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Entrainement


Étude de la fonction exponentielle





79
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans R. \mathbb{R} .

1. ex+3<e4\mathrm{e}^{x+3} \lt \mathrm{e}^{4}


2. e2x+1>ex7\mathrm{e}^{-2 x+1}>\mathrm{e}^{x-7}


3. e9t1e4t\mathrm{e}^{9 t-1} \leqslant \mathrm{e}^{4 t}


4. et+4e3t\mathrm{e}^{t+4} \geqslant \mathrm{e}^{-3 t}

83
PYTHON
[Calculer.]
ff et gg désignent les deux fonctions de l’exercice précédent. On souhaite savoir si l’équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) possède une solution strictement positive sur R.\mathbb{R} .

from math import exp

for i in range(...):
	f = ...
  g = 2*(i-1)*(i+3)*exp(i/2)/3
  diff = ...
  print(diff)


1. Compléter le programme ci-dessus écrit en Python pour calculer les valeurs de f(n)g(n)f(n)-g(n) nn parcourt tous les entiers de 1 à 10.


2. À partir des valeurs obtenues, donner un encadrement de la solution de l’équation f(x)=g(x).f(x)=g(x).



82
[Chercher.] ◉◉◉
On considère deux fonctions ff et gg définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2)exf(x)=(x-2)\, \mathrm{e}^{x} et g(x)=2(x1)(x+3)3ex2.g(x)=\dfrac{2(x-1)(x+3)}{3} \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}.
La représentation graphique de ces fonctions est donnée ci-après.

Étude de la fonction exponentielle


1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) sur [5 ;2].[-5 ; 2]. On appelle aa la solution strictement négative de cette équation.


2. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)g(x). f(x) \geqslant g(x).


3. Montrer que, pour tout réel x<3,x \lt -3, g(x)>0>f(x).g(x)>0>f(x).



76
[Chercher.] ◉◉◉
On a tracé la représentation graphique d’une fonction ff définie sur R.\mathbb{R} . On sait que pour tout réel x,x , f(x)=(ax+b)exf(x)=(a x+b) \, \mathrm{e}^{x}, où aa et bb sont des réels.

Étude de la fonction exponentielle


1. Déterminer graphiquement f(0)f(0) et f(2).f(2) .


2. En déduire la valeur des réels aa et b.b .

67
[Calculer.]
On considère la fonction ff définie pour tout réel tt par f(t)=e3t.f(t)=\mathrm{e}^{3 t}.

1. Justifier que ff est dérivable sur R\mathbb{R} et déterminer f(t).f'(t).


2. Vérifier que, pour tout tR,f(t)3f(t)=0.t \in \mathbb{R}, f^{\prime}(t)-3 f(t)=0.


3. Trouver une fonction gg définie sur R \mathbb{R} telle que, pour tout tRt \in \mathbb{R}, g(t)=f(t).g^{\prime}(t)=f(t).

74
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations suivantes dans R.\mathbb{R}.

1. (ex1)(ex+1)=0 \left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)=0


2. (3x+1)ex=0 (3 x+1) \, \mathrm{e}^{x}=0


3. (2x1)ex=ex (2 x-1) \, \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}


4. xex+3=2ex+3 x \, \mathrm{e}^{x+3}=2 \, \mathrm{e}^{x+3}


5. ex2+3=1ex+3 -\mathrm{e}^{x^{2}+3}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x+3}}

80
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans R.\mathbb{R} .

1. ex+1<1\mathrm{e}^{x+1} \lt 1


2. 3ex24>4-3 \, \mathrm{e}^{x^{2}-4}>4


3. e2x+50\mathrm{e}^{-2 x+5} \geqslant 0


4. ex+41e3x\mathrm{e}^{x+4} \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}^{3 x}}

70
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée, sous forme factorisée, de la fonction ff définie et dérivable sur R.\mathbb{R} .

1. f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}


2. f(x)=(2x+3)exf(x)=(-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x}


3. f(x)=x2exf(x)=x^{2} \, \mathrm{e}^{x}


4. f(x)=(x23x+1)exf(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}

81
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les inéquations suivantes dans R.\mathbb{R} .

1. (x1)ex>0(x-1)\, \mathrm{e}^{x} \,>0


2. (2x+3)ex<0(-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x} \lt 0


3. x2e2x+50x^{2}\, \mathrm{e}^{-2 x+5} \geqslant 0


4. x4ex0\dfrac{x-4}{\mathrm{e}^{x}} \leqslant 0

66
[Calculer.] ◉◉
On considère la fonction ff définie pour tout réel tt par f(t)=2e6t.f(t)=2 \, \mathrm{e}^{-6 t}. Vérifier que, pour tout tR,t \in \mathbb{R}, f(t)+6f(t)=0.f^{\prime}(t)+6 f(t)=0.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 45 ; 50 ; 56 ; 66 ; 69 et 81
◉◉ Parcours 2 : exercices 53; 61 ; 74 ; 86 ; 93 ; 96 et 103
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 64 ; 76 ; 82 ; 91 ; 97 et 105

75
[Chercher.]
Sur sa copie, Ikrane a écrit la résolution suivante.

Étude de la fonction exponentielle


1. En remplaçant xx par 1,–1, l’égalité est-elle vérifiée ?


2. À quelle ligne se trouve l’erreur d’Ikrane ?


3. Résoudre convenablement dans R\mathbb{R} l’équation ex+e3=e2. \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{2}.

