Faire le lien entre les tangentes à une courbe et les variations d’une fonction.
On a représenté ci-dessous les courbes Cf et Cg qui représentent respectivement les fonctions f et g.
1
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cf qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?
2
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cf qui soit la représentation d’une fonction affine décroissante ?
3
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cg qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?
4
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cg qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?
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Bilan
Compléter les conjectures suivantes.
Puisque f est croissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe Cf .
Puisque g est décroissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe Cg .
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B
Dérivée et sens de variation
Objectif
Trouver un lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée.
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g est la fonction définie sur R par g(x)=x4−4x3. g′ est la fonction dérivée de g.
On donne ci-contre la courbe Cg représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
1
Déterminer graphiquement le sens de variation de la
fonction g puis dresser le tableau de variations de g sur R.
On calculera la valeur des éventuels extremums.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
2
Montrer que, pour tout x∈R,g′(x)=4x2(x−3).
3
Dresser le tableau de signes de g′.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
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4
a) Quel est le signe de g′(x) sur l’intervalle ]−∞;3]?
b) Quel est le sens de variation de g sur ]−∞;3]?
5
a) Quel est le signe de g′(x) sur l’intervalle [3;+∞[?
b) Quel est le sens de variation de g sur [3;+∞[?
6
a) La fonction g′ change-t-elle de signe entre –1 et 1?
b) La fonction g change-t-elle de variation entre –1 et 1?
7
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=81x4−43x2+x−21. a) Représenter à la calculatrice la fonction f.
b) Démontrer que, pour tout x∈R,f′(x)=21(x+2)(x−1)2.
c) Répondre aux questions
3 à 6
avec les fonctions f et f′ en choisissant les bons intervalles.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
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Bilan
Émettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le signe de la dérivée d’une fonction et le sens de variation de cette fonction ?
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C
Dérivée et extremums
Objectif
Trouver un lien entre les extremums d’une fonction et les valeurs de sa dérivée.
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On donne ci-dessous la courbe C représentative d’une fonction h définie et dérivable sur l’intervalle [−4;4] ainsi
que la courbe C′ représentative de la fonction h′, fonction dérivée de h.
1
Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction h′ s’annule-t-elle ?
2
Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction h′ s’annule-t-elle en changeant de signe ?
3
Pour quelle(s) valeur(s) de x la courbe C admet-elle une (des) tangente(s) parallèle(s) à l’axe des abscisses ?
4
Pour quelle valeur de x la fonction h change-t-elle de sens de variation ?
5
Pour quelle valeur de x la fonction h atteint-elle son minimum ?
6
On considère la fonction f de l’activité précédente définie sur R par f(x)=81x4−43x2+x−21 ainsi que sa fonction dérivée f′ définie sur R par f′(x)=21(x+2)(x−1)2. a) Représenter la courbe de ces deux fonctions à la calculatrice.
b)
Répondre aux questions
1 à 5
avec les fonctions fet f′.
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Bilan
Émettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le minimum d’une fonction et le signe de sa dérivée.
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