Étude de la fonction exponentielle

${\mathrm{e}}^3>0$ et ${\mathrm{e}}^{-5}>0$
L'équation ${\mathrm{e}}^x=-4$ n'admet pas de solution car $-4$ est négatif alors que pour tout $x,$ ${\mathrm{e}}^x>0.$ Autrement dit, $-4$ n'admet pas d'antécédent par la fonction exponentielle.

Pour tout nombre réel $x,$ on a ${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}={\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\times {\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}={\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^2.$ Dans $\mathbb{R},$ un carré est toujours positif ou nul. Or, la fonction exponentielle ne s'annule jamais sur $\mathbb{R},$ donc, pour tout nombre réel $x,$ ${\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^2>0$ d'où ${\mathrm{e}}^x>0$.

Donner le signe des expressions suivantes : ${\mathrm{e}}^{-x}$ et ${-\mathrm{e}}^{-3x-1}.$

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}.$

Pour tous réels $a$ et $b$ fixés, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x,$ $f^{\prime }(x)=a{\mathrm{e}}^{ax+b}.$

On calcule ici la dérivée de la composée de la fonction exponentielle avec une fonction affine.

On applique directement la formule

p. 113

pour obtenir le résultat souhaité.

La fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-3e^{2x-5}+1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x,$ $h^{\prime }(x)=2\times \left(-3{\mathrm{e}}^{2x-5}\right)=-6{\mathrm{e}}^{2x-5}.$ Pour tout réel $x$ , ${\mathrm{e}}^{2x-5}>0,$ donc on en déduit que $h^{\prime }(x)<0.$ Par conséquent, $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}.$

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : 1. $f(x)={\mathrm{e}}^x+x$

2. $g(x)={\mathrm{e}}^{-2x+6}$

1. On calcule la fonction dérivée de $f$ puis on étudie le signe de $f^{\prime }(x).$

2. $x\mapsto f(ax+b)$ a pour fonction dérivée $x\mapsto a\times f^{\prime }(ax+b).$

Pour tous nombres réels $a$ et $b:$

${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b\iff a=b$

${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b\iff a<b$

${\mathrm{e}}^a>{\mathrm{e}}^b\iff a>b$

Il est bon de connaître par cœur : ${\mathrm{e}}^x⩾1\iff x⩾0$

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ donc :

deux images égales ont nécessairement le même antécédent ;

deux nombres et leur image sont classés dans le même ordre.

${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^7\iff x=7$  et   ${\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}}^{-2}\iff x<-2$

On utilise les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour se ramener à des équations du type ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b$ ou ${\mathrm{e}}^a⩽{\mathrm{e}}^b.$
On se sert ensuite des propriétés ${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b\iff a=b$ et ${\mathrm{e}}^a⩽{\mathrm{e}}^b\iff a⩽b.$

1. Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle :

La fonction dérivée de $x\mapsto \exp (ax+b)$ est $x\mapsto a\exp (ax+b).$

$\begin{array}{rl}\exp (a)-\exp (b)=0& \iff \exp (a)=\exp (b)\\ & \iff a=b\end{array}$

car la fonction exponentielle est strictement monotone sur $\mathbb{R}.$

$\begin{array}{rl}\exp (a)-\exp (b)>0& \iff \exp (a)>\exp (b)\\ & \iff a>b\end{array}$
car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$

2. Il faut également penser à simplifier au maximum l'expression de la dérivée pour permettre l'utilisation des propriétés de la fonction exponentielle.

3. Le lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée doit évidemment être connu et utilisé.

D'après l'énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $[-2;2].$
La dérivée de $x\mapsto \frac{x}{b}$ est $\frac{1}{b},$ donc la dérivée de $x\mapsto \exp \left(\frac{x}{b}\right)$ est $\frac{1}{b}\times \exp \left(\frac{x}{b}\right).$
La dérivée de $x\mapsto \frac{-x}{b}$ est $\frac{-1}{b},$ donc la dérivée de $x\mapsto \exp \left(\frac{-x}{b}\right)$ est $\frac{-1}{b}\times \exp \left(\frac{-x}{b}\right).$

Ainsi, pour tout $x\in [-2;2],$ $f^{\prime }(x)=\frac{-b}{8}\left(\frac{1}{b}\times \exp \left(\frac{x}{b}\right)-\frac{1}{b}\times \exp \left(\frac{-x}{b}\right)\right).$
En simplifiant par $b,$ on obtient $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{8}\left(\exp \left(\frac{x}{b}\right)-\exp \left(\frac{-x}{b}\right)\right).$

Puisque$\frac{-1}{8}<0,$ le signe de $f^{\prime }$ est du signe contraire de $\exp \left(\frac{x}{b}\right)-\exp \left(\frac{-x}{b}\right).$

D'une part, $\exp \left(\frac{x}{b}\right)-\exp \left(\frac{-x}{b}\right)=0$
$\iff \exp \left(\frac{x}{b}\right)=\exp \left(\frac{-x}{b}\right)$
$\iff \frac{x}{b}=\frac{-x}{b}\iff x=0.$

D'autre part, $\exp \left(\frac{x}{b}\right)-\exp \left(\frac{-x}{b}\right)>0$
$\iff \exp \left(\frac{x}{b}\right)>\exp \left(\frac{-x}{b}\right)$
$\iff \frac{x}{b}>\frac{-x}{b}$
$\iff x>0.$
On en déduit alors que $f^{\prime }(x)=0\iff x=0\text{ et }{f}^{\prime }(x)>0\iff x<0.$
La fonction $f$ est donc croissante sur $[-2;0]$et décroissante sur $[0;2].$

Exercices

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et

86

p. 175