est négatif alors que pour tout x,x, ex>0.\mathrm{e}^{x} > 0 . Autrement dit, 4-4 n’admet pas d’antécédent par la fonction exponentielle.

    Propriété

    Pour tout nombre réel x,x, ex>0.\mathrm{e}^{x} > 0 .
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