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1. Généralités sur la fonction exponentielle
P.160-161

COURS 1


1
Généralités sur la fonction exponentielle




A
Définition


Lemme

S’il existe une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x,x , f(x)=f(x)f^{\prime}(x)=f(x) et, f0)=1,f'0)=1, alors cette fonction ne s'annule jamais.

Remarque

Un lemme est un résultat intermédiaire généralement utilisé pour démontrer un théorème plus conséquent.

DÉMONSTRATION

Voir activité
A
p.158.

Théorème

Il existe une unique fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x, x , f(x)=f(x)f^{\prime}(x)=f(x) et f(0)=1.f(0) = 1 .

DÉMONSTRATION

L’existence de cette fonction est admise. La démonstration de l’unicité a été réalisée dans l’activité
B
p.158.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction, notée exp,\exp , définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que exp(0)=1\exp(0) = 1 et exp=exp.\exp' = \exp.

Remarque

D’après le lemme, on peut dire que, pour tout réel x,x , exp(x)0.\exp (x) \neq 0.

Application et méthode

Énoncé

Déterminer la fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff' = f et f(0)=3.f(0) = 3 .

Méthode

On utilise deux propriétés de la fonction exponentielle.
  • La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée : exp=exp.\exp' = \exp .
  • exp(0)=1 \exp(0) = 1 donc, pour avoir f(0)=3,f(0) = 3 , il suffit de multiplier par 33 la fonction exponentielle.

SOLUTION

On pose f(x)=3exp(x)f(x)= 3\,\exp(x). Cette fonction est bien définie et dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx \in \mathbb{R},
f(x)=3exp(x)=3exp(x)=f(x).f'(x)= 3\, \exp'(x) = 3\, \exp(x)=f(x).
De plus, f(0)=3exp(0)=3×1=3.f(0)=3\, \exp(0)=3 \times 1 = 3.

Pour s'entraîner : exercices 22 p. 171; 41 et 42 p.172

B
Propriétés algébriques


Théorème

Pour tous nombres réels xx et y,y , exp(x+y)=exp(x)×exp(y).\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y) . Cette relation s’appelle relation fonctionnelle.
Autrement dit, l’exponentielle d’une somme de deux nombres est le produit de l’exponentielle de chacun de ces nombres.

Logique

« Pour tous nombres réels xx et yy » signifie que l’égalité est vraie quelles que soient les valeurs de xx et y.y .

DÉMONSTRATION

yy est un nombre réel fixé et, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, on définit la fonction ff par f(x)=exp(x+y)exp(x).f(x)=\dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}. ff est dérivable sur R\mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel x,x, f(x)=exp(x+y)exp(x)exp(x+y)exp(x)[exp(x)]2=0.f^{\prime}(x)=\dfrac{\exp (x+y) \exp (x)-\exp (x+y) \exp (x)}{[\exp (x)]^{2}}=0.
On en déduit que ff est une fonction constante. Ainsi, pour tout réel x,x , f(x)=f(0)=exp(y).f(x)=f(0)=\exp (y).
Par conséquent, exp(x+y)exp(x)=exp(y),\dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}=\exp (y), d'où exp(x+y)=exp(x)×exp(y).\exp (x+y)=\exp (x) \times \exp (y).

Remarque

yy est un réel fixé donc la démonstration est valable pour toute valeur de yR.y \in \mathbb{R}. La propriété est donc vraie pour tous réels xx et y.y .

Propriété

Pour tous nombres réels x,x, exp(x)×exp(x)=1\exp (x) \times \exp (-x)=1 et exp(x)=1exp(x).\exp (-x)=\dfrac{1}{\exp (x)}.

DÉMONSTRATION

Pour tous réels xx et yy on a exp(x)×exp(y)=exp(x+y).\exp (x) \times \exp (y)=\exp (x+y). En remplaçant yy parx, -x, on obtient exp(x)×exp(x)=exp(xx)=exp(0)=1.\exp (x) \times \exp (-x)=\exp (x-x)=\exp (0)=1.
Donc, pour tout réel x,x , exp(x)\exp(x) et exp(x)\exp(-x) sont inverses l’un de l’autre d’où exp(x)=1exp(x).\exp (-x)=\dfrac{1}{\exp (x)}.

Remarque

La dernière étape est vraie car exp(x)0\exp (x) \neq 0 pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

Propriété

Pour tous nombres réels x,x, et y,y, exp(xy)=exp(x)exp(y).\exp (x-y)=\dfrac{\exp (x)}{\exp (y)}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
48
p.172.

