Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus





Synthèse - Objectif BAC





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 29 ; 31 ; 40 ; 42 ; 57 ; 59 ; 75 et 82
◉◉ Parcours 2 : exercices 33 ; 39 ; 47 ; 63 ; 68 ; 77 ; 79 ; 85 et 95
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 37 ; 49 ; 56 ; 71 et 89

85
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie sur Df\mathcal{D}_f par f(x)=2x+14x2+4x+5.f ( x ) = \dfrac { 2 x + 1 } { 4 x ^ { 2 } + 4 x + 5 }.
Cf\mathcal{C}_f est la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal ( O;i,j)\mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ) d’unités graphiques 11 cm en abscisse et 44 cm en ordonnée. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de ff sur Df.\mathcal{D}_f.

1. a. Tracer, à l’aide de la calculatrice, la parabole d’équation y=4x2+4x+5.y = 4x^2 + 4x + 5 . En déduire que ff est définie sur R.\R .

b. Vérifier que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=2(2x+3)(2x1)(4x2+4x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { - 2 ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 1 ) } { \left( 4 x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right) ^ { 2 } }.


c. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) sur R\R puis dresser le tableau de variations de f.f .

Couleurs
Formes
Dessinez ici


d. À l'aide de la calculatrice, tracer la courbe Cf.\mathcal{C}_f.

2. F\text{F} est une fonction définie sur R\R ayant pour dérivée la fonction f.f . On sait, de plus, que F(32)=0.\mathrm { F } \left( \dfrac { - 3 } { 2 } \right) = 0.
a. Déterminer une équation de la tangente dd à la courbe représentative de F\text{F} au point d’abscisse 32.\dfrac { - 3 } { 2 }.

b. Des trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation de F\text{F} ? Justifier.


Applications de la dérivation

86
[Calculer.]
On considère la fonction ff définie sur Df=];1[]1;+[\mathcal { D } _ { f } = ] - \infty \: ; 1 [ \cup ] 1 \: ; + \infty [ par f(x)=x2+4x7x1.f ( x ) = \dfrac { - x ^ { 2 } + 4 x - 7 } { x - 1 }.
Cf\mathcal { C } _ { f } est la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé (O;i,j).( \mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ).

1. Montrer que, pour tout xDf,x \in \mathcal { D } _ { f } , f(x)=x+34x1.f ( x ) = - x + 3 - \dfrac { 4 } { x - 1 }.

2. Δ \Delta est la droite d’équation y=x+3.y = -x + 3 . Étudier la position relative de Cf\mathcal { C } _ { f } et Δ. \Delta.

3. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de ff sur Df.\mathcal { D } _ { f }. Montrer que, pour tout xDf,x \in \mathcal { D } _ { f } , f(x)=(x+1)(x3)(x1)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { - ( x + 1 ) ( x - 3 ) } { ( x - 1 ) ^ { 2 } }.


4. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) en fonction de xDfx \in \mathcal { D } _ { f } puis dresser le tableau de variations de ff sur Df.\mathcal { D } _ { f }.

Couleurs
Formes
Dessinez ici


5. Déterminer une équation de la tangente à Cf\mathcal { C } _ { f } au point d’abscisse 2.2.

6. Peut-on trouver une tangente à Cf\mathcal { C } _ { f } de coefficient directeur égal à 1?-1 \:? Justifier.

7. Dans un repère orthogonal, tracer la courbe Cf\mathcal { C } _ { f } ainsi que la droite Δ.\Delta .

8. Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction hh définie sur Df\mathcal { D } _ { f } par h(x)=f(x).h(x) = | f ( x ) |.

87
EN ÉCONOMIE
[Chercher.]
Une entreprise fabrique des rétroviseurs pour voitures. La fonction « coût total » est définie sur I=[0;11]\text{I} = [0 \: ; 11] par C(x)=0,3x33x2+9x+6. \text{C}(x) = 0\text{,}3x^3 - 3x^2 + 9x + 6 .
C(x)\text{C}(x) est exprimée en millier d’euros et xx est le nombre de milliers d’articles fabriqués. Le prix de vente de 10001\:000 articles est 8025.8\:025 \:€.
On suppose que chaque article fabriqué est vendu.
La courbe représentative de la fonction C\text{C} est représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.

