Synthèse - Objectif BAC

1. a. Tracer, à l'aide de la calculatrice, la parabole d'équation $y=4x^2+4x+5.$ En déduire que $f$ est définie sur $\mathbb{R}.$

b. Vérifier que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f^{\prime }(x)=\frac{-2(2x+3)(2x-1)}{{\left(4x^2+4x+5\right)}^2}.$

c. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de $f.$



d. À l'aide de la calculatrice, tracer la courbe ${\mathcal{C}}_f.$

2. $\text{F}$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ ayant pour dérivée la fonction $f.$ On sait, de plus, que $\mathrm{F}\left(\frac{-3}{2}\right)=0.$
a. Déterminer une équation de la tangente $d$ à la courbe représentative de $\text{F}$ au point d'abscisse $\frac{-3}{2}.$

b. Des trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation de $\text{F}$ ? Justifier.

1. Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f,$ $f(x)=-x+3-\frac{4}{x-1}.$

2. $\Delta$ est la droite d'équation $y=-x+3.$ Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et $\Delta .$

3. $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de $f$ sur ${\mathcal{D}}_f.$ Montrer que, pour tout $x\in {\mathcal{D}}_f,$ $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}.$

4. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ en fonction de $x\in {\mathcal{D}}_f$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur ${\mathcal{D}}_f.$

5. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $2.$

6. Peut-on trouver une tangente à ${\mathcal{C}}_f$ de coefficient directeur égal à $-1?$ Justifier.

7. Dans un repère orthogonal, tracer la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ainsi que la droite $\Delta .$

8. Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction $h$ définie sur ${\mathcal{D}}_f$ par $h(x)=|f(x)|.$

Une entreprise fabrique des rétroviseurs pour voitures. La fonction « coût total » est définie sur $\text{I}=[0;11]$ par $\text{C}(x)=0\text{,}3x^3-3x^2+9x+6.$
$\text{C}(x)$ est exprimée en millier d'euros et $x$ est le nombre de milliers d'articles fabriqués. Le prix de vente de $1000$ articles est $8025€.$
On suppose que chaque article fabriqué est vendu.
La courbe représentative de la fonction $\text{C}$ est représentée ci-dessous dans un repère orthogonal.


1. On note $\text{R}$ la fonction recette, exprimée en millier d'euros, relative à la vente de $x$ milliers d'articles.
a. Expliquer pourquoi $\text{R}(x)=8\text{,}025x.$

b. Depuis le repère ci-dessus, tracer la courbe représentative de $\text{R.}$
c. Déterminer graphiquement l'intervalle de production qui permet de réaliser un bénéfice.

d. Déterminer graphiquement la quantité $x_0$ que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.

2. Le bénéfice réalisé par cette entreprise est donné, en millier d'euros, par la fonction $\text{B}$ définie et dérivable sur $\text{I.}$ On note ${\text{B}}^{\prime }$ la fonction dérivée de $\text{B.}$
a. Montrer que, pour tout $x\in \mathrm{I},$ ${\mathrm{B}}^{\prime }(x)=-0\text{,}075(6x-1)(2x-13).$

b. Étudier le signe de ${\text{B}}^{\prime }(x)$ puis dresser le tableau de variations de $\text{B.}$



c. Retrouver, à partir du tableau de variations, la valeur de $x_0.$ Justifier.

d. Quel est le montant, en euro, du bénéfice maximal ?

1. Justifier que le coût de production total $\text{C}(x)$ pour $x$ kg de truffes est $\text{C}(x)=x^3-60x^2+975x.$

2. Exprimer le bénéfice $\text{B}(x)$ réalisé par le producteur pour $x$ kg de truffes conditionnés et vendus.

3. Déterminer la fonction dérivée ${\text{B}}^{\prime }$ de la fonction $\text{B}$ et montrer que, pour tout $x\in ]0;45],$ ${\text{B}}^{\prime }(x)=(-3x+15)(x-35).$

4. Étudier le signe de ${\text{B}}^{\prime }(x)$ puis dresser le tableau de variations de $\text{B.}$

5. Compléter le tableau de valeurs suivant :


6. Représenter graphiquement la fonction $\text{B}$ dans un repère orthogonal $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$

7. À l'aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l'exploitation est bénéficiaire.

8. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ?

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Partie A : lecture graphique
1. Déterminer graphiquement en justifiant :
a. $f(-3)$ et $f^{\prime }(-3)$ puis $f(-1)$ et $f^{\prime }(-1);$

b. le signe de $f^{\prime }(x)$ sur l'intervalle $[-6;5].$

2. Résoudre graphiquement $f(x)>0$ puis $(f(x)-2{)}^2=4$ sur l'intervalle $[-6;5].$

Partie B : calcul littéral
Soit $a$ et $b$ deux réels. On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x)=\frac{2\left(x^2+ax+b\right)}{x^2+2x+5}.$

1. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$ et justifier alors l'ensemble de définition de $f.$

2. On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $\text{A}\left(0;\frac{2}{5}\right).$ Montrer que $b=1.$

3. Démontrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f^{\prime }(x)=\frac{(4-2a)x^2+16x+10a-4}{{\left(x^2+2x+5\right)}^2}.$

4. On sait que la courbe $\mathcal{C}$ admet au point d'abscisse $-3$ une tangente horizontale. Démontrer que $a=-2.$

5. Démontrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f^{\prime }(x)=\frac{8(x+3)(x-1)}{{\left(x^2+2x+5\right)}^2}.$

6. En déduire alors le signe de $f^{\prime }(x)$.

Puis dresser le tableau de variations de la fonction $f.$

Une citerne d'eau doit être fabriquée à partir d'une bande d'étain de $8$ m de long et de $6$ m de large et cela en pliant, de chaque côté, une bande de $2$ m de large en faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale.

