Synthèse - Objectif BAC





94
PYTHON
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=ax+bcx+d.f ( x ) = \dfrac { a x + b } { c x + d } .

1. Sous quelle condition la fonction f f est-elle définie ?

2. Que devient la fonction ff lorsque c=0?c = 0 \:?

3. Que devient la fonction ff lorsque adbc=0?ad - bc = 0 \:?

4. Dans la suite de l’exercice, on suppose que c0,c \neq 0, adbc0ad - bc \neq 0 et que la fonction ff est bien définie. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de f.f .
a. Donner l’expression de f(x)f ^ { \prime }(x) en fonction de a,a , b,b , c,c , dd et x.x .


b. Compléter le programme ci-dessous afin qu’il retourne le sens de variation de la fonction f.f .

def Variations(a, b, c, d):
	m = a*d - b*c
  if m > 0:
  	return("...")
  else:
  	return("...") 

93
[Chercher.]
D’après Bac S - Polynésie - 2017
Dans un disque en carton de rayon R,\text{R,} on découpe un secteur angulaire correspondant à un angle de mesure α\alpha radians.
On superpose les bords afin de créer un cône de révolution. On souhaite choisir l’angle α\alpha pour obtenir un cône de volume maximal.
On appelle \ell le rayon de la base circulaire de ce cône et hh sa hauteur.

On rappelle que :
  • le volume d’un cône de révolution de hauteur h,h , et dont la base est un disque d’aire A,\text{A,} est 13Ah;\dfrac { 1 } { 3 } \mathrm { A }h \: ;
  • la longueur d’un arc de cercle de rayon rr et d’angle θ,\theta, exprimé en degré, est 2π360×αr.\dfrac { 2 \pi } { 360 } \times \alpha r.

Applications de la dérivation

1. On choisit R=20\text{R} = 20 cm.
a. Montrer que, pour tout h>0,h \gt 0, le volume du cône est V(h)=π3(400hh3) \text{V} ( h ) = \dfrac { \pi } { 3 } \left( 400 h - h ^ { 3 } \right)

b. Justifier qu’il existe une valeur de hh qui rend le volume du cône maximum. Donner cette valeur.

c. Comment découper le disque en carton pour avoir un volume maximal ? Donner un arrondi de α\alpha au degré près.

2. L’angle α\alpha dépend-il du rayon R\text{R} du disque en carton ? Justifier.

101
ALGO
[Calculer.]
Fonctions à deux variables :
ff est une fonction à deux variables xx et yy telle que f(x;y)=xy(xy)f(x \:; y) = xy(x - y)xx et yy sont des entiers qui appartiennent à l’intervalle [0;10].[0\: ; 10] . On admet que ff a un maximum pour des valeurs entières de xx et y.y . Le but de l’algorithme ci-dessous est de trouver le maximum de la fonction f.f .

x0y0f0Pour x allant de 0 aˋ 10:Pour y allant de 0 aˋ 10:gxy(xy)Si g>f:fgFin SiFin PourFin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { x \leftarrow 0 } \\ y \leftarrow 0 \\ f \leftarrow 0 \\ \text {Pour } x \text { allant de } 0 \text{ à } 10 : \\ \quad \text {Pour } y \text { allant de } 0 \text{ à } 10 : \\ \quad \quad g \leftarrow xy(x-y) \\ \quad \quad \text {Si } g \gt f: \\ \quad \quad \quad f \leftarrow g \\ \quad \quad \text {Fin Si}\\ \quad \text {Fin Pour} \\ \text {Fin Pour} \end{array} }


1. Comparer f(2;3)f(2\: ; 3) et f(3;2).f(3\: ; 2).

2. Quelle est la valeur calculée à la fin de cet algorithme ?

3. Modifier cet algorithme afin qu’il affiche les valeurs de xx et yy pour lesquelles ff atteint son maximum.






89
[Chercher.] ◉◉◉
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\R et ff ^ { \prime } sa fonction dérivée. On note C\mathcal{C} sa courbe représentative.

