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Quand résoudre une équation devient compliqué





Des équations écrites seulement avec les fonctions de référence sont parfois compliquées à résoudre. Il est même parfois impossible de trouver les solutions sous forme exacte. Pour tout nombre réel mm fixé, on cherche à résoudre l’équation e2xmx=0.\mathrm{e}^{2 x}-m x=0.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ☆☆

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On a représenté ci-dessous la courbe CfC_{f} représentant la fonction ff définie sur R \mathbb{R} par f(x)=e2x.f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.

Quand résoudre une équation devient compliqué

1. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation e2xx=0.\mathrm{e}^{2 x}-x=0.


2. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation e2x+2x=0.\mathrm{e}^{2 x}+2 x=0.


3. À l’aide de GeoGebra ou de la calculatrice, conjecturer, selon la valeur du réel mm, l’existence de solutions à l’équation e2xmx=0.\mathrm{e}^{2 x}-m x=0.


Lancer le module Geogebra

PARTIE 2 ★★

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Cette partie va déterminer l’existence ou non d’une solution selon deux valeurs particulières de m.m. On considère la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=e2xmx.g(x)=\mathrm{e}^{2 x}-m\,x.

1. Déterminer g(x)g'(x) pour tout nombre réel x.x .


2. a. Montrer que si m<0m \lt 0 , alors gg est strictement croissante sur R.\mathbb{R}.


b. On suppose que m=3.m = -3 . Démontrer que g(x)g(x) change de signe sur R.\mathbb{R} .


c. Conclure.


On admet alors (le théorème utilisé sera étudié en classe de terminale) que l’équation g(x)=0g(x) = 0 a une unique solution sur R\mathbb{R} quand m=3.m = -3 .

3. Montrer que si m=1,m =1, alors g(x)1g(x) \geqslant 1 pour tout x0x \geqslant 0 et g(x)>0 g(x) > 0 pour tout réel x<0. x \lt 0.


Conclure.

PARTIE 3 ★★★

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On cherche un encadrement de la solution de l’équation e2x+3x=0\mathrm{e}^{2 x}+3 x=0 à l’aide d’un algorithme de dichotomie sur l'intervalle [A;B].[\mathrm{A}\, ;\mathrm{B}].

from math import*

def Fonction(M):
	return(...)

def Encadrement(A, B, n):
	if Fonction(A)*Fonction(B) > 0:
		return(False)
	else:
		while (B - A) > 10**(-n):
			M = ...
			if Fonction(M)*Fonction(B)...:
				B = M
			else:
				A = M
	return(A, B)

1. À quoi servent les lignes 1010 et 1111 de cet algorithme ?


2. Compléter l’algorithme pour qu’il donne un encadrement de la solution à 10n10^{-n} près où nn est un entier naturel.


Mise en commun

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1. Comment résoudre l’équation e2xmx=0\mathrm{e}^{2x} -m\,x = 0 de paramètre mm ?


2. Quelles autres solutions à l’aide de logiciels peuvent être envisagées ?
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Dans la vie professionelle

À l’Organisation européenne pour la recherche nucléaire (CERN), les scientifiques reconstituent les trajectoires des particules lors de collisions grâce à des calculs numériques.

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