Applications de la dérivation

1. On note R\text{R} la fonction recette, exprimée en millier d’euros, relative à la vente de xx milliers d’articles.
a. Expliquer pourquoi R(x)=8,025x.\text{R}(x) = 8\text{,}025x .

b. Dans le repère ci-dessus, tracer la courbe représentative de R.\text{R.}
c. Déterminer graphiquement l’intervalle de production qui permet de réaliser un bénéfice.

d. Déterminer graphiquement la quantité x0x_0 que l’entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.

2. Le bénéfice réalisé par cette entreprise est donné, en millier d’euros, par la fonction B\text{B} définie et dérivable sur I.\text{I.} On note B\text {B}^{\prime} la fonction dérivée de B.\text{B.}
a. Montrer que, pour tout xI,x \in \mathrm { I }, B(x)=0,075(6x1)(2x13).\mathrm { B } ^ { \prime } ( x ) = - 0\text{,}075 ( 6 x - 1 ) ( 2 x - 13 ).


b. Étudier le signe de B(x)\text {B}^{\prime}(x) puis dresser le tableau de variations de B.\text{B.}

Couleurs
Formes
Dessinez ici


c. Retrouver, à partir du tableau de variations, la valeur de x0.x_0. Justifier.

d. Quel est le montant, en euro, du bénéfice maximal ?

88
EN ÉCONOMIE
[Calculer.]
D’après Bac technologique - France Métropolitaine - 2009
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 00 à 4545 kg de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.
On désigne par xx le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine et par f(x)f(x) le coût unitaire de revient en euro. Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450450 €.
On admet dans la suite du problème que la fonction ff est définie sur ]0;45]]0 \: ; 45] par f(x)=x260x+975.f(x) = x^2 - 60x + 975 .

1. Justifier que le coût de production total C(x)\text{C}(x) pour xx kg de truffes est C(x)=x360x2+975x. \text{C}(x) = x^3 - 60x^2 + 975x .

2. Exprimer le bénéfice B(x)\text{B}(x) réalisé par le producteur pour xx kg de truffes conditionnés et vendus.

3. Déterminer la fonction dérivée B\text {B} ^ {\prime} de la fonction B\text{B} et montrer que, pour tout x]0;45],x \in ] 0 \:; 45 ], B(x)=(3x+15)(x35).\text {B} ^ {\prime} ( x ) = (-3x + 15)(x - 35).


4. Étudier le signe de B(x)\text {B} ^ {\prime} ( x ) puis dresser le tableau de variations de B.\text{B.}

Couleurs
Formes
Dessinez ici


5. Compléter le tableau de valeurs suivant :

 xx 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
 B(x)\text{B}(x)

6. Représenter graphiquement la fonction B\text{B} dans un repère orthogonal (O;i,j).( \text {O} ; \vec { i } , \vec { j } ).

Lancer le module Geogebra

7. À l’aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l’exploitation est bénéficiaire.

8. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ?

89
[Chercher.] ◉◉◉
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\R et ff ^ { \prime } sa fonction dérivée. On note C\mathcal{C} sa courbe représentative.

Applications de la dérivation

Partie A : lecture graphique
1. Déterminer graphiquement en justifiant :
a. f(3) f(-3) et f(3)f ^ { \prime }(-3) puis f(1)f(-1) et f(1);f ^ { \prime }(-1) \: ;

b. le signe de f(x)f ^ { \prime }(x) sur l’intervalle [6;5].[-6 \: ; 5].

2. Résoudre graphiquement f(x)>0f(x) \gt 0 puis (f(x)2)2=4 (f(x) - 2)^2 = 4 sur l’intervalle [6;5].[-6 \: ; 5].


Partie B : calcul littéral
Soit aa et bb deux réels. On admet que la fonction ff est définie par f(x)=2(x2+ax+b)x2+2x+5.f ( x ) = \dfrac { 2 \left( x ^ { 2 } + a x + b \right) } { x ^ { 2 } + 2 x + 5 }.

1. Montrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, x2+2x+5=(x+1)2+4x ^ { 2 } + 2 x + 5 = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 et justifier alors l’ensemble de définition de f.f .

