Entrainement


Généralités sur la fonction exponentielle





46
[Calculer.]
Déterminer une fonction gg définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que g=gg' = g et g(0)=32.g(0)=\dfrac{3}{2}.


64
TABLEUR
[Calculer.] ◉◉◉
On considère les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par

f(x)=e2x×e3x+2exf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x} \times \mathrm{e}^{3 x+2}}{\mathrm{e}^{-x}} et g(x)=e4x×e3x+5ex1.g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{4 x} \times \mathrm{e}^{3 x+5}}{\mathrm{e}^{x-1}}.

On souhaite comparer ces deux fonctions à l’aide d’un tableur. Dans un tableur, la fonction exponentielle s’appelle EXP.
Généralités sur la fonction exponentielle




1. Quelle formule a-t-on entrée dans la case B2 avant de l’étirer vers le bas pour obtenir les images par ff des nombres xx de la colonne A ?


2. Faire de même avec les images par gg dans la colonne C.
Lancer le module Geogebra


3. a. Démontrer que la fonction gg ne s’annule jamais.


b. Dans la colonne D, calculer les rapports f(x)g(x).\dfrac{f(x)}{g(x)}. Que remarque-t-on ?


4. Démontrer cette conjecture par le calcul.

55
[Calculer.]
Dans GeoGebra, la commande Simplifier permet d’écrire une fonction sous la forme la plus simple possible.

Généralités sur la fonction exponentielle

Vérifier que l’expression saisie se simplifie bien en e(13x+7).\mathrm{e}^{-(13 x+7)}.

51
[Calculer.]
xx est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

1. a(x)=e2x×(ex)2×e3xa(x)=\mathrm{e}^{2 x} \times\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-3 x}


2. b(x)=ex2exb(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}


3. c(x)=ex1×e4xexc(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x-1} \times \mathrm{e}^{4 x}}{\mathrm{e}^{x}}


4. d(x)=e2xe3x×ex+1d(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-2 x}}{\mathrm{e}^{-3 x} \times \mathrm{e}^{x+1}}



49
[Calculer.]
Simplifier au maximum les expressions suivantes ; c’est-à-dire en n’utilisant qu’une seule fois l’exponentielle dans l’expression finale.

1. A=e5×(e3)×e4\mathrm{A}=\mathrm{e}^{5} \times\left(\mathrm{e}^{3}\right) \times \mathrm{e}^{-4}


2. B=e7e4\mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{e}^{7}}{\mathrm{e}^{-4}}


3. C=e3×e8e3\mathrm{C}=\dfrac{\mathrm{e}^{-3} \times \mathrm{e}^{8}}{\mathrm{e}^{3}}



DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 45 ; 50 ; 56 ; 66 ; 69 et 81
◉◉ Parcours 2 : exercices 53 ; 61 ; 74 ; 86 ; 93 ; 96 et 103
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 64 ; 76 ; 82 ; 91 ; 97 et 105

47
[Calculer.]
Déterminer une fonction hh définie et dérivable sur R \mathbb{R} telle que h=hh' = h et h(0)=4.h(0)=-4.


53
[Calculer.] ◉◉
nn est un entier relatif quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

1. u(n)=e2n+1×e3n4u(n)=\mathrm{e}^{2 n+1} \times \mathrm{e}^{3 n-4}


2. v(n)=e5n3e2n+1v(n)=\dfrac{\mathrm{e}^{5 n-3}}{\mathrm{e}^{-2 n+1}}


3. w(n)=(e2n1)2×e3n+4w(n)=\left(\mathrm{e}^{2 n-1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{3 n+4}



48
DÉMO
[Raisonner.]
On souhaite démontrer que, pour tous réels xx et y,y, exy=exey.\mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}.
1. Écrire exey\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} sous la forme d'un produit.


2. Sachant que ex×ey=ex+y\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{x+y} et ex=1ex, \mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}, démontrer la proposition énoncée.



57
[Calculer.]
Développer et réduire les expressions suivantes.

1. A=(e3+e5)2\mathrm{A}=\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{5}\right)^{2}


2. B=(e2e2)2\mathrm{B}=\left(\mathrm{e}^{2}-\mathrm{e}^{-2}\right)^{2}


3. C=(e6e4)(e6+e4)\mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{6}-\mathrm{e}^{-4}\right)\left(\mathrm{e}^{6}+\mathrm{e}^{-4}\right)


4. D=(2e43e1)2\mathrm{D}=\left(2 \, \mathrm{e}^{4}-3 \, \mathrm{e}^{-1}\right)^{2}

59
[Calculer.]
xx est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes.