Applications de la dérivation

Partie A : lecture graphique
1. Déterminer graphiquement en justifiant :
a. f(3) f(-3) et f(3)f ^ { \prime }(-3) puis f(1)f(-1) et f(1);f ^ { \prime }(-1) \: ;

b. le signe de f(x)f ^ { \prime }(x) sur l’intervalle [6;5].[-6 \: ; 5].

2. Résoudre graphiquement f(x)>0f(x) \gt 0 puis (f(x)2)2=4 (f(x) - 2)^2 = 4 sur l’intervalle [6;5].[-6 \: ; 5].


Partie B : calcul littéral
Soit aa et bb deux réels. On admet que la fonction ff est définie par f(x)=2(x2+ax+b)x2+2x+5.f ( x ) = \dfrac { 2 \left( x ^ { 2 } + a x + b \right) } { x ^ { 2 } + 2 x + 5 }.

1. Montrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, x2+2x+5=(x+1)2+4x ^ { 2 } + 2 x + 5 = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 4 et justifier alors l’ensemble de définition de f.f .

2. On sait que la courbe C\mathcal{C} passe par le point A(0;25).\text {A} \left( 0 \: ; \dfrac { 2 } { 5 } \right). Montrer que b=1.b = 1 .

3. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=(42a)x2+16x+10a4(x2+2x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { ( 4 - 2 a ) x ^ { 2 } + 16 x + 10 a - 4 } { \left( x ^ { 2 } + 2 x + 5 \right) ^ { 2 } }.

4. On sait que la courbe C\mathcal{C} admet au point d’abscisse 3-3 une tangente horizontale. Démontrer que a=2.a = -2 .

5. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=8(x+3)(x1)(x2+2x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 8 ( x + 3 ) ( x - 1 ) } { \left( x ^ { 2 } + 2 x + 5 \right) ^ { 2 } }.


6. En déduire alors le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de la fonction f.f .

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92
GEOGEBRA
[Modéliser.]
Une citerne d’eau doit être fabriquée à partir d’une bande d’étain de 88 m de long et de 66 m de large et cela en pliant, de chaque côté, une bande de 22 m de large en faisant un angle α\alpha avec l’horizontale.

Applications de la dérivation

Le but de l’exercice est de répondre à la question suivante :
« Quel angle a permet de maximiser l’aire de la section transversale et, par conséquent, le volume de la citerne ? »
La section transversale est assimilée à un trapèze isocèle ABCD\text{ABCD} tel que AB=BC=CD=2\text{AB} = \text{BC} = \text{CD} = 2 m et (AD)\text{(AD)} est parallèle à (BC).\text{(BC).}
H\text{H} est le projeté orthogonale de B\text{B} sur (AD).\text{(AD).}

1. Expliquer pourquoi BAH^=α.\widehat{ \mathrm { BAH }} = \alpha.

2. Montrer que h=2sin(α)h = 2 \sin ( \alpha ) et que AD=2+4cos(α).\mathrm { AD } = 2 + 4 \cos ( \alpha ).

3. Montrer que l’aire du trapèze ABCD\text{ABCD} est S(α)=4sin(α)+4sin(α)cos(α).\mathrm { S } ( \alpha ) = 4 \sin ( \alpha ) + 4 \sin ( \alpha ) \cos ( \alpha ).

4. On considère la fonction ff définie sur [0;π2]\left[ 0 \: ; \dfrac { \pi } { 2 } \right] par f(α)=4sin(α)+4sin(α)cos(α).f ( \alpha ) = 4 \sin ( \alpha ) + 4 \sin ( \alpha ) \cos ( \alpha ).
a. Sur GeoGebra et à l’aide de l’instruction Fonction (4 sin(x) + 4 sin(x) cos(x),0 , pi/2), tracer la courbe représentative de la fonction f.f .