85
[Représenter.]
On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e2x.f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.

1. Justifier que ff est dérivable sur R\mathbb{R} puis calculer, pour tout nombre réel x,x, f(x).f'(x) .


2. Étudier le signe de f(x)f'(x) sur R.\mathbb{R} .


3. En déduire les variations de ff sur R.\mathbb{R} .


4. Tracer la courbe représentant ff dans un repère.

Tracé de fonction exponentielle

71
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée de la fonction ff définie et dérivable sur R\{0}.\mathbb{R} \backslash\{0\}.

1. f(x)=exxf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}


2. f(x)=xex1f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}

84
[Calculer.]
Étudier le signe des expressions suivantes sur R.\mathbb{R} .

1. 5ex55 \, \mathrm{e}^{x}-5


2. (3x1)ex(3 x-1) \, \mathrm{e}^{x}


3. (8x+4)(3x1)ex2 (-8 x+4)(3 x-1) \, \mathrm{e}^{x-2}


4. 6x5e3x1 \dfrac{6 x-5}{\mathrm{e}^{3 x-1}}

86
[Représenter.] ◉◉
ff est définie sur R\mathbb{R} par f(x)=e3xf(x)=\mathrm{e}^{-3 x}

1. Étudier les variations de ff sur R.\mathbb{R}.


2. Tracer la courbe représentant ff dans un repère.

Tracé de fonction exponentielle

68
[Raisonner.]
On cherche une fonction ff définie et dérivable sur R\mathbb{R} telle que, pour tout xR, x \in \mathbb{R}, 4f(x)+3f(x)=0.4 f^{\prime}(x)+3 f(x)=0. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont solutions de cette équation ?

1. g:xexg : x \mapsto \mathrm{e}^{x}


2. h:x0h : x \mapsto 0


3. p:xe3x4p : x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{3 x}{4}}


4. q:x4e3xq : x \mapsto 4 \,\mathrm{e}^{-3 x}

88
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C1,C_{1}, C2,C_{2}, C3C_{3} et C4C_{4} représentant les fonctions f,f , g,g , h,h , et pp définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x2)exf(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}, g(x)=(5x2)ex,g(x)=(-5 x-2) \mathrm{e}^{-x}, h(x)=(x1)e2xh(x)=(x-1)\, \mathrm{e}^{2 x} et p(x)=(x+2)exp(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}.

Courbes à identifier

Associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1. f(x)=(3x2)exf(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}

2. g(x)=(5x2)exg(x)=(-5 x-2) \, \mathrm{e}^{-x}

3. h(x)=(x1)e2xh(x)=(x-1) \, \mathrm{e}^{2 x}

4. p(x)=(x+2)exp(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}

77
[Calculer.]

1. Montrer que, pour tout réel t,t , on a 3t2+5t2=(3t1)(t+2).3 t^{2}+5 t-2=(3 t-1)(t+2).


2. En déduire la résolution de (3t2+5t2)e2t1=0.\left(3 t^{2}+5 t-2\right) \mathrm{e}^{2 t-1}=0.

87
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C1,C_{1}, C2,C_{2}, C3,C_{3}, C4C_{4} et C5,C_{5}, représentant les fonctions f,f , g,g , h,h , pp et qq définies sur R\mathbb{R} par f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{-2 x}, g(x)=ex,g(x)=\mathrm{e}^{x}, h(x)=e2x,h(x)=\mathrm{e}^{2 x}, p(x)=exp(x)=\mathrm{e}^{-x} et q(x)=e12x. q(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{1}{2}}x}.

Courbes exponentielles

Sachant que AA a pour coordonnées (1 ;e),(1 ; \mathrm{e}), associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1. f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{-2 x}

2. g(x)=exg(x)=\mathrm{e}^{x}

3. h(x)=exh(x)=\mathrm{e}^{-x}

4. p(x)=e12xp(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}

5. q(x)=e12xq(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}

69
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction ff définie et dérivable sur R.\mathbb{R}.

1. f(x)=5exx2f(x)=5\,\mathrm{e}^{x}-x^{2}


2. f(x)=xexf(x)=x\,\mathrm{e}^{x}


3. f(t)=2et+6t33e5 f(t)=2\,\mathrm{e}^{-t}+6\,t^{3}-3\,\mathrm{e}^{5}


4. f(t)=e3×e2t+e4tf(t)=\mathrm{e}^{-3} \times \mathrm{e}^{2 t}+\mathrm{e}^{-4 t}


5. f(t)=8te3t+1f(t)=-8\,t \, \mathrm{e}^{-3 t+1}

73
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans R.\mathbb{R}.

1. ex4=e\mathrm{e}^{x-4}=\mathrm{e}


2. ex2+x=1\mathrm{e}^{x^{2}+x}=1


3. ex2=1e\mathrm{e}^{-x^{2}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}


4. 3+ex=13+\mathrm{e}^{x}=1


72
[Calculer.]
Pour chaque fonction ff définie ci-dessous, donner le domaine de définition ainsi que l’expression de la fonction dérivée f.f' .

1. f(x)=xexf(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}


2. f(x)=ex+1ex1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}


3. f(x)=ex+1f(x)=\mathrm{e}^{x}+1


4. f(t)=et+1t1f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t}+1}{t-1}

78
[Calculer.]
Résoudre le système d’équations suivant {ex×ey=e3exey=1\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{3}} \\ {\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=1}\end{array}\right.

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