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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 6

Entraînement

Étude de la fonction exponentielle

Ressource affichée de l'autre côté.
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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

103

Parcours 3 : exercices

;

105

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66
[Calculer.]

On considère la fonction

f

définie pour tout réel

t

par

f (t) = 2 e^{- 6 t} .

Vérifier que, pour tout

t \in R,

f^{'} (t) + 6 f (t) = 0.

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67
[Calculer.]
On considère la fonction

f

définie pour tout réel

t

par

f (t) = e^{3 t} .

1. Justifier que

f

est dérivable sur

R

et déterminer

f^{'} (t) .

2. Vérifier que, pour tout

t \in R, f^{'} (t) - 3 f (t) = 0.

3. Trouver une fonction

g

définie sur

R

telle que, pour tout

t \in R

g^{'} (t) = f (t) .

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69
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction

f

définie et dérivable sur

R .

f (x) = 5 e^{x} - x^{2}

f (x) = x e^{x}

f (t) = 2 e^{- t} + 6 t^{3} - 3 e^{5}

f (t) = e^{- 3} \times e^{2 t} + e^{- 4 t}

f (t) = - 8 t e^{- 3 t + 1}

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68
[Raisonner.]
On cherche une fonction

f

définie et dérivable sur

R

telle que, pour tout

x \in R,

4 f^{'} (x) + 3 f (x) = 0.

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont solutions de cette équation ? 1.

g : x \mapsto e^{x}

h : x \mapsto 0

p : x \mapsto e^{- \frac{3 x}{4}}

q : x \mapsto 4 e^{- 3 x}

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70
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée, sous forme factorisée, de la fonction

f

définie et dérivable sur

R .

f (x) = (x + 1) e^{x}

f (x) = (- 2 x + 3) e^{x}

f (x) = x^{2} e^{x}

f (x) = (x^{2} - 3 x + 1) e^{x}

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71
[Calculer.]
Déterminer la fonction dérivée de la fonction

f

définie et dérivable sur

R \ {0} .

f (x) = \frac{e ^{x}}{x}

f (x) = \frac{x}{e ^{x} - 1}

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72
[Calculer.]
Pour chaque fonction

f

définie ci-dessous, donner le domaine de définition ainsi que l'expression de la fonction dérivée

f^{'} .

f (x) = \frac{x}{e ^{x}}

f (x) = \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 1}

f (x) = e^{x} + 1

f (t) = \frac{e ^{t} + 1}{t - 1}

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73
[Calculer.]
Résoudre les équations suivantes dans

R .

e^{x - 4} = e

e^{x^{2} + x} = 1

e^{- x^{2}} = \frac{1}{e}

3 + e^{x} = 1

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74
[Calculer.]

Résoudre les équations suivantes dans

R .

(e^{x} - 1) (e^{x} + 1) = 0

(3 x + 1) e^{x} = 0

(2 x - 1) e^{x} = e^{x}

x e^{x + 3} = 2 e^{x + 3}

- e^{x^{2} + 3} = \frac{1}{e ^{x + 3}}

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75
[Chercher.]
Sur sa copie, Ikrane a écrit la résolution suivante.

Photographie de résolution d'équation exponentielle : calcul manuscrit, solution S = {-1}.

1. En remplaçant

x

par

-1,

l'égalité est-elle vérifiée ?

2. À quelle ligne se trouve l'erreur d'Ikrane ?

3. Résoudre convenablement dans

R

l'équation

e^{x} + e^{3} = e^{2} .

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78
[Calculer.]
Résoudre le système d'équations suivant

{e^{x} \times e^{y} = e^{3} \frac{e ^{x}}{e ^{y}} = 1

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76
[Chercher.]

On a tracé la représentation graphique d'une fonction

f

définie sur

R .

On sait que pour tout réel

x,

f (x) = (a x + b) e^{x}

, où

a

b

sont des réels.

1. Déterminer graphiquement

f (0)

f (2) .

2. En déduire la valeur des réels

a

b .

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77
[Calculer.]
1. Montrer que, pour tout réel

t,

on a

3 t^{2} + 5 t - 2 = (3 t - 1) (t + 2) .

2. En déduire la résolution de

(3 t^{2} + 5 t - 2) e^{2 t - 1} = 0.

