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Construction d’une route
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TRAVAILLER ENSEMBLE


Construction d’une route





Le but de cet exercice est de minimiser le coût de construction d’une autoroute reliant deux villes A\text{A} et D.\text{D.}
La partie [AC]\text{[AC]} existe déjà, mais doit subir une rénovation entre A\text{A} et B\text{B} qui coûte 22 millions d’euros par km pour être utilisable où B\text{B} est un point de [AC].\text{[AC].} Le tronçon [BD],\text{[BD],} tout neuf, coûte 44 millions d’euros par km.
On note xx la distance AB.\text{AB.}

Construction d’une route


Construction d’une route

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ☆☆

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Dans cette partie, on cherche à trouver l’expression du coût en fonction de x.x .

1. Montrer que la longueur BD\text{BD} en kilomètre est égale à x210x+34.\sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.


2. Montrer que le coût du projet, exprimé en millions d’euros, est donné par la fonction CT\text{C}_\text{T} définie sur [0;5][0 \: ; 5] par CT(x)=2x+4x210x+34.\text{C} _ { \text{T} } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.


3. Le chemin le plus court reliant A\text{A} et D\text{D} est le segment [AD]\text{[AD]} ; autrement dit, B\text{B} et A\text{A} sont confondus. Peut-on dire que le segment [AD]\text{[AD]} assure un coût minimal ? Si non, donner un chemin moins coûteux.
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PARTIE 2 ☆☆

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Dans cette partie, on utilise la calculatrice afin de déterminer la valeur de xx qui minimise le coût.
On admet dans cette partie que le coût du projet, exprimé en millions d’euros, est donné par la fonction CT\text{C}_\text{T} définie sur [0;5][0\: ; 5] par : CT(x)=2x+4x210x+34.\text{C} _ { \mathrm { T } } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.

1. À l’aide de la calculatrice et en choisissant convenablement le repère, tracer la courbe représentative de la fonction CT\text{C}_\text{T} sur l’intervalle [0;5].[0 \: ; 5].

2. Déterminer, avec les outils de la calculatrice, le minimum de la fonction CT.\text{C}_\text{T}. Pour quelle valeur de xx est-il atteint ?


3. Quel est alors le coût minimal ? Pour quelle longueur de AB\text{AB} est-il atteint ?


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PARTIE 3 ★★★

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Dans cette partie, on cherche à déterminer, en utilisant un logiciel de calcul formel, le minimum de la fonction CT.\text{C}_\text{T.}
On admet dans cette partie que le coût du projet, exprimé en millions d’euros, est donné par la fonction CT\text{C}_\text{T} définie sur [0;5][0\: ; 5] par CT(x)=2x+4x210x+34.\text{C} _ { \mathrm { T } } ( x ) = 2 x + 4 \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 }.

1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, vérifier que la dérivée de CT\text{C}_\text{T} est donnée par
CT(x)=2×2x10+x210x+34x210x+34.\text{C} _ \text{T} ^ { \prime } ( x ) = 2 \times \dfrac { 2 x - 10 + \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } } { \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } }.

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2. On pose u(x)=x210x+34u ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 34 } et v(x)=102x.v ( x ) = 10 - 2 x. Expliquer pourquoi CT(x)\mathrm { C } _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } ( x ) a le même signe que u(x)v(x)u(x) - v(x) sur [0;5].[0\: ; 5].


3. Expliquer pourquoi u2(x)v2(x)u ^ { 2 } ( x ) - v ^ { 2 } ( x ) a le même signe que u(x)v(x)u(x) - v(x) sur [0;5].[0 \: ; 5].


4. Vérifier que u2(x)v2(x)=3(x+35)(x35).u ^ { 2 } ( x ) - v ^ { 2 } ( x ) = - 3 ( x + \sqrt { 3 } - 5 ) ( x - \sqrt { 3 } - 5 ).


5. Dresser le tableau de variations de la fonction CT.\text{C}_\text{T}.

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Mise en commun

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Déduire de ce qui précède la valeur de xx pour laquelle CT\text{C}_\text{T} est minimale. Conclure.
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