COURS 1


1
Généralités sur la fonction exponentielle




A
Définition

Remarque

D’après le lemme, on peut dire que, pour tout réel x,x , exp(x)0.\exp (x) \neq 0.

DÉMONSTRATION

Voir activité
A
p.158.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction, notée exp,\exp , définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que exp(0)=1\exp(0) = 1 et exp=exp.\exp' = \exp.

Théorème

Il existe une unique fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x, x , f(x)=f(x)f^{\prime}(x)=f(x) et f(0)=1.f(0) = 1 .

Lemme

S’il existe une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} vérifiant, pour tout nombre réel x,x , f(x)=f(x)f^{\prime}(x)=f(x) et, f0)=1,f'0)=1, alors cette fonction ne s'annule jamais.

DÉMONSTRATION

L’existence de cette fonction est admise. La démonstration de l’unicité a été réalisée dans l’activité
B
p.158.

Remarque

Un lemme est un résultat intermédiaire généralement utilisé pour démontrer un théorème plus conséquent.

B
Propriétés algébriques

Remarque

Pour nN,n \in \mathbb{N}, on peut utiliser la propriétéexp(a)×exp(b)=exp(a+b)\begin{array}{l}{\exp (a) \times \exp (b)} {=\exp (a+b)}\end{array}

Propriété

Pour tous nombres réels x,x, exp(x)×exp(x)=1\exp (x) \times \exp (-x)=1 et exp(x)=1exp(x).\exp (-x)=\dfrac{1}{\exp (x)}.

EXEMPLES

  • exp(3)×exp(7)=exp(3+7) ;\exp (3) \times \exp (7)=\exp (3+7) ;
  • exp(5)=1exp(5) ;\exp (-5)=\dfrac{1}{\exp (5)} ;
  • (exp(2))4=exp(4×2)=exp(8).(\exp (2))^{4}=\exp (4 \times 2)=\exp (8).

DÉMONSTRATION

Voir exercice
48
p.172.

Remarque

yy est un réel fixé donc la démonstration est valable pour toute valeur de yR.y \in \mathbb{R}. La propriété est donc vraie pour tous réels xx et y.y .

Propriété (admise)

Pour tout réel xx et pour tout entier relatif n,n , [exp(x)]n=exp(nx).[\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

Théorème

Pour tous nombres réels xx et y,y , exp(x+y)=exp(x)×exp(y).\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y) . Cette relation s’appelle relation fonctionnelle.
Autrement dit, l’exponentielle d’une somme de deux nombres est le produit de l’exponentielle de chacun de ces nombres.

Propriété

Pour tous nombres réels x,x, et y,y, exp(xy)=exp(x)exp(y).\exp (x-y)=\dfrac{\exp (x)}{\exp (y)}.

DÉMONSTRATION

yy est un nombre réel fixé et, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, on définit la fonction ff par f(x)=exp(x+y)exp(x).f(x)=\dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}. ff est dérivable sur R\mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel x,x, f(x)=exp(x+y)exp(x)exp(x+y)exp(x)[exp(x)]2=0.f^{\prime}(x)=\dfrac{\exp (x+y) \exp (x)-\exp (x+y) \exp (x)}{[\exp (x)]^{2}}=0.
On en déduit que ff est une fonction constante. Ainsi, pour tout réel x,x , f(x)=f(0)=exp(y).f(x)=f(0)=\exp (y).
Par conséquent, exp(x+y)exp(x)=exp(y),\dfrac{\exp (x+y)}{\exp (x)}=\exp (y), d'où exp(x+y)=exp(x)×exp(y).\exp (x+y)=\exp (x) \times \exp (y).

Logique

« Pour tous nombres réels xx et yy » signifie que l’égalité est vraie quelles que soient les valeurs de xx et y.y .

DÉMONSTRATION

Pour tous réels xx et yy on a exp(x)×exp(y)=exp(x+y).\exp (x) \times \exp (y)=\exp (x+y). En remplaçant yy parx, -x, on obtient exp(x)×exp(x)=exp(xx)=exp(0)=1.\exp (x) \times \exp (-x)=\exp (x-x)=\exp (0)=1.
Donc, pour tout réel x,x , exp(x)\exp(x) et exp(x)\exp(-x) sont inverses l’un de l’autre d’où exp(x)=1exp(x).\exp (-x)=\dfrac{1}{\exp (x)}.

Remarque

La dernière étape est vraie car exp(x)0\exp (x) \neq 0 pour tout xR.x \in \mathbb{R}.

Application et méthode


Méthode

1. On utilise le fait que, pour xRx \in \mathbb{R} et nZ,n \in \mathbb{Z}, (ex)n=enx\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x} pour transformer (e7)4\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} en e28.\mathrm{e^{28}}.

