On considère la fonction f définie pour tout réel t par f(t)=2 \, \mathrm{e}^{-6 t}. Vérifier que, pour tout t \in \mathbb{R}, f^{\prime}(t)+6 f(t)=0.

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67
[Calculer.]
On considère la fonction f définie pour tout réel t par f(t)=\mathrm{e}^{3 t}.

1. Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} et déterminer f'(t).

2. Vérifier que, pour tout t \in \mathbb{R}, f^{\prime}(t)-3 f(t)=0.

3. Trouver une fonction g définie sur \mathbb{R} telle que, pour tout t \in \mathbb{R}, g^{\prime}(t)=f(t).

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68
[Raisonner.]
On cherche une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} telle que, pour tout x \in \mathbb{R}, 4 f^{\prime}(x)+3 f(x)=0. Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont solutions de cette équation ?

1. g : x \mapsto \mathrm{e}^{x}

2. h : x \mapsto 0

3. p : x \mapsto \mathrm{e}^{-\frac{3 x}{4}}

4. q : x \mapsto 4 \,\mathrm{e}^{-3 x}

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69
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}.

1. f(x)=5\,\mathrm{e}^{x}-x^{2}

2. f(x)=x\,\mathrm{e}^{x}

3. f(t)=2\,\mathrm{e}^{-t}+6\,t^{3}-3\,\mathrm{e}^{5}

4. f(t)=\mathrm{e}^{-3} \times \mathrm{e}^{2 t}+\mathrm{e}^{-4 t}

5. f(t)=-8\,t \, \mathrm{e}^{-3 t+1}

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70
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée, sous forme factorisée, de la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} .

1. f(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}

2. f(x)=(-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x}

3. f(x)=x^{2} \, \mathrm{e}^{x}

4. f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}

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71
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R} \backslash\{0\}.

1. f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}

2. f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}

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72
[Calculer.]
Pour chaque fonction f définie ci-dessous, donner le domaine de définition ainsi que l'expression de la fonction dérivée f' .

1. f(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}

2. f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}

3. f(x)=\mathrm{e}^{x}+1

4. f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t}+1}{t-1}

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73
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \mathrm{e}^{x-4}=\mathrm{e}

2. \mathrm{e}^{x^{2}+x}=1

3. \mathrm{e}^{-x^{2}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}

4. 3+\mathrm{e}^{x}=1

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74
[Calculer.]

Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R}.

1. \left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)=0

2. (3 x+1) \, \mathrm{e}^{x}=0

3. (2 x-1) \, \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}

4. x \, \mathrm{e}^{x+3}=2 \, \mathrm{e}^{x+3}

5. -\mathrm{e}^{x^{2}+3}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x+3}}

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75
[Chercher.]
Sur sa copie, Ikrane a écrit la résolution suivante.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. En remplaçant x par –1, l'égalité est-elle vérifiée ?

2. À quelle ligne se trouve l'erreur d'Ikrane ?

3. Résoudre convenablement dans \mathbb{R} l'équation \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{2}.

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76
[Chercher.]

On a tracé la représentation graphique d'une fonction f définie sur \mathbb{R} . On sait que pour tout réel x , f(x)=(a x+b) \, \mathrm{e}^{x}, où a et b sont des réels.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer graphiquement f(0) et f(2) .

2. En déduire la valeur des réels a et b .

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77
[Calculer.]
1. Montrer que, pour tout réel t , on a 3 t^{2}+5 t-2=(3 t-1)(t+2).

2. En déduire la résolution de \left(3 t^{2}+5 t-2\right) \mathrm{e}^{2 t-1}=0.

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78
[Calculer.]
Résoudre le système d'équations suivant \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}=\mathrm{e}^{3}} \\ {\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}=1}\end{array}\right.

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79
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .

1. \mathrm{e}^{x+3} \lt \mathrm{e}^{4}

2. \mathrm{e}^{-2 x+1}>\mathrm{e}^{x-7}

3. \mathrm{e}^{9 t-1} \leqslant \mathrm{e}^{4 t}

4. \mathrm{e}^{t+4} \geqslant \mathrm{e}^{-3 t}

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80
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .

1. \mathrm{e}^{x+1} \lt 1

2. -3 \, \mathrm{e}^{x^{2}-4}>4

3. \mathrm{e}^{-2 x+5} \geqslant 0

4. \mathrm{e}^{x+4} \leqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}^{3 x}}

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81
[Calculer.]

Résoudre les inéquations suivantes dans \mathbb{R} .

1. (x-1)\, \mathrm{e}^{x} \,>0

2. (-2 x+3) \, \mathrm{e}^{x} \lt 0

3. x^{2}\, \mathrm{e}^{-2 x+5} \geqslant 0

4. \dfrac{x-4}{\mathrm{e}^{x}} \leqslant 0

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82
[Chercher.]

On considère deux fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par {f(x)=(x-2)\, \mathrm{e}^{x}} et {g(x)=\dfrac{2(x-1)(x+3)}{3} \mathrm{e}^{\normalsize{\frac{x}{2}}}.}
La représentation graphique de ces fonctions est donnée ci-après.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = g(x) sur [-5 ; 2]. On appelle a la solution strictement négative de cette équation.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) \geqslant g(x).

3. Montrer que, pour tout réel x \lt -3, g(x)>0>f(x).

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83
Python
[Calculer.]

f et g désignent les deux fonctions de l'exercice précédent. On souhaite savoir si l'équation f(x) = g(x) possède une solution strictement positive sur \mathbb{R} .

from math import exp

for i in range(...):
	f = ...
  g = 2*(i-1)*(i+3)*exp(i/2)/3
  diff = ...
  print(diff)

1. Compléter le programme ci-dessus écrit en Python pour calculer les valeurs de f(n)-g(n) où n parcourt tous les entiers de 1 à 10.

2. À partir des valeurs obtenues, donner un encadrement de la solution de l'équation f(x)=g(x).

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84
[Calculer.]
Étudier le signe des expressions suivantes sur \mathbb{R} .

1. 5 \, \mathrm{e}^{x}-5

2. (3 x-1) \, \mathrm{e}^{x}

3. (-8 x+4)(3 x-1) \, \mathrm{e}^{x-2}

4. \dfrac{6 x-5}{\mathrm{e}^{3 x-1}}

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85
[Représenter.]
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.

1. Justifier que f est dérivable sur \mathbb{R} puis calculer, pour tout nombre réel x, f'(x) .

2. Étudier le signe de f'(x) sur \mathbb{R} .

3. En déduire les variations de f sur \mathbb{R} .

4. Tracer la courbe représentant f dans un repère.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

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86
[Représenter.]

f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-3 x}

1. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Tracer la courbe représentant f dans un repère.

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

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87
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} et C_{5}, représentant les fonctions f , g , h , p et q définies sur \mathbb{R} par f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}, g(x)=\mathrm{e}^{x}, h(x)=\mathrm{e}^{2 x}, p(x)=\mathrm{e}^{-x} et q(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\frac{1}{2}}x}.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Sachant que A a pour coordonnées (1 ; \mathrm{e}), associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1. f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}

2. g(x)=\mathrm{e}^{x}

3. h(x)=\mathrm{e}^{-x}

4. p(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}

5. q(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2} x}

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88
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes C_{1}, C_{2}, C_{3} et C_{4} représentant les fonctions f , g , h , et p définies sur \mathbb{R} par f(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}, g(x)=(-5 x-2) \mathrm{e}^{-x}, h(x)=(x-1)\, \mathrm{e}^{2 x} et p(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Associer à chaque fonction sa courbe représentative.

1. f(x)=(3 x-2) \, \mathrm{e}^{x}

2. g(x)=(-5 x-2) \, \mathrm{e}^{-x}

3. h(x)=(x-1) \, \mathrm{e}^{2 x}

4. p(x)=(x+2)\, \mathrm{e}^{-x}

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