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79
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans

R .

e^{x + 3} < e^{4}

e^{- 2 x + 1} > e^{x - 7}

e^{9 t - 1} ⩽ e^{4 t}

e^{t + 4} ⩾ e^{- 3 t}

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80
[Calculer.]
Résoudre les inéquations suivantes dans

R .

e^{x + 1} < 1

- 3 e^{x^{2} - 4} > 4

e^{- 2 x + 5} ⩾ 0

e^{x + 4} ⩽ \frac{1}{e ^{3 x}}

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81
[Calculer.]

Résoudre les inéquations suivantes dans

R .

(x - 1) e^{x} > 0

(- 2 x + 3) e^{x} < 0

x^{2} e^{- 2 x + 5} ⩾ 0

\frac{x - 4}{e ^{x}} ⩽ 0

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82
[Chercher.]

On considère deux fonctions

f

g

définies sur

R

par

f (x) = (x - 2) e^{x}

g (x) = \frac{2 ( x - 1 ) ( x + 3 )}{3} e^{\frac{x}{2}} .

La représentation graphique de ces fonctions est donnée ci-après.

1. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation

f (x) = g (x)

sur

[- 5; 2] .

On appelle

a

la solution strictement négative de cette équation.

2. Résoudre graphiquement l'inéquation

f (x) ⩾ g (x) .

3. Montrer que, pour tout réel

x < - 3,

g (x) > 0 > f (x) .

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83
Python
[Calculer.]

f

g

désignent les deux fonctions de l'exercice précédent. On souhaite savoir si l'équation

f (x) = g (x)

possède une solution strictement positive sur

R .

from math import exp

for i in range(...):
	f = ...
  g = 2*(i-1)*(i+3)*exp(i/2)/3
  diff = ...
  print(diff)

1. Compléter le programme ci-dessus écrit en Python pour calculer les valeurs de

f (n) - g (n)

où

n

parcourt tous les entiers de 1 à 10.

Cliquez pour accéder à la correction

2. À partir des valeurs obtenues, donner un encadrement de la solution de l'équation

f (x) = g (x) .

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84
[Calculer.]
Étudier le signe des expressions suivantes sur

R .

5 e^{x} - 5

(3 x - 1) e^{x}

(- 8 x + 4) (3 x - 1) e^{x - 2}

\frac{6 x - 5}{e ^{3 x - 1}}

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85
[Représenter.]
On considère la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = e^{2 x} .

1. Justifier que

f

est dérivable sur

R

puis calculer, pour tout nombre réel

x,

f^{'} (x) .

2. Étudier le signe de

f^{'} (x)

sur

R .

3. En déduire les variations de

f

sur

R .

4. Tracer la courbe représentant

f

dans un repère.

Ressource affichée de l'autre côté.
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86
[Représenter.]

f

est définie sur

R

par

f (x) = e^{- 3 x}

1. Étudier les variations de

f

sur

R .

2. Tracer la courbe représentant

f

dans un repère.

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87
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes

C_{1},

C_{2},

C_{3},

C_{4}

C_{5},

représentant les fonctions

f,

g,

h,

p

q

définies sur

R

par

f (x) = e^{- 2 x}

g (x) = e^{x},

h (x) = e^{2 x},

p (x) = e^{- x}

q (x) = e^{\frac{1}{2} x} .

Sachant que

A

a pour coordonnées

(1; e),

associer à chaque fonction sa courbe représentative. 1.

f (x) = e^{- 2 x}

g (x) = e^{x}

h (x) = e^{- x}

p (x) = e^{\frac{1}{2} x}

q (x) = e^{\frac{1}{2} x}

Ressource affichée de l'autre côté.
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88
[Chercher.]
On a tracé, dans un repère orthonormé, les courbes

C_{1},

C_{2},

C_{3}

C_{4}

représentant les fonctions

f,

g,

h,

p

définies sur

R

par

f (x) = (3 x - 2) e^{x}

g (x) = (- 5 x - 2) e^{- x},

h (x) = (x - 1) e^{2 x}

p (x) = (x + 2) e^{- x}

Associer à chaque fonction sa courbe représentative. 1.

f (x) = (3 x - 2) e^{x}

g (x) = (- 5 x - 2) e^{- x}

h (x) = (x - 1) e^{2 x}

p (x) = (x + 2) e^{- x}

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