2. On utilise ensuite les propriétés de produit et quotient de la fonction exponentielle : pour tous réels xx et y,y , ex×ey=ex+y\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{x+y} et exey=exy.\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=\mathrm{e}^{x-y}.

Énoncé

Écrire (e7)4×e3e4\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}} en utilisant une seule fois le nombre e.\mathrm{e}.

SOLUTION

(e7)4×e3e4=e7×4×e3e4=e28×e3e4=e28+34=e27\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{7 \times 4} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\dfrac{\mathrm{e}^{28} \times \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{4}}=\mathrm{e}^{28+3-4}=\mathrm{e}^{27}

Pour s'entraîner : exercices 25 à 30 p. 171

Application et méthode


Méthode

1. On utilise le fait que [exp(x)]n=exp(nx).[\exp (x)]^{n}=\exp (n\,x).

2. exp(5)\exp(5) est l’inverse de exp(5)1,\exp(5)^{-1}, le produit de ces deux nombres est donc égal à 1.1.

Énoncé

Dans chaque cas, simplifier les expressions en n’utilisant qu’une seule fois la fonction exponentielle.

1. exp(5)×exp(8)×[exp(2)]3 \exp (5) \times \exp (8) \times[\exp (2)]^{3}

2. exp(5)×(exp(5))1×exp(10)\exp (5) \times(\exp (5))^{-1} \times \exp (10)

SOLUTION

1. exp(5)×exp(8)×[exp(2)]3\exp (5) \times \exp (8) \times[\exp (2)]^{3}
=exp(5)×exp(8)×exp(2×3)=exp(5+8+6)=exp(19) =\exp (5) \times \exp (8) \times \exp (2 \times 3) \\ =\exp (5+8+6)=\exp (19)

2. exp(5)×exp(5)1×exp(10)=\exp (5) \times \exp (5)^{-1} \times \exp (10)=
1×exp(10)=exp(10)1 \times \exp (10)=\exp (10)

Pour s'entraîner : exercices 23 et 25 p. 171

Application et méthode

Énoncé

Déterminer la fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff' = f et f(0)=3.f(0) = 3 .

SOLUTION

On pose f(x)=3exp(x)f(x)= 3\,\exp(x). Cette fonction est bien définie et dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx \in \mathbb{R},
f(x)=3exp(x)=3exp(x)=f(x).f'(x)= 3\, \exp'(x) = 3\, \exp(x)=f(x).
De plus, f(0)=3exp(0)=3×1=3.f(0)=3\, \exp(0)=3 \times 1 = 3.

Pour s'entraîner : exercices 22 p. 171; 41 et 42 p.172

Méthode

On utilise deux propriétés de la fonction exponentielle.
  • La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée : exp=exp.\exp' = \exp .
  • exp(0)=1 \exp(0) = 1 donc, pour avoir f(0)=3,f(0) = 3 , il suffit de multiplier par 33 la fonction exponentielle.

C
Le nombre e\mathrm{e}


Propriété (admise)

Pour tout nombre entier relatif n,n , exp(n)=exp(n×1)=[exp(1)]n=en.\exp (n)=\exp (n \times 1)=[\exp (1)]^{n}=\mathrm{e}^{n}.
Par extension, pour tout nombre réel x,x , exp(x)=ex.\exp (x)=\mathrm{e}^{x}.

On écrira alors, pour tous nombres réels xx et yy et pour tout nombre entier relatif n:n :
ex+y=ex×ey;ex×ex=1\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} ; \mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}=1 ; ex=1ex ; exy=exey\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} ;  \mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} et (ex)n=enx.\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}=\mathrm{e}^{n x}.

Définition

On note exp(1)=e\exp (1)=\mathrm{e}e\mathrm{e} est un nombre réel non rationnel tel que e  2,718281828.\mathrm{e} \approx 2,718281828.

Remarque

C’est le mathématicien suisse, Leonhard Euler (XVIIIe siècle) qui fut le premier à utiliser la notation e.\mathrm{e} .

EXEMPLES

  • exp(3)×exp(7)=exp(3+7)=exp(10)\exp (3) \times \exp (7)=\exp (3+7)=\exp (10) peut donc s'écrire e3×e7=e3+7=e10.\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{7}=\mathrm{e}^{3+7}=\mathrm{e}^{10}.
  • (e3,4)2\left(\mathrm{e}^{3,4}\right)^{2} peut donc s'écrire e2×3,4=e6,8.\mathrm{e^{2 \times 3,4}}=\mathrm{e^{6,8}}.

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