Entrainement 1


Dérivée et sens de variation





50
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x1+4x2.f ( x ) = x - 1 + \dfrac { 4 } { x - 2 }.
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

52
[Calculer.]
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+8x13x24x+5f ( x ) = \dfrac { - x ^ { 2 } + 8 x - 13 } { x ^ { 2 } - 4 x + 5 } et on note ff ^ { \prime } la fonction dérivée de ff sur R.\R.

1. Démontrer que, pour tout xR,x \in \mathbb { R }, f(x)=4(x1)(x3)(x24x+5)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { - 4 ( x - 1 ) ( x - 3 ) } { \left( x ^ { 2 } - 4 x + 5 \right) ^ { 2 } }.

2. Étudier, en fonction de xR,x \in \mathbb { R }, le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de f.f .


Couleurs
Formes
Dessinez ici

42
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie par f(x)=x2+4x+5.f(x) = -x^2 + 4x + 5 .
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

36
[Chercher.]
Chaque courbe est la représentation graphique de la fonction dérivée ff ^ { \prime } d’une fonction ff définie et dérivable sur un ensemble D.\mathcal { D }. En s’aidant de ces représentations :

Dérivée et sens de variation


1. Dresser le tableau de variations de ff sur D.\mathcal { D }.

Courbe rouge :
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Courbe bleu :
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Courbe orange :
Couleurs
Formes
Dessinez ici


Courbe violette :
Couleurs
Formes
Dessinez ici


2. Dans chacun des repères, tracer une courbe susceptible de représenter f.f .

32
[Chercher.]
ff est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle I=[2;8].\mathrm { I } = [ 2 \: ; 8 ]. Le tableau ci-dessous donne le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) sur I.\text{I.}

Dérivée et sens de variation


Dresser le tableau de variations de ff sur I.\text{I.}

Couleurs
Formes
Dessinez ici

29
[Chercher.] ◉◉
La courbe ci-dessous représente une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [2;5].[-2 \: ; 5].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de ff sur [2;5].[-2 \: ; 5].

2. Donner, suivant les valeurs de x,x , le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) sur l’intervalle [2;5].[-2 \: ; 5].

45
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x3x2x+1.f(x) = x^3 - x^2 - x +1.
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

31
[Chercher.]◉◉
La courbe ci-dessous représente une fonction hh définie et dérivable sur l’intervalle [2;6].[-2 \: ; 6].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de hh sur [2;6].[-2 \: ; 6].

2. Donner, suivant les valeurs de x,x , le signe de h(x)h ^ { \prime } ( x ) sur l’intervalle [2;6].[-2 \: ; 6].

51
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x2+3x+1.f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } + 3 } { x + 1 }.

1. Préciser l’ensemble de définition de f.f .

2. Calculer f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis vérifier que f(x)=(x1)(x+3)(x+1)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }.


3. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de ff sur son ensemble de définition.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

35
[Représenter.]
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+4x5.f(x) = x^2 + 4x - 5 . ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de ff sur R.\R .

1. Déterminer f(x) f ^ { \prime } ( x ) puis étudier son signe en fonction de xR.x \in \mathbb { R }.


2. Établir le tableau de variations de f.f .

Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. Vérifier la cohérence du résultat précédent avec la courbe affichée sur l’écran de la calculatrice.

53
[Raisonner.]
On considère la proposition suivante :
« Si ff est une fonction définie et dérivable sur R\R et pour tout xR,x \in \mathbb { R } , f(x)0,f ^ { \prime } ( x ) \leqslant 0 , alors f(4)f(3)f ( - 4 ) \geqslant f ( 3 ) ».

1. Cette proposition est-elle vraie ? Justifier.

2. La proposition reste-t-elle vraie si l’on remplace R\R par R?\R^* \:?

44
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x3+3x.f(x) = -x^3 + 3x.
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

38
[Chercher.]
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction ff dans un repère orthonormé.