2. On sait que la courbe C\mathcal{C} passe par le point A(0;25).\text {A} \left( 0 \: ; \dfrac { 2 } { 5 } \right). Montrer que b=1.b = 1 .

3. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=(42a)x2+16x+10a4(x2+2x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { ( 4 - 2 a ) x ^ { 2 } + 16 x + 10 a - 4 } { \left( x ^ { 2 } + 2 x + 5 \right) ^ { 2 } }.

4. On sait que la courbe C\mathcal{C} admet au point d’abscisse 3-3 une tangente horizontale. Démontrer que a=2.a = -2 .

5. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=8(x+3)(x1)(x2+2x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 8 ( x + 3 ) ( x - 1 ) } { \left( x ^ { 2 } + 2 x + 5 \right) ^ { 2 } }.


6. En déduire alors le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de la fonction f.f .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

90
[Modéliser.]
[AC][ \text {AC} ] est un segment de longueur 1212 cm. B\text{B} est un point du segment [AC][ \text {AC} ] tel que AB=x.\text{AB} = x.
On construit d’un même côté de la droite (AB)(\text {AB}) les demi-cercles de diamètres [AB],[ \text {AB} ], [BC][ \text {BC} ] et [AC].[ \text {AC} ].
On note S(x)\text{S}(x) l’aire de la surface hachurée en fonction de x.x .

Applications de la dérivation

1. Quel est l’ensemble de définition DS \mathcal{D}_S de la fonction S ?\text{S ?}

2. Montrer que, pour tout xDS,x \in \mathcal { D } _ { \mathrm { S } } , S(x)=π4(12xx2).\mathrm { S } ( x ) = \dfrac { \pi } { 4 } \left( 12 x - x ^ { 2 } \right).

3. Déterminer la valeur x0x_0 pour laquelle l’aire de la partie hachurée est maximale.

91
[Modéliser.]
fmf _ { m } est la fonction définie sur R\R par fm(x)=mx4+x2mf _ { m } ( x ) = m x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - mmR.m \in \mathbb { R } ^ { * }.
Cm\mathcal{C}_mest la courbe représentative de fmf _ { m } dans un repère orthonormé (O;i,j).( \mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ).

1. Démontrer que les deux courbes C1\mathcal{C}_1 et C1\mathcal{C}_{-1} ont deux points d’intersection A\text{A} et B\text{B} dont on précisera les coordonnées. On notera A\text{A} le point dont l’abscisse est positive.

2. Vérifier que, pour tout mR,m \in \mathbb { R } ^ { * }, Cm\mathcal{C}_m passe par les deux points A\text{A} et B.\text{B.}

3. Calculer mm pour que la droite (OA)\text{(OA)} soit tangente à Cm\mathcal{C}_m en A.\text{A.}

4. Dans quel ensemble doit se trouver mm pour que la fonction fmf _ { m } admette un seul extremum ?

5. Deux courbes sont dites tangentes en un point M\text{M} lorsque le point M\text{M} appartient aux deux courbes et les deux courbes admettent en M\text{M} une tangente commune. Déterminer mm pour que Cm\mathcal{C}_m soit tangente en A\text{A} à la parabole P\mathcal{P} d’équation y=x2+6x4.y = -x^2 + 6x - 4 .

92
GEOGEBRA
[Modéliser.]
Une citerne d’eau doit être fabriquée à partir d’une bande d’étain de 88 m de long et de 66 m de large et cela en pliant, de chaque côté, une bande de 22 m de large en faisant un angle α\alpha avec l’horizontale.

Applications de la dérivation

Le but de l’exercice est de répondre à la question suivante :
« Quel angle a permet de maximiser l’aire de la section transversale et, par conséquent, le volume de la citerne ? »
La section transversale est assimilée à un trapèze isocèle ABCD\text{ABCD} tel que AB=BC=CD=2\text{AB} = \text{BC} = \text{CD} = 2 m et (AD)\text{(AD)} est parallèle à (BC).\text{(BC).}
H\text{H} est le projeté orthogonale de B\text{B} sur (AD).\text{(AD).}

1. Expliquer pourquoi BAH^=α.\widehat{ \mathrm { BAH }} = \alpha.

2. Montrer que h=2sin(α)h = 2 \sin ( \alpha ) et que AD=2+4cos(α).\mathrm { AD } = 2 + 4 \cos ( \alpha ).

3. Montrer que l’aire du trapèze ABCD\text{ABCD} est S(α)=4sin(α)+4sin(α)cos(α).\mathrm { S } ( \alpha ) = 4 \sin ( \alpha ) + 4 \sin ( \alpha ) \cos ( \alpha ).

