Soient f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I} et f ^ { \prime } la fonction dérivée de f .

• Si f ^ { \prime } est strictement positive sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur \text{I.}
• Si f ^ { \prime } est strictement négative sur \text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur \text{I.}
• Si f ^ { \prime }est nulle sur \text{I,} alors f est constante sur \text{I.}

Avec ce théorème, on peut démontrer que les fonctions f et -f sont de variations contraires sur un intervalle \text{I} où elles sont dérivables.

Pour les deux premiers points, f ^ { \prime } ne doit pas s'annuler sur un intervalle \text {J} \subset \mathrm {I} pour que le théorème soit valide.

Démontrons le premier point. On admet le résultat suivant : « pour tous réels a et b de \text{I,} il existe un réel c \in ] a\: ; b [ tel que f ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ».

Soient a et b deux réels de \text{I} tels que a \lt b ( donc b - a \gt 0 ).

Il existe c \in \text{I} tel que f ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }.

Puisque f ^ { \prime } est positive alors f ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } \gt 0, donc f ( b ) - f ( a ) \gt 0 et ainsi f ( a ) \lt f ( b ) : la fonction f est bien strictement croissante.
On raisonne de façon analogue pour les deux autres points.

Le résultat admis est le théorème des accroissements finis, non étudié en première.

f est la fonction définie sur \R par f(x) = x^3.
f est dérivable sur \R et f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 }.
f ^ { \prime } s'annule uniquement en 0 et est strictement positive pour tout x \neq 0, donc f est strictement croissante sur \R.

f est une fonction polynôme du troisième degré, donc f est définie et dérivable sur \R.
f ^ { \prime } ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 2.
Pour tout x \in \mathbb { R } , - 3 x ^ { 2 } \leqslant 0 et - 2 \lt 0, donc f ^ { \prime } ( x ) \lt 0 et ainsi f est strictement décroissante sur \R.



exercices

14

;

15

et

19

p. 143

Pour étudier les variations d'une fonction sur son ensemble de définition :

1. on justifie qu'elle est dérivable ;

2. on détermine sa dérivée ;

3. on étudie le signe de la dérivée ;

4. on en déduit le sens de variation de la fonction.

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I} et f ^ { \prime } la fonction dérivée de f .

• Si f est croissante sur \text{I,} alors f ^ { \prime } est positive sur \text{I.}
• Si f est décroissante sur \text{I,} alors f ^ { \prime } est négative sur \text{I.}
• Si f est constante sur \text{I,} alors f ^ { \prime } est nulle sur \text{I.}

Ce théorème et le précédent peuvent être regroupés en un seul théorème écrit sous forme d'une équivalence.

g est croissante sur [-3 \: ; -2] et sur [3 \: ; 4] donc g ^ { \prime } est positive sur [-3 \: ; -2] et sur [3 \: ; 4].
g est décroissante sur [-2 \: ; 3] donc g ^ { \prime } est négative sur [-2 \: ; 3].

exercices

18

p .143 ;

29

et

30

p. 144

Pour déterminer le signe de la dérivée à partir du sens de variation :

1. on détermine les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et les intervalles