Généralités sur la fonction exponentielle

S'il existe une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant, pour tout nombre réel $x,$ $f^{\prime }(x)=f(x)$ et, $f(0)=1,$ alors cette fonction ne s'annule jamais.

Voir activité

A

p.158.

Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant, pour tout nombre réel $x,$ $f^{\prime }(x)=f(x)$ et $f(0)=1.$

L'existence de cette fonction est admise. La démonstration de l'unicité a été réalisée dans l'activité

B

p.158.

La fonction exponentielle est la fonction, notée $\exp ,$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp (0)=1$ et ${\exp }^{\prime }=\exp .$

D'après le lemme, on peut dire que, pour tout réel $x,$ $\exp (x)\ne 0.$

On pose $f(x)=3\exp (x)$. Cette fonction est bien définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$f^{\prime }(x)=3{\exp }^{\prime }(x)=3\exp (x)=f(x).$
De plus, $f(0)=3\exp (0)=3\times 1=3.$

exercices

22 p. 171;

41

et

42 p.172

On utilise deux propriétés de la fonction exponentielle.

• La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée : ${\exp }^{\prime }=\exp .$
• $\exp (0)=1$ donc, pour avoir $f(0)=3,$ il suffit de multiplier par $3$ la fonction exponentielle.

Pour tous nombres réels $x$ et $y,$ $\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y).$ Cette relation s'appelle relation fonctionnelle.
Autrement dit, l'exponentielle d'une somme de deux nombres est le produit de l'exponentielle de chacun de ces nombres.

« Pour tous nombres réels $x$ et $y$ » signifie que l'égalité est vraie quelles que soient les valeurs de $x$ et $y.$

$y$ est un nombre réel fixé et, pour tout $x\in \mathbb{R},$ on définit la fonction $f$ par $f(x)=\frac{\exp (x+y)}{\exp (x)}.$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que quotient de fonctions dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x,$ $f^{\prime }(x)=\frac{\exp (x+y)\exp (x)-\exp (x+y)\exp (x)}{[\exp (x){]}^2}=0.$
On en déduit que $f$ est une fonction constante. Ainsi, pour tout réel $x,$ $f(x)=f(0)=\exp (y).$
Par conséquent, $\frac{\exp (x+y)}{\exp (x)}=\exp (y),$ d'où $\exp (x+y)=\exp (x)\times \exp (y).$

$y$ est un réel fixé donc la démonstration est valable pour toute valeur de $y\in \mathbb{R}.$ La propriété est donc vraie pour tous réels $x$ et $y.$

Pour tous réels $x$ et $y$ on a $\exp (x)\times \exp (y)=\exp (x+y).$ En remplaçant $y$ par$-x,$ on obtient $\exp (x)\times \exp (-x)=\exp (x-x)=\exp (0)=1.$
Donc, pour tout réel $x,$ $\exp (x)$ et $\exp (-x)$ sont inverses l'un de l'autre d'où $\exp (-x)=\frac{1}{\exp (x)}.$

La dernière étape est vraie car $\exp (x)\ne 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}.$

Pour tous nombres réels $x,$ et $y,$ $\exp (x-y)=\frac{\exp (x)}{\exp (y)}.$

Voir exercice

48

p.172.

Pour tout réel $x$ et pour tout entier relatif $n,$ $[\exp (x){]}^n=\exp (nx).$

Pour $n\in \mathbb{N},$ on peut utiliser la propriété$\begin{array}{l}\exp (a)\times \exp (b)=\exp (a+b)\end{array}$

1. $\exp (5)\times \exp (8)\times [\exp (2){]}^3$
$$\begin{gathered} =\exp (5)\times \exp (8)\times \exp (2\times 3) \\ =\exp (5+8+6)=\exp (19) \end{gathered}$$

2. $\exp (5)\times \exp (5{)}^{-1}\times \exp (10)=$
$1\times \exp (10)=\exp (10)$

exercices

23

et

25 p. 171

1. On utilise le fait que $[\exp (x){]}^n=\exp (nx).$

2. $\exp (5)$ est l'inverse de $\exp (5{)}^{-1},$ le produit de ces deux nombres est donc égal à $1.$

On note $\exp (1)=\mathrm{e}$ où $\mathrm{e}$ est un nombre réel non rationnel tel que $\mathrm{e}\approx 2,718281828.$

C'est le mathématicien suisse, Leonhard Euler (XVIII^e siècle) qui fut le premier à utiliser la notation $\mathrm{e}.$

Pour tout nombre entier relatif $n,$ $\exp (n)=\exp (n\times 1)=[\exp (1){]}^n={\mathrm{e}}^n.$
Par extension, pour tout nombre réel $x,$ $\exp (x)={\mathrm{e}}^x.$

On écrira alors, pour tous nombres réels $x$ et $y$ et pour tout nombre entier relatif $n:$
${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y;{\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}=1$ ; ${\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x};{\mathrm{e}}^{x-y}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}$ et ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^n={\mathrm{e}}^{nx}.$

$\frac{{\left({\mathrm{e}}^7\right)}^4\times {\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{e}}^4}=\frac{{\mathrm{e}}^{7\times 4}\times {\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{e}}^4}=\frac{{\mathrm{e}}^{28}\times {\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{e}}^4}={\mathrm{e}}^{28+3-4}={\mathrm{e}}^{27}$

exercices

25

à

30 p. 171

1. On utilise le fait que, pour $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{Z},$ ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^n={\mathrm{e}}^{nx}$ pour transformer ${\left({\mathrm{e}}^7\right)}^4$ en ${\mathrm{e}}^{28}.$

2. On utilise ensuite les propriétés de produit et quotient de la fonction exponentielle : pour tous réels $x$ et $y,$ ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y={\mathrm{e}}^{x+y}$ et $\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}={\mathrm{e}}^{x-y}.$