4. On considère la fonction ff définie sur [0;π2]\left[ 0 \: ; \dfrac { \pi } { 2 } \right] par f(α)=4sin(α)+4sin(α)cos(α).f ( \alpha ) = 4 \sin ( \alpha ) + 4 \sin ( \alpha ) \cos ( \alpha ).
a. Sur GeoGebra et à l’aide de l’instruction Fonction (4 sin(x) + 4 sin(x) cos(x),0 , pi/2), tracer la courbe représentative de la fonction f.f .

Lancer le module Geogebra
b. La fonction ff semble avoir un maximum. Quelle est la valeur de ce maximum ? Pour quelle valeur de xx semble-t-il être atteint ?

c. f(x)f ^ { \prime } ( x ) est la fonction dérivée de f.f . Avec GeoGebra, vérifier que f(x)=4(2cos2(x)+cos(x)1)f ^ { \prime } ( x ) = 4 \left( 2 \cos ^ { 2 } ( x ) + \cos ( x ) - 1 \right) puis que f(x)=8(cos(x)+1)(cos(x)0,5).f ^ { \prime } ( x ) = 8 ( \cos ( x ) + 1 ) ( \cos ( x ) - 0\text{,}5 ).

d. Retrouver alors la valeur de l’angle α\alpha pour lequel l’aire de la section transversale est maximale.

93
[Chercher.]
D’après Bac S - Polynésie - 2017
Dans un disque en carton de rayon R,\text{R,} on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α\alpha radians.
On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α\alpha pour obtenir un cône de volume maximal.
On appelle \ell le rayon de la base circulaire de ce cône et hh sa hauteur.

On rappelle que :
  • le volume d’un cône de révolution de hauteur h,h , et dont la base est un disque d’aire A,\text{A,} est 13Ah;\dfrac { 1 } { 3 } \mathrm { A }h \: ;
  • la longueur d’un arc de cercle de rayon rr et d’angle θ,\theta, exprimé en degré, est 2π360×αr.\dfrac { 2 \pi } { 360 } \times \alpha r.

Applications de la dérivation

1. On choisit R=20\text{R} = 20 cm.
a. Montrer que, pour tout h>0,h \gt 0, le volume du cône est V(h)=π3(400hh3) \text{V} ( h ) = \dfrac { \pi } { 3 } \left( 400 h - h ^ { 3 } \right)

b. Justifier qu’il existe une valeur de hh qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximal ? Donner un arrondi de α\alpha au degré près.

2. L’angle α\alpha dépend-il du rayon R\text{R} du disque en carton ? Justifier.

94
PYTHON
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=ax+bcx+d.f ( x ) = \dfrac { a x + b } { c x + d } .

1. Sous quelle condition la fonction f f est-elle définie ?

2. Que devient la fonction ff lorsque c=0?c = 0 \:?

3. Que devient la fonction ff lorsque adbc=0?ad - bc = 0 \:?

4. Dans la suite de l’exercice, on suppose que c0,c \neq 0, adbc0ad - bc \neq 0 et que la fonction ff est bien définie. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de f.f .
a. Donner l’expression de f(x)f ^ { \prime }(x) en fonction de a,a , b,b , c,c , dd et x.x .


b. Compléter le programme ci-dessous afin qu’il retourne le sens de variation de la fonction f.f .

def Variations(a, b, c, d):
	m = a*d - b*c
  if m > 0:
  	return("...")
  else:
  	return("...") 

95
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+3x+2.f(x) = -x^3 + 3x + 2 .

1. Étudier les variations de ff sur R.\R .

Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Vérifier que f(2)=0.f(2) = 0 .

3. Étudier, suivant les valeurs de x,x , le signe de f(x).f(x).

4. C\mathcal{C} est la courbe d’équation y=x3.y = x^3. Δ\Delta est la droite d’équation y=3x+2.y = 3x + 2. Étudier la position relative de C\mathcal{C} et Δ.\Delta.

