Construction d'une route

Dans cette partie, on cherche à trouver l'expression du coût en fonction de $x.$ 1. Montrer que la longueur $\text{BD}$ en kilomètre est égale à $\sqrt{x^2-10x+34}.$

2. Montrer que le coût du projet, exprimé en millions d'euros, est donné par la fonction ${\text{C}}_{\text{T}}$ définie sur $[0;5]$ par ${\text{C}}_{\text{T}}(x)=2x+4\sqrt{x^2-10x+34}.$

3. Le chemin le plus court reliant $\text{A}$ et $\text{D}$ est le segment $\text{[AD]}$ ; autrement dit, $\text{B}$ et $\text{A}$ sont confondus. Peut-on dire que le segment $\text{[AD]}$ assure un coût minimal ? Si non, donner un chemin moins coûteux.

Dans cette partie, on utilise la calculatrice afin de déterminer la valeur de $x$ qui minimise le coût. On admet dans cette partie que le coût du projet, exprimé en millions d'euros, est donné par la fonction ${\text{C}}_{\text{T}}$ définie sur $[0;5]$ par : ${\text{C}}_{\mathrm{T}}(x)=2x+4\sqrt{x^2-10x+34}.$ 1. À l'aide de la calculatrice et en choisissant convenablement le repère, tracer la courbe représentative de la fonction ${\text{C}}_{\text{T}}$ sur l'intervalle $[0;5].$

2. Déterminer, avec les outils de la calculatrice, le minimum de la fonction ${\text{C}}_{\text{T}}.$ Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

3. Quel est alors le coût minimal ? Pour quelle longueur de $\text{AB}$ est-il atteint ?

Mise en commun

Déduire de ce qui précède la valeur de $x$ pour laquelle ${\text{C}}_{\text{T}}$ est minimale. Conclure.