Dérivée et sens de variation


L’une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction dérivée ff ^ { \prime } de f.f . Laquelle ?


Dérivée et sens de variation

55
[Calculer.]
ff est une fonction définie et dérivable sur R.\R. ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de f.f .
On sait de plus que ff est croissante sur ];2]] - \infty \: ; 2 ] et décroissante sur [2;+[.[ 2\: ; + \infty [.

1. Quel est le signe de ff ^ { \prime } sur ];2]?] - \infty \: ; 2 ] \: ?

2. Quel est le signe de ff ^ { \prime } sur [2;+[?[ 2\: ; + \infty [ \: ?

37
[Chercher.] ◉◉◉
ff est une fonction définie sur ]0;+[.] 0 \: ; + \infty [. La représentation graphique de ff est donnée ci-dessous.

Dérivée et sens de variation


Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, laquelle est susceptible de représenter la fonction f,f ^ { \prime }, fonction dérivée de la fonction ff sur ]0;+[?] 0 \: ; + \infty [ \: ? Justifier.

Dérivée et sens de variation



Pour les exercices
42
à
50


On considère une fonction ff définie sur Df\mathcal{D}_f et on note ff ^ { \prime } sa fonction dérivée.
Dans chaque cas :
1. Déterminer Df.\mathcal{D}_f.
2. Justifier en une phrase que ff est effectivement dérivable sur Df\mathcal{D}_f et déterminer f(x)f ^ { \prime }(x) sur cet ensemble.
3. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime }(x) en fonction de xx et dresser alors le tableau de variations de ff sur Df.\mathcal{D}_f.

54
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
ff est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.\text{I.} Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
Affirmation 1 : Si f(x)>0f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 sur I\text{I} alors ff est strictement croissante sur I.\text{I.}

Affirmation 2 : Si ff est strictement croissante sur I\text{I} alors f(x)>0f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 sur I.\text{I.}

46
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x48x2+8.f(x) = x^4 - 8x^2 +8.
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

30
[Chercher.]
La courbe ci-dessous représente une fonction gg définie et dérivable sur l’intervalle [4;2].[-4 \: ; 2].

Dérivée et sens de variation


1. Par lecture graphique, déterminer le sens de variation de gg sur [4;2].[-4 \: ; 2].

2. Donner, suivant les valeurs de x,x , le signe de g(x)g ^ { \prime } ( x ) sur l’intervalle [4;2].[-4 \: ; 2].

34
[Chercher.]
hh est une fonction définie et dérivable sur I=[2;3].\text{I} = [-2 \: ; 3]. La courbe ci-dessous représente la fonction dérivée hh ^ { \prime } de hh sur I.\text{I.}

Dérivée et sens de variation

Dresser le tableau de variations de hh sur I.\text{I.}

Couleurs
Formes
Dessinez ici

43
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=2x2+6x8.f(x) = 2x^2 + 6x - 8 .
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

41
[Calculer.]
ff est la fonction définie par f(x)=x3+x2x.f(x) = -x^3 + x^2 - x . ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de f.f .

1. Préciser Df,\mathcal { D } _ { f }, ensemble de définition et de dérivabilité de f.f .

2. Calculer f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis vérifier que, pour tout xDf,x \in \mathcal { D } _ { f }, f(x)=2x2(x1)2.f ^ { \prime } ( x ) = - 2 x ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }.

3. Étudier le signe de f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis dresser le tableau de variations de ff sur Df.\mathcal { D } _ { f }.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

47
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie par f(x)=x+2x1.f ( x ) = \dfrac { x + 2 } { x - 1 }.
1.

2.

3.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

39
[Chercher.] ◉◉
On note respectivement C1,\mathcal{C}_1, C2\mathcal{C}_2 et C3\mathcal{C}_3 les courbes représentatives des fonctions f1,f_1, f2f_2 et f3f_3