Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Des équations écrites seulement avec les fonctions de référence sont parfois compliquées à résoudre. Il est même parfois impossible de trouver les solutions sous forme exacte. Pour tout nombre réel m fixé, on cherche à résoudre l'équation \mathrm{e}^{2 x}-m x=0.

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Partie 1

On a représenté ci-dessous la courbe C_{f} représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.

Quand résoudre une équation devient compliqué

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1. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation \mathrm{e}^{2 x}-x=0.

2. Conjecturer le nombre de solutions de l'équation \mathrm{e}^{2 x}+2 x=0.

3. À l'aide de GeoGebra ou de la calculatrice, conjecturer, selon la valeur du réel m, l'existence de solutions à l'équation \mathrm{e}^{2 x}-m x=0.

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Partie 2

Cette partie va déterminer l'existence ou non d'une solution selon deux valeurs particulières de m. On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\mathrm{e}^{2 x}-m\,x.

1. Déterminer g'(x) pour tout nombre réel x .

2. a. Montrer que si m \lt 0 , alors g est strictement croissante sur \mathbb{R}.

b. On suppose que m = -3 . Démontrer que g(x) change de signe sur \mathbb{R} .

c. Conclure.

On admet alors (le théorème utilisé sera étudié en classe de terminale) que l'équation g(x) = 0 a une unique solution sur \mathbb{R} quand m = -3 .

3. Montrer que si m =1, alors g(x) \geqslant 1 pour tout x \geqslant 0 et g(x) > 0 pour tout réel x \lt 0.

Conclure.

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Partie 3

On cherche un encadrement de la solution de l'équation \mathrm{e}^{2 x}+3 x=0 à l'aide d'un algorithme de dichotomie sur l'intervalle [\mathrm{A}\, ;\mathrm{B}].

from math import*

def Fonction(M):
	return(...)

def Encadrement(A, B, n):
	if Fonction(A)*Fonction(B) > 0:
		return(False)
	else:
		while (B - A) > 10**(-n):
			M = ...
			if Fonction(M)*Fonction(B)...:
				B = M
			else:
				A = M
	return(A, B)

1. À quoi servent les lignes 10 et 11 de cet algorithme ?

2. Compléter l'algorithme pour qu'il donne un encadrement de la solution à 10^{-n} près où n est un entier naturel.

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Mise en commun

1. Comment résoudre l'équation \mathrm{e}^{2x} -m\,x = 0 de paramètre m ?

2. Quelles autres solutions à l'aide de logiciels peuvent être envisagées ?

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Dans la vie professionnelle

À l'Organisation européenne pour la recherche nucléaire (CERN), les scientifiques reconstituent les trajectoires des particules lors de collisions grâce à des calculs numériques.

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