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Chapitre 5
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Résolution d'une équation du troisième degré
11 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
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Questions préliminaires
1. Démontrer que \mathcal { P } et \mathcal { H } ont un seul point d'intersection si et seulement si l'équation \text { (E) } x ^ { 3 } + 4 x - 8 = 0 admet une unique solution.
2. f est la fonction définie sur \R par f(x) = x^3 + 4x - 8 . Étudier les variations de f sur \R puis dresser son tableau de variations. Conjecturer le nombre de solutions à l'équation f(x) = 0 sur [1\: ; 2].
2. f est la fonction définie sur \R par f(x) = x^3 + 4x - 8 . Étudier les variations de f sur \R puis dresser son tableau de variations. Conjecturer le nombre de solutions à l'équation f(x) = 0 sur [1\: ; 2].
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Objectif
Utiliser des algorithmes déjà vus en seconde pour
déterminer une valeur approchée de la solution de
l'équation \text{(E)} à l'aide d'une des trois méthodes.
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Méthode 1Calculatrice
Par balayage : on note a la solution de \text{(E)}.
1. Tracer, à la calculatrice, la courbe représentative
de la fonction f.
2. Par lecture graphique, retrouver un encadrement à l'unité de la solution a. Justifier.
2. Par lecture graphique, retrouver un encadrement à l'unité de la solution a. Justifier.
3. À l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice,
donner un encadrement de a d'amplitude 10^{-1} puis un encadrement d'amplitude 10^{-2}.
4. Poursuivre le même procédé, donner un encadrement de a d'amplitude 10^{-3}.
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Méthode 2Tableur
Par balayage : on note a la solution de (\text{E}).
1. On commence par chercher un encadrement
de a d'amplitude 10^{-1}.
a. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.
b. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B4 ?
c. Justifier la formule entrée dans la cellule A5, notamment l'utilisation du symbole $.
a. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous.
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b. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B4 ?
c. Justifier la formule entrée dans la cellule A5, notamment l'utilisation du symbole $.
d. Compléter la feuille de calcul pour obtenir toutes
les valeurs de a avec un pas de 0\text{,}1.
e. En se rappelant que f(a) = 0, en déduire un encadrement de a d'amplitude 10^{-1}.
2. Modifier la feuille de calcul pour obtenir un encadrement de a d'amplitude 10^{-2}.
3. Faire une nouvelle modification pour obtenir cette fois un encadrement de a d'amplitude 10^{-3}.
e. En se rappelant que f(a) = 0, en déduire un encadrement de a d'amplitude 10^{-1}.
2. Modifier la feuille de calcul pour obtenir un encadrement de a d'amplitude 10^{-2}.
3. Faire une nouvelle modification pour obtenir cette fois un encadrement de a d'amplitude 10^{-3}.
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Méthode 3Python
Dans cette partie, on cherche à trouver, avec la méthode de dichotomie, un encadrement de la
solution notée a de l'équation \text{(E).} On note respectivement u et v les bornes d'un intervalle dans lequel se trouve a. Au début de l'algorithme, on admet alors que u = 1 et v = 2 .
1. Sans faire de calcul, justifier, à l'aide de la question préliminaire 2. , que f(u) \times f(v) \lt 0 .
2. On pose m = \dfrac { u + v } { 2 }.
a. Que représente m pour u et v \: ? Pour l'intervalle [u \: ; v] \: ?
b. Justifier que, si \alpha \in ] u \: ; m [, alors f(u) \times f(m) \lt 0 .
c. Quel est le signe de f(u) \times f(m) lorsque \alpha \in ] m \: ; v [ \: ? Justifier.
2. On pose m = \dfrac { u + v } { 2 }.
a. Que représente m pour u et v \: ? Pour l'intervalle [u \: ; v] \: ?
b. Justifier que, si \alpha \in ] u \: ; m [, alors f(u) \times f(m) \lt 0 .
c. Quel est le signe de f(u) \times f(m) lorsque \alpha \in ] m \: ; v [ \: ? Justifier.
3. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il donne un encadrement de a d'amplitude 10^{-1}.
4. Expliquer le fonctionnement de cet algorithme.
5. Sur Python, programmer l'algorithme ci-dessus et donner un encadrement de a d'amplitude 10^{-2} puis d'amplitude 10^{-3}.
\boxed{
\begin{array} { l } { u \leftarrow 1 } \\
v \leftarrow 2 \\
\text{Tant que } v - u > \text { ... } \\
\quad \text {Si } f ( u ) \times f ( ( u + v ) / 2 ) \lt 0 : \\
\quad \quad v \leftarrow ( u + v ) / 2 \\
\quad \text {Sinon :} \\
\quad \quad u \leftarrow \text { ... } \\
\quad \text {Fin Si}\\
\text {Fin Tant que}\\
\end{array}
}
4. Expliquer le fonctionnement de cet algorithme.
5. Sur Python, programmer l'algorithme ci-dessus et donner un encadrement de a d'amplitude 10^{-2} puis d'amplitude 10^{-3}.
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