Lancer le module Geogebra
b. La fonction ff semble avoir un maximum. Quelle est la valeur de ce maximum ? Pour quelle valeur de xx semble-t-il être atteint ?

c. f(x)f ^ { \prime } ( x ) est la fonction dérivée de f.f . Avec GeoGebra, vérifier que f(x)=4(2cos2(x)+cos(x)1)f ^ { \prime } ( x ) = 4 \left( 2 \cos ^ { 2 } ( x ) + \cos ( x ) - 1 \right) puis que f(x)=8(cos(x)+1)(cos(x)0,5).f ^ { \prime } ( x ) = 8 ( \cos ( x ) + 1 ) ( \cos ( x ) - 0\text{,}5 ).

d. Retrouver alors la valeur de l’angle α\alpha pour lequel l’aire de la section transversale est maximale.

88
EN ÉCONOMIE
[Calculer.]
D’après Bac technologique - France Métropolitaine - 2009
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 00 à 4545 kg de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.
On désigne par xx le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine et par f(x)f(x) le coût unitaire de revient en euro. Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450450 €.
On admet dans la suite du problème que la fonction ff est définie sur ]0;45]]0 \: ; 45] par f(x)=x260x+975.f(x) = x^2 - 60x + 975 .

1. Justifier que le coût de production total C(x)\text{C}(x) pour xx kg de truffes est C(x)=x360x2+975x. \text{C}(x) = x^3 - 60x^2 + 975x .

2. Exprimer le bénéfice B(x)\text{B}(x) réalisé par le producteur pour xx kg de truffes conditionnés et vendus.

3. Déterminer la fonction dérivée B\text {B} ^ {\prime} de la fonction B\text{B} et montrer que, pour tout x]0;45],x \in ] 0 \:; 45 ], B(x)=(3x+15)(x35).\text {B} ^ {\prime} ( x ) = (-3x + 15)(x - 35).


4. Étudier le signe de B(x)\text {B} ^ {\prime} ( x ) puis dresser le tableau de variations de B.\text{B.}

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5. Compléter le tableau de valeurs suivant :

 xx 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
 B(x)\text{B}(x)

6. Représenter graphiquement la fonction B\text{B} dans un repère orthogonal (O;i,j).( \text {O} ; \vec { i } , \vec { j } ).

Lancer le module Geogebra

7. À l’aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l’exploitation est bénéficiaire.

8. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal ?

85
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie sur Df\mathcal{D}_f par f(x)=2x+14x2+4x+5.f ( x ) = \dfrac { 2 x + 1 } { 4 x ^ { 2 } + 4 x + 5 }.
Cf\mathcal{C}_f est la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal ( O;i,j)\mathrm { O } ; \vec { i } , \vec { j } ) d’unités graphiques 11 cm en abscisse et 44 cm en ordonnée. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de ff sur Df.\mathcal{D}_f.

1. a. Tracer, à l’aide de la calculatrice, la parabole d’équation y=4x2+4x+5.y = 4x^2 + 4x + 5 . En déduire que ff est définie sur R.\R .

b. Vérifier que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=2(2x+3)(2x1)(4x2+4x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { - 2 ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 1 ) } { \left( 4 x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right) ^ { 2 } }.


c. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) sur R\R puis dresser le tableau de variations de f.f .

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d. À l'aide de la calculatrice, tracer la courbe Cf.\mathcal{C}_f.

2. F\text{F} est une fonction définie sur R\R ayant pour dérivée la fonction f.f . On sait, de plus, que F(32)=0.\mathrm { F } \left( \dfrac { - 3 } { 2 } \right) = 0.
a. Déterminer une équation de la tangente dd à la courbe représentative de F\text{F} au point d’abscisse 32.\dfrac { - 3 } { 2 }.

b. Des trois courbes ci-dessous, quelle est celle qui est la représentation de F\text{F} ? Justifier.


Applications de la dérivation

90
[Modéliser.]
[AC][ \text {AC} ] est un segment de longueur 1212 cm. B\text{B} est un point du segment [AC][ \text {AC} ] tel que AB=x.\text{AB} = x.
On construit d’un même côté de la droite (AB)(\text {AB}) les demi-cercles de diamètres [AB],[ \text {AB} ], [BC][ \text {BC} ] et [AC].[ \text {AC} ].
On note S(x)\text{S}(x) l’aire de la surface hachurée en fonction de x.x .

Applications de la dérivation

1. Quel est l’ensemble de définition DS \mathcal{D}_S