Le but de l'exercice est de répondre à la question suivante :
« Quel angle a permet de maximiser l'aire de la section transversale et, par conséquent, le volume de la citerne ? »
La section transversale est assimilée à un trapèze isocèle $\text{ABCD}$ tel que $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=2$ m et $\text{(AD)}$ est parallèle à $\text{(BC).}$
$\text{H}$ est le projeté orthogonale de $\text{B}$ sur $\text{(AD).}$

1. Expliquer pourquoi $\widehat{\mathrm{BAH}}=\alpha .$

2. Montrer que $h=2\sin (\alpha )$ et que $\mathrm{AD}=2+4\cos (\alpha ).$

3. Montrer que l'aire du trapèze $\text{ABCD}$ est $\mathrm{S}(\alpha )=4\sin (\alpha )+4\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$

4. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ par $f(\alpha )=4\sin (\alpha )+4\sin (\alpha )\cos (\alpha ).$
a. Sur GeoGebra et à l'aide de l'instruction Fonction (4 sin(x) + 4 sin(x) cos(x),0 , pi/2), tracer la courbe représentative de la fonction $f.$

b. La fonction $f$ semble avoir un maximum. Quelle est la valeur de ce maximum ? Pour quelle valeur de $x$ semble-t-il être atteint ?

c. $f^{\prime }(x)$ est la fonction dérivée de $f.$ Avec GeoGebra, vérifier que $f^{\prime }(x)=4\left(2{\cos }^2(x)+\cos (x)-1\right)$ puis que $f^{\prime }(x)=8(\cos (x)+1)(\cos (x)-0\text{,}5).$

1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$

2. Vérifier que $f(2)=0.$

3. Étudier, suivant les valeurs de $x,$ le signe de $f(x).$

4. $\mathcal{C}$ est la courbe d'équation $y=x^3.$ $\Delta$ est la droite d'équation $y=3x+2.$ Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta .$

Une boîte sans couvercle a la forme d'un parallélépipède rectangle. Sa base est un carré de côté x (exprimé en mètre) avec $x>0.$ Le volume de la boîte est égal à $10{\text{ m}}^3.$
La base est fabriquée à l'aide d'un matériau qui coûte $5$ € par mètre carré, tandis que les faces latérales sont construites à l'aide d'un matériau qui coûte $2$ € par mètre carré.
On note $h$ la hauteur de la boîte et $\text{C}$ le coût de fabrication d'une boîte.

1. Exprimer $h$ en fonction de $x.$

2. Montrer que, pour tout $x>0,$ $\text{C}(x)=\frac{5\left(x^3+16\right)}{x}.$

3. On note ${\mathrm{C}}^{\prime }$ la fonction dérivée de $\text{C.}$ Montrer que, pour tout $x>0,$ ${\text{C}}^{\prime }(x)=\frac{10\left(x^3-8\right)}{x^2}.$

4. Étudier les variations de la fonction $\text{C}$ puis trouver les dimensions de la boîte pour lesquelles le coût de fabrication est minimal.

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-9x^4+x^3.$ Maël a représenté cette fonction à la calculatrice pour dresser son tableau de variations.


1. À partir de cette représentation, comment dresser le tableau de variations de $h?$ $h$ admet-elle un maximum ?

2. On note $h^{\prime }$ la fonction dérivée de $h$ sur $\mathbb{R}.$
a. Déterminer l'expression de $h^{\prime }(x).$

b. En déduire le tableau de variations de $h$ sur $\mathbb{R}$ ainsi que le maximum de $h.$

3. Proposer à Maël une fenêtre d'affichage permettant de voir les résultats obtenus à la question 2..

Partie A :
$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+3x-4.$

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variations.

2. Calculer $g(1)$ puis conjecturer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}.$

Partie B :
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{-2x^3+4x^2}{x^2+1}.$
${\mathcal{C}}_f$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Justifier que $f$ est dérivable et montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R},$ $f^{\prime }(x)=\frac{-2x\times g(x)}{{\left(x^2+1\right)}^2}.$

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$.

Puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}.$

3. Peut-on trouver des points de ${\mathcal{C}}_f$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $\Delta$ d'équation $y=-2x?$ Si oui, préciser leurs abscisses respectives.

Fonctions à deux variables :
$f$ est une fonction à deux variables $x$ et $y$ telle que $f(x;y)=xy(x-y)$ où $x$ et $y$ sont des entiers qui appartiennent à l'intervalle $[0;10].$ On admet que $f$ a un maximum pour des valeurs entières de $x$ et $y.$ Le but de l'algorithme ci-dessous est de trouver le maximum de la fonction $f.$

$\boxed{\begin{array}{l}x\leftarrow 0\\ y\leftarrow 0\\ f\leftarrow 0\\ \text{Pour }x\text{ allant de }0\text{ aˋ }10:\\ \text{Pour }y\text{ allant de }0\text{ aˋ }10:\\ g\leftarrow xy(x-y)\\ \text{Si }g>f:\\ f\leftarrow g\\ \text{Fin Si}\\ \text{Fin Pour}\\ \text{Fin Pour}\end{array}}$

1. Comparer $f(2;3)$ et $f(3;2).$

2. Quelle est la valeur calculée à la fin de cet algorithme ?

3. Modifier cet algorithme afin qu'il affiche les valeurs de $x$ et $y$ pour lesquelles $f$ atteint son maximum.