1. D(x)=(ex+e2x)2\mathrm{D}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-2 x}\right)^{2}


2. E(x)=(e3xe5x)2\mathrm{E}(x)=\left(\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{5 x}\right)^{2}


3. F(x)=(e2xex)(e2x+ex)\mathrm{F}(x)=\left(\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{x}\right)\left(\mathrm{e}^{-2 x}+\mathrm{e}^{x}\right)

45
[Calculer.] ◉◉
ff est définie sur R\R par f(x)=2ex.f(x)=-2\, \mathrm{e}^{x}.
Vérifier que f=ff = f' et calculer f(0).f(0).


50
[Calculer.] ◉◉
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
1. A=e2×e32×e8\mathrm{A}=\mathrm{e}^{2} \times \mathrm{e}^{32} \times \mathrm{e}^{8}


2. B=ee5\mathrm{B}=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{5}}


3. C=(e7)3×e4e4\mathrm{C}=\dfrac{\left(\mathrm{e}^{7}\right)^{3} \times \mathrm{e}^{4}}{\mathrm{e}^{-4}}



58
[Calculer.]
tt est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes.

1. A(t)=(et1)(et+1) \mathrm{A}(t)=\left(\mathrm{e}^{t}-1\right)\left(\mathrm{e}^{t}+1\right)


2. B(t)=(et+3)2\mathrm{B}(t)=\left(\mathrm{e}^{t}+3\right)^{2}


3. C(t)=(e2t2)2 \mathrm{C}(t)=\left(\mathrm{e}^{2 t}-2\right)^{2}

56
[Calculer.] ◉◉
Développer et réduire les expressions suivantes.

1. A=e4(e3+e7)\mathrm{A}=\mathrm{e}^{4}\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{7}\right)


2. B=(e2+e6)(e3+e)\mathrm{B}=\left(\mathrm{e}^{2}+\mathrm{e}^{6}\right)\left(\mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}\right)


3. C=(e8e2)(e6+1)\mathrm{C}=\left(\mathrm{e}^{8}-\mathrm{e}^{2}\right)\left(\mathrm{e}^{6}+1\right)


4. D=(e2+e3)(e2e8)\mathrm{D}=\left(\mathrm{e}^{-2}+\mathrm{e}^{3}\right)\left(\mathrm{e}^{-2}-\mathrm{e}^{8}\right)

60
[Calculer.]
xx est un réel quelconque. Développer et réduire les expressions suivantes.

1. O(x)=(ex+ex)2+(exex)2\mathrm{O}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}+\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}


2. P(x)=(ex+ex)2(exex)2\mathrm{P}(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}-\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}

63
[Calculer.]
Soit xR. x \in \mathbb{R}. Factoriser les expressions suivantes.

1. e4x+ex\mathrm{e}^{4 x}+\mathrm{e}^{x}


2. e4x1\mathrm{e}^{4 x}-1


3. e6x+4e3x+4\mathrm{e}^{6 x}+4\, \mathrm{e}^{3 x}+4


4. 9e2x6+e2x9\,\mathrm{e}^{-2 x}-6+\mathrm{e}^{2 x}

62
[Calculer.]
Démontrer l’égalité suivante pour tout réel x.x .

(ex+ex)(e2x)2=e3x(e2x+1)\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)^{2}=\mathrm{e}^{3 x}\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)

65
PYTHON
[Calculer.]

En Python, l’exponentielle fait partie de la librairie math. Pour pouvoir l’utiliser, il faut en première ligne du programme entrer l’instruction from math import exp.

1. Calculer à la main e4(e2)2.\mathrm{e}^{4}-\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{2}.


2. Calculer et afficher e4(e2)2\mathrm{e}^{4}-\left(\mathrm{e}^{2}\right)^{2} avec Python. Qu’obtient-on ? Pourquoi ?






54
[Calculer.]
xx est un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

1. g(x)=(e4x5×e3x+2)3g(x)=\left(\mathrm{e}^{4 x-5} \times \mathrm{e}^{3 x+2}\right)^{3}


2. h(x)=e3xex×(e3x)2h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3 x}}{\mathrm{e}^{-x} \times\left(\mathrm{e}^{-3 x}\right)^{2}}

52
[Calculer.]
tt est un réel quelconque. Simplifer au maximum les expressions suivantes.
1. d(t)=e3t×e16t×(e2t+1)3d(t)=\mathrm{e}^{3 t} \times \mathrm{e}^{1-6 t} \times\left(\mathrm{e}^{2 t+1}\right)^{3}


2. e(t)=e8t3e2t+5e(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{8 t-3}}{\mathrm{e}^{2 t+5}}


3. f(t)=e2t+1×e6t+5e4t2f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{-2 t+1} \times \mathrm{e}^{6 t+5}}{\mathrm{e}^{-4 t-2}}



61
[Calculer.] ◉◉
Démontrer les égalités suivantes pour tout réel x.x .

1. ex1ex=1ex\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}}=1-\mathrm{e}^{-x}


2. 1ex+1=ex1e2x1\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{2 x}-1}
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