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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 6

Entraînement

Généralités sur la fonction exponentielle

Ressource affichée de l'autre côté.
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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

103

Parcours 3 : exercices

;

105

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45
[Calculer.]

f

est définie sur

R

par

f (x) = - 2 e^{x} .

Vérifier que

f = f^{'}

et calculer

f (0) .

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46
[Calculer.]
Déterminer une fonction

g

définie et dérivable sur

R

telle que

g^{'} = g

g (0) = \frac{3}{2} .

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47
[Calculer.]
Déterminer une fonction

h

définie et dérivable sur

R

telle que

h^{'} = h

h (0) = - 4.

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48
Démo
[Raisonner.]
On souhaite démontrer que, pour tous réels

x

y,

e^{x - y} = \frac{e ^{x}}{e ^{y}} .

1. Écrire

\frac{e ^{x}}{e ^{y}}

sous la forme d'un produit.

2. Sachant que

e^{x} \times e^{y} = e^{x + y}

e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}},

démontrer la proposition énoncée.

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49
[Calculer.]
Simplifier au maximum les expressions suivantes ; c'est-à-dire en n'utilisant qu'une seule fois l'exponentielle dans l'expression finale.
1.

A = e^{5} \times (e^{3}) \times e^{- 4}

B = \frac{e ^{7}}{e ^{- 4}}

C = \frac{e ^{- 3} \times e ^{8}}{e ^{3}}

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50
[Calculer.]

Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1.

A = e^{2} \times e^{32} \times e^{8}

B = \frac{e}{e ^{5}}

C = \frac{( e ^{7} ) ^{3} \times e ^{4}}{e ^{- 4}}

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51
[Calculer.]

x

est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

a (x) = e^{2 x} \times (e^{x})^{2} \times e^{- 3 x}

b (x) = \frac{e ^{x^{2}}}{e ^{x}}

c (x) = \frac{e ^{x - 1} \times e ^{4 x}}{e ^{x}}

d (x) = \frac{e ^{- 2 x}}{e ^{- 3 x} \times e ^{x + 1}}

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52
[Calculer.]

t

est un réel quelconque. Simplifer au maximum les expressions suivantes. 1.

d (t) = e^{3 t} \times e^{1 - 6 t} \times (e^{2 t + 1})^{3}

e (t) = \frac{e ^{8 t - 3}}{e ^{2 t + 5}}

f (t) = \frac{e ^{- 2 t + 1} \times e ^{6 t + 5}}{e ^{- 4 t - 2}}

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53
[Calculer.]

n

est un entier relatif quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1.

u (n) = e^{2 n + 1} \times e^{3 n - 4}

v (n) = \frac{e ^{5 n - 3}}{e ^{- 2 n + 1}}

w (n) = (e^{2 n - 1})^{2} \times e^{3 n + 4}

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54
[Calculer.]

x

est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes. 1.

g (x) = (e^{4 x - 5} \times e^{3 x + 2})^{3}

h (x) = \frac{e ^{3 x}}{e ^{- x} \times ( e ^{- 3 x} ) ^{2}}

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55
[Calculer.]

Dans GeoGebra, la commande Simplifier permet d'écrire une fonction sous la forme la plus simple possible.

Capture d'écran : simplification d'une fonction exponentielle, f(x) = e^(3x+2)*(e^(-2x-1))/(e^(7x+4))^2, qui se simplifie en e^(-13x-7).

Vérifier que l'expression saisie se simplifie bien en

e^{- (13 x + 7)} .

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56
[Calculer.]

Développer et réduire les expressions suivantes. 1.

A = e^{4} (e^{3} + e^{7})

B = (e^{2} + e^{6}) (e^{3} + e)

C = (e^{8} - e^{2}) (e^{6} + 1)

D = (e^{- 2} + e^{3}) (e^{- 2} - e^{8})

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57
[Calculer.]
Développer et réduire les expressions suivantes. 1.

A = (e^{3} + e^{5})^{2}

B = (e^{2} - e^{- 2})^{2}

C = (e^{6} - e^{- 4}) (e^{6} + e^{- 4})

D = (2 e^{4} - 3 e^{- 1})^{2}

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58
[Calculer.]

t

est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1.

A (t) = (e^{t} - 1) (e^{t} + 1)

B (t) = (e^{t} + 3)^{2}

C (t) = (e^{2 t} - 2)^{2}

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59
[Calculer.]

x

est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1.

D (x) = (e^{x} + e^{- 2 x})^{2}

E (x) = (e^{3 x} - e^{5 x})^{2}

F (x) = (e^{- 2 x} - e^{x}) (e^{- 2 x} + e^{x})

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60
[Calculer.]

x

est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes. 1.

O (x) = (e^{x} + e^{- x})^{2} + (e^{x} - e^{- x})^{2}

P (x) = (e^{x} + e^{- x})^{2} - (e^{x} - e^{- x})^{2}

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61
[Calculer.]

Démontrer les égalités suivantes pour tout réel

x .

\frac{e ^{x} - 1}{e ^{x}} = 1 - e^{- x}

\frac{1}{e ^{x} + 1} = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{2 x} - 1}

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62
[Calculer.]
Démontrer l'égalité suivante pour tout réel

x .

(e^{x} + e^{- x}) (e^{2 x})^{2} = e^{3 x} (e^{2 x} + 1)

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63
[Calculer.]
Soit

x \in R .

Factoriser les expressions suivantes.

e^{4 x} + e^{x}

e^{4 x} - 1

e^{6 x} + 4 e^{3 x} + 4

9 e^{- 2 x} - 6 + e^{2 x}

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64
Tableur
[Calculer.]

On considère les fonctions

f

g

définies sur

R

par

f (x) = \frac{e ^{2 x} \times e ^{3 x + 2}}{e ^{- x}}

g (x) = \frac{e ^{4 x} \times e ^{3 x + 5}}{e ^{x - 1}} .

On souhaite comparer ces deux fonctions à l'aide d'un tableur. Dans un tableur, la fonction exponentielle s'appelle EXP.

Tableau de données montrant les valeurs de la fonction exponentielle pour différentes valeurs de x.

1. Quelle formule a-t-on entrée dans la case B2 avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les images par

f

des nombres

x

de la colonne A ?

2. Faire de même avec les images par

g

dans la colonne C.

3. a. Démontrer que la fonction

g

ne s'annule jamais.

b. Dans la colonne D, calculer les rapports

\frac{f ( x )}{g ( x )} .

Que remarque-t-on ?

4. Démontrer cette conjecture par le calcul.

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65
Python
[Calculer.]
En Python, l'exponentielle fait partie de la librairie math. Pour pouvoir l'utiliser, il faut en première ligne du programme entrer l'instruction from math import exp.

1. Calculer à la main

e^{4} - (e^{2})^{2} .

2. Calculer et afficher

e^{4} - (e^{2})^{2}

avec Python. Qu'obtient-on ? Pourquoi ?

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