96
[Modéliser.]
Une boîte sans couvercle a la forme d’un parallélépipède rectangle. Sa base est un carré de côté x (exprimé en mètre) avec x>0.x \gt 0 . Le volume de la boîte est égal à 10 m3.10\text{ m}^3.
La base est fabriquée à l’aide d’un matériau qui coûte 55 € par mètre carré, tandis que les faces latérales sont construites à l’aide d’un matériau qui coûte 22 € par mètre carré.
On note hh la hauteur de la boîte et C\text{C} le coût de fabrication d’une boîte.

Applications de la dérivation

1. Exprimer hh en fonction de x.x .

2. Montrer que, pour tout x>0,x \gt 0 , C(x)=5(x3+16)x.\text{C} ( x ) = \dfrac { 5 \left( x ^ { 3 } + 16 \right) } { x }.

3. On note C\mathrm { C } ^ { \prime } la fonction dérivée de C.\text{C.} Montrer que, pour tout x>0,x \gt 0 , C(x)=10(x38)x2.\text{C} ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 10 \left( x ^ { 3 } - 8 \right) } { x ^ { 2 } }.

4. Étudier les variations de la fonction C\text{C} puis trouver les dimensions de la boîte pour lesquelles le coût de fabrication est minimal.

Histoire des maths

Histoire des maths - Euclide

Euclide

Histoire des maths - Héron d’Alexandrie

Héron d’Alexandrie

Les premiers problèmes d’optimisation auraient été formulés par Euclide, au IIIe siècle avant notre ère, dans son ouvrage historique Éléments. Trois cents ans plus tard, Héron d’Alexandrie dans Catoptrica énonce le « principe du plus court chemin » dans le contexte de l’optique : « Le chemin le plus court qui lie un point P\text{P} à un point Q\text{Q} et qui contient un point d’une droite dd donnée, est tel qu’au point de réflexion sur la droite dd l’angle incident égal l’angle réfléchi. »

97
[Raisonner.]
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
ff est la fonction définie sur R\R ^{*} par f(x)=x22+27x,f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + \dfrac { 27 } { x }, ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de f.f .

1. f(x)=(x3)(x2+3x+9)x2;f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { ( x - 3 ) \left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 \right) } { x ^ { 2 } } \: ;

2. ff est décroissante sur ]0;1[;]0 \:; 1[ \:;

3. le minimum de ff sur ]0;+[]0 \:; +\infty[ est 3;3\:;

4. le maximum de ff sur [1;4][1 \:; 4] est f(4);f(4)\: ;

5. si 2x42 \leqslant x \leqslant 4 alors f(3)f(x)f(2).f ( 3 ) \leqslant f ( x ) \leqslant f ( 2 ).

98
[Calculer.]
Un fil de 8080 cm de longueur est coupé en deux parties. Une partie est utilisée pour délimiter un disque et l’autre pour délimiter un carré.
On cherche à répondre à la question suivante :
« Comment faut-il couper ce fil pour que la somme des aires des deux figures soit minimale ? »
On note xx la longueur de la partie utilisée pour former le carré.
1. Vérifier que l’aire du carré formé est x216.\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 }.

2. Montrer que l’aire du disque formé est (80x)24π.\dfrac { ( 80 - x ) ^ { 2 } } { 4 \pi }.

3. Montrer que la somme des aires des deux figures est S(x)=(4+π)x2640x+2560016π.\mathrm { S } ( x ) = \dfrac { ( 4 + \pi ) x ^ { 2 } - 640 x + 25\:600 } { 16 \pi }.


4. Étudier les variations de S\mathrm { S } puis conclure.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

99
[Représenter.]
Soit hh la fonction définie sur R\R par h(x)=9x4+x3.h(x) = -9x^4 + x^3 . Maël a représenté cette fonction à la calculatrice pour dresser son tableau de variations.

Applications de la dérivation

1. À partir de cette représentation, comment dresser le tableau de variations de h?h \:? hh admet-elle un maximum ?

2. On note hh ^ { \prime } la fonction dérivée de hh sur R.\R.
a. Déterminer l’expression de h(x).h ^ { \prime }(x).

b. En déduire le tableau de variations de hh sur R\R ainsi que le maximum de h.h .


Couleurs
Formes