TP / TICE2


Résolution d’une équation du troisième degré






Résolution d’une équation du troisième degré
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

Par balayage : on note a la solution de (E).(\text{E}).

1. On commence par chercher un encadrement de aa d’amplitude 101.10^{-1}.

a. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.

Résolution d’une équation du troisième degré


b. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B4 ?


c. Justifier la formule entrée dans la cellule A5, notamment l’utilisation du symbole $.


d. Compléter la feuille de calcul pour obtenir toutes les valeurs de aa avec un pas de 0,1.0\text{,}1.


e. En se rappelant que f(a)=0,f(a) = 0, en déduire un encadrement de aa d’amplitude 101.10^{-1}.


2. Modifier la feuille de calcul pour obtenir un encadrement de aa d’amplitude 102.10^{-2}.


3. Faire une nouvelle modification pour obtenir cette fois un encadrement de aa d’amplitude 103.10^{-3}.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
CALCULATRICE


Par balayage : on note a la solution de (E).\text{(E)}.

1. Tracer, à la calculatrice, la courbe représentative de la fonction f.f.

2. Par lecture graphique, retrouver un encadrement à l’unité de la solution a.a. Justifier.


3. À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, donner un encadrement de aa d’amplitude 10110^{-1} puis un encadrement d’amplitude 102.10^{-2}.


4. Poursuivre le même procédé, donner un encadrement de aa d’amplitude 103.10^{-3}.

Énoncé

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
P\mathcal { P } est la parabole d’équation y=x2+4.y = x ^ { 2 } + 4. H\mathcal { H } est l’hyperbole d’équation y=8x.y = \dfrac { 8 } { x }.

Questions préliminaires :
1. Démontrer que P\mathcal { P } et H\mathcal { H } ont un seul point d’intersection si et seulement si l’équation  (E) x3+4x8=0\text { (E) } x ^ { 3 } + 4 x - 8 = 0 admet une unique solution.

2. ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+4x8.f(x) = x^3 + 4x - 8 . Étudier les variations de ff sur R\R puis dresser son tableau de variations. Conjecturer le nombre de solutions à l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur [1;2].[1\: ; 2].


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Objectif

Utiliser des algorithmes déjà vus en seconde pour déterminer une valeur approchée de la solution de l’équation (E)\text{(E)} à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
PYTHON

Python




Dans cette partie, on cherche à trouver, avec la méthode de dichotomie, un encadrement de la solution notée aa de l’équation (E).\text{(E).} On note respectivement uu et vv les bornes d’un intervalle dans lequel se trouve a.a. Au début de l’algorithme, on admet alors que u=1u = 1 et v=2.v = 2 .

1. Sans faire de calcul, justifier, à l’aide de la question préliminaire 2. , que f(u)×f(v)<0.f(u) \times f(v) \lt 0 .


2. On pose m=u+v2.m = \dfrac { u + v } { 2 }.

a. Que représente mm pour uu et v?v \: ? Pour l’intervalle [u;v]?[u \: ; v] \: ?


b. Justifier que, si α]u;m[,\alpha \in ] u \: ; m [, alors f(u)×f(m)<0.f(u) \times f(m) \lt 0 .


c. Quel est le signe de f(u)×f(m)f(u) \times f(m) lorsque α]m;v[?\alpha \in ] m \: ; v [ \: ? Justifier.


3. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il donne un encadrement de aa d’amplitude 101.10^{-1}.

u1v2Tant que vu> ... Si f(u)×f((u+v)/2)<0:v(u+v)/2Sinon :u ... Fin SiFin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } { u \leftarrow 1 } \\ v \leftarrow 2 \\ \text{Tant que } v - u > \text { ... } \\ \quad \text {Si } f ( u ) \times f ( ( u + v ) / 2 ) \lt 0 : \\ \quad \quad v \leftarrow ( u + v ) / 2 \\ \quad \text {Sinon :} \\ \quad \quad u \leftarrow \text { ... } \\ \quad \text {Fin Si}\\ \text {Fin Tant que}\\ \end{array} }




4. Expliquer le fonctionnement de cet algorithme.


5. Sur Python, programmer l’algorithme ci-dessus et donner un encadrement de aa d’amplitude 10210^{-2} puis d’amplitude 103.10^{-3}.
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