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Activités
P.132-133



Activités




A
Tangente et sens de variation



Objectif
Faire le lien entre les tangentes à une courbe et les variations d’une fonction.



On a représenté ci-dessous les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g qui représentent respectivement les fonctions ff et g.g .

Tangente et sens de variation
  
Tangente et sens de variation

1
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?



2
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f qui soit la représentation d’une fonction affine décroissante ?



3
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?



4
Peut-on tracer une droite tangente à la courbe Cg\mathcal{C}_g qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?

Voir les réponses


Bilan
Compléter les conjectures suivantes.
Puisque ff est croissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe Cf\mathcal{C}_f .
Puisque gg est décroissante sur son ensemble de définition, alors toutes les tangentes à la courbe Cg\mathcal{C}_g .

B
Dérivée et sens de variation



Objectif
Trouver un lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée.


Voir les réponses
gg est la fonction définie sur R\R par g(x)=x44x3.g(x) = x^4 - 4x^3 .
gg ^ { \prime } est la fonction dérivée de g.g .
On donne ci-contre la courbe Cg\mathcal{C}_g représentative de la fonction gg dans un repère orthogonal.

Dérivée et sens de variation

1
Déterminer graphiquement le sens de variation de la fonction gg puis dresser le tableau de variations de gg sur R.\R. On calculera la valeur des éventuels extremums.

Couleurs
Formes
Dessinez ici




2
Montrer que, pour tout xR,g(x)=4x2(x3).x \in \mathbb { R } ,\:g ^ { \prime } ( x ) = 4 x ^ { 2 } ( x - 3 ).


3
Dresser le tableau de signes de g.g ^ { \prime }.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


4
a) Quel est le signe de g(x)g ^ { \prime } ( x ) sur l’intervalle ];3]?] - \infty \: ; 3 ] \: ?


b) Quel est le sens de variation de gg sur ];3]?] - \infty \: ; 3 ] \: ?


5
a) Quel est le signe de g(x)g ^ { \prime } ( x ) sur l’intervalle [3;+[?[ 3 \: ; +\infty [ \: ?


b) Quel est le sens de variation de gg sur [3;+[?[ 3 \: ; +\infty [ \: ?


6
a) La fonction gg ^ { \prime } change-t-elle de signe entre 1–1 et 1?1\: ?


b) La fonction gg change-t-elle de variation entre 1–1 et 1?1\: ?


7
On considère la fonction ff définie sur R\R par f(x)=18x434x2+x12.f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 }.
a) Représenter à la calculatrice la fonction f.f .

b) Démontrer que, pour tout xR,f(x)=12(x+2)(x1)2.x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.


c) Répondre aux questions
3 à 6
avec les fonctions ff et ff ^ { \prime } en choisissant les bons intervalles.


Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses


Bilan
Émettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le signe de la dérivée d’une fonction et le sens de variation de cette fonction ?

C
Dérivée et extremums



Objectif
Trouver un lien entre les extremums d’une fonction et les valeurs de sa dérivée.


Voir les réponses
On donne ci-dessous la courbe C\mathcal{C} représentative d’une fonction hh définie et dérivable sur l’intervalle [4;4][-4 \: ; 4] ainsi que la courbe C\mathcal{C ^ { \prime }} représentative de la fonction h,h ^ { \prime }, fonction dérivée de h.h .

Dérivée et extremums

1
Pour quelle(s) valeur(s) de xx la fonction hh ^ { \prime } s’annule-t-elle ?


2
Pour quelle(s) valeur(s) de xx la fonction hh ^ { \prime } s’annule-t-elle en changeant de signe ?


3
Pour quelle(s) valeur(s) de xx la courbe C\mathcal{C} admet-elle une (des) tangente(s) parallèle(s) à l’axe des abscisses ?


4
Pour quelle valeur de xx la fonction hh change-t-elle de sens de variation ?


5
Pour quelle valeur de xx la fonction hh atteint-elle son minimum ?


6
On considère la fonction ff de l’activité précédente définie sur R\R par f(x)=18x434x2+x12f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 } ainsi que sa fonction dérivée ff ^ { \prime } définie sur R\R par f(x)=12(x+2)(x1)2.f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.
a) Représenter la courbe de ces deux fonctions à la calculatrice.

b) Répondre aux questions
1 à 5
avec les fonctions ff et f.f ^ { \prime }.


Voir les réponses


Bilan
Émettre une conjecture sur le lien qui semble exister entre le minimum d’une fonction et le signe de sa dérivée.

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