Activités

On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ qui représentent respectivement les fonctions $f$ et $g .$

  

Peut-on tracer une droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?



Peut-on tracer une droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ qui soit la représentation d’une fonction affine décroissante ?



Peut-on tracer une droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?



Peut-on tracer une droite tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ qui soit la représentation d’une fonction affine croissante ?

$g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^4 - 4x^3 .$
$g ^ { \prime }$ est la fonction dérivée de $g .$
On donne ci-contre la courbe $\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.

Déterminer graphiquement le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R.$ On calculera la valeur des éventuels extremums.





Montrer que, pour tout $x \in \mathbb { R } ,\:g ^ { \prime } ( x ) = 4 x ^ { 2 } ( x - 3 ).$


Dresser le tableau de signes de $g ^ { \prime }.$

a) Quel est le signe de $g ^ { \prime } ( x )$ sur l’intervalle $] - \infty \: ; 3 ] \: ?$


b) Quel est le sens de variation de $g$ sur $] - \infty \: ; 3 ] \: ?$


a) Quel est le signe de $g ^ { \prime } ( x )$ sur l’intervalle $[ 3 \: ; +\infty [ \: ?$


b) Quel est le sens de variation de $g$ sur $[ 3 \: ; +\infty [ \: ?$


a) La fonction $g ^ { \prime }$ change-t-elle de signe entre $–1$ et $1\: ?$


b) La fonction $g$ change-t-elle de variation entre $–1$ et $1\: ?$


On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 }.$
a) Représenter à la calculatrice la fonction $f .$

b) Démontrer que, pour tout $x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.$


c) Répondre aux questions avec les fonctions $f$ et $f ^ { \prime }$ en choisissant les bons intervalles.

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d’une fonction $h$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 \: ; 4]$ ainsi que la courbe $\mathcal{C ^ { \prime }}$ représentative de la fonction $h ^ { \prime },$ fonction dérivée de $h .$

Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la fonction $h ^ { \prime }$ s’annule-t-elle ?


Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la fonction $h ^ { \prime }$ s’annule-t-elle en changeant de signe ?


Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une (des) tangente(s) parallèle(s) à l’axe des abscisses ?


Pour quelle valeur de $x$ la fonction $h$ change-t-elle de sens de variation ?


Pour quelle valeur de $x$ la fonction $h$ atteint-elle son minimum ?


On considère la fonction $f$ de l’activité précédente définie sur $\R$ par $f ( x ) = \dfrac { 1 } { 8 } x ^ { 4 } - \dfrac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } + x - \dfrac { 1 } { 2 }$ ainsi que sa fonction dérivée $f ^ { \prime }$ définie sur $\R$ par $f ^ { \prime } ( x ) = \dfrac { 1 } { 2 } ( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 2 }.$
a) Représenter la courbe de ces deux fonctions à la calculatrice.

b) Répondre aux questions avec les fonctions $f$et $f ^ { \prime }.$