TP / TICE 1


Un ensemble de points





Objectif

Déterminer la position du point A\text{A} et calculer la longueur totale des deux structures rectilignes de telle sorte que cette longueur soit minimale.


Un ensemble de points
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

Python




On note ff la fonction définie sur [0;12][0\: ; 12] par f(x)=AT1f ( x ) = \mathrm { AT } _ { 1 } et gg la fonction définie sur [0;12][0\: ; 12] par g(x)=AT2.g ( x ) = \mathrm { AT } _ { 2 }.

1. Définir ces deux fonctions à l’aide de Python.

Un ensemble de points


2. On note hh la fonction définie sur [0;12][0\: ; 12] par h(x)=f(x)+g(x).h(x) = f(x) + g(x). Quel est le lien entre l’objectif du TP et la fonction h?h \:?


3. Programmer un algorithme de balayage avec un pas de 0,10\text{,}1 permettant d’obtenir la valeur de hh la plus petite possible.

4. Reprendre la question précédente avec un pas de 0,010\text{,}01 et répondre à l’objectif posé.


Énoncé

Le schéma suivant représente une ville, on souhaite relier deux tours T1\text{T}_1 et T2\text{T}_2 à la fibre. Les distances sont données en centaine de mètres. On prévoit que les câbles suivent une structure rectiligne.
Pour différentes raisons, les câbles doivent partir d’un point A\text{A} situé le long de la route entre les points R1\text{R}_1 et R2.\text{R}_2.

Questions préliminaires :
On note xx la distance AR1.\text{AR}_1 .
1. À quel intervalle appartient x?x \: ?

2. Exprimer les longueurs AT1\text{AT}_1 et AT2\text{AT}_2 en fonction de x.x .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

On note ff la fonction définie sur [0;12][0\: ; 12] par f(x)=AT1f ( x ) = \mathrm { AT } _ { 1 } et gg la fonction définie sur [0;12][0\: ; 12] par g(x)=AT2.g ( x ) = \mathrm { AT } _ { 2 }.

1. À l’aide d’une fenêtre Calcul formel de GeoGebra, définir les fonctions ff et gg puis définir la fonction hh par h(x)=f(x)+g(x).h(x) = f(x) + g(x).

Un ensemble de points

Remarque : La racine carrée peut s’obtenir avec la commande sqrt.

2. Quel est le lien entre l’objectif du TP et la fonction h?h \: ?


3. Quelle équation faut-il résoudre pour obtenir la valeur de xx pour laquelle la fonction hh atteint son minimum ?


4. Faire calculer par le logiciel la dérivée de la fonction hh et, à l’aide de GeoGebra, résoudre l’équation de la question précédente.


5. Répondre alors au problème en donnant des valeurs approchées au mètre près.
Vérifier graphiquement les résultats obtenus.

GeoGebra

Lancer le module Geogebra

Pour aller plus loin


1. Une troisième tour T3\text{T}_3 est positionnée au milieu du segment [T1T2].[\text{T}_1\text{T}_2]. On souhaite également relier cette tour. Où doit alors se situer le point A\text{A} pour que la distance totale des trois structures rectilignes soit minimale ?


2. Lorsque uu est une fonction définie et strictement positive sur un intervalle I\text{I} à valeurs dans J,\text{J,} alors la fonction u\sqrt { u } est définie et dérivable sur J\text{J} et (u)=u2u.( \sqrt { u } ) ^ { \prime } = \dfrac { u ^ { \prime } } { 2 \sqrt { u } }.
En utilisant cette formule, calculer la dérivée de la fonction hh définie dans les méthodes de résolution.
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