Propriété (admise)

Pour tout réel xx et pour tout entier relatif n,n , [exp(x)]n=exp(nx).[\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

Remarque

Pour nN,n \in \mathbb{N}, on peut utiliser la propriétéexp(a)×exp(b)=exp(a+b)\begin{array}{l}{\exp (a) \times \exp (b)} {=\exp (a+b)}\end{array}

EXEMPLES

  • exp(3)×exp(7)=exp(3+7) ;\exp (3) \times \exp (7)=\exp (3+7) ;
  • exp(5)=1exp(5) ;\exp (-5)=\dfrac{1}{\exp (5)} ;
  • (exp(2))4=exp(4×2)=exp(8).(\exp (2))^{4}=\exp (4 \times 2)=\exp (8).

Application et méthode

Énoncé

Dans chaque cas, simplifier les expressions en n’utilisant qu’une seule fois la fonction exponentielle.

1. exp(5)×exp(8)×[exp(2)]3 \exp (5) \times \exp (8) \times[\exp (2)]^{3}

2. exp(5)×(exp(5))1×exp(10)\exp (5) \times(\exp (5))^{-1} \times \exp (10)

Méthode

1. On utilise le fait que [exp(x)]n=exp(nx).[\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

2. exp(5)\exp(5) est l’inverse de exp(5)1,\exp(5)^{-1}, le produit de ces deux nombres est donc égal à 1.1.


SOLUTION

1. exp(5)×exp(8)×[exp(2)]3\exp (5) \times \exp (8) \times[\exp (2)]^{3}
=exp(5)×exp(8)×exp(2×3)=exp(5+8+6)=exp(19) =\exp (5) \times \exp (8) \times \exp (2 \times 3) \\ =\exp (5+8+6)=\exp (19)

2. exp(5)×exp(5)1×exp(10)=\exp (5) \times \exp (5)^{-1} \times \exp (10)=
1×exp(10)=exp(10)1 \times \exp (10)=\exp (10)

Pour s'entraîner : exercices 23 et 25 p. 171

C
Le nombre e\mathrm{e}


Définition

On note exp(1)=e\exp (1)=\mathrm{e}e\mathrm{e} est un nombre réel non rationnel tel que e  2,718281828.\mathrm{e} \approx 2,718281828.

Remarque

C’est le mathématicien suisse, Leonhard Euler (XVIIIe siècle) qui fut le premier à utiliser la notation e.\mathrm{e} .

Propriété (admise)

Pour tout nombre entier relatif n,n , exp(n)=exp(n×1)=[exp(1)]n=en.\exp (n)=\exp (n \times 1)=[\exp (1)]^{n}=\mathrm{e}^{n}.
Par extension, pour tout nombre réel x,x , exp(x)=ex.\exp (x)=\mathrm{e}^{x}.

On écrira alors, pour tous nombres réels xx et yy et pour tout nombre entier relatif n:n :
ex+y=ex×ey;ex×ex=1\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} ; \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}=1 ; ex=1ex ; exy=exey\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} ;  \mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} et (ex)n=enx.\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x}.

EXEMPLES

  • exp(3)×exp(7)=exp(3+7)=exp(10)\exp (3) \times \exp (7)=\exp (3+7)=\exp (10) peut donc s'écrire e3×e7=e3+7=e10.\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{7}=\mathrm{e}^{3+7}=\mathrm{e}^{10}.
  • (e3,4)2\left(\mathrm{e}^{3,4}\right)^{2} peut donc s'écrire e2×3,4=e6,8.\mathrm{e^{2 \times 3,4}}=\mathrm{e^{6,8}}.

Application et méthode

Énoncé

Écrire (e7)4×e3e4\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}} en utilisant une seule fois le nombre e.\mathrm{e}.

Méthode

1. On utilise le fait que, pour xRx \in \mathbb{R} et nZ,n \in \mathbb{Z}, (ex)n=enx\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x} pour transformer (e7)4\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} en e28.\mathrm{e^{28}}.

2. On utilise ensuite les propriétés de produit et quotient de la fonction exponentielle : pour tous réels xx et y,y , ex×ey=ex+y\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{x+y} et exey=exy.\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=\mathrm{e}^{x-y}.


SOLUTION

(e7)4×e3e4=e7×4×e3e4=e28×e3e4=e28+34=e27\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{7 \times 4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{28} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\mathrm{e}^{28+3-4}=\mathrm{e}^{27}

Pour s'entraîner : exercices 25 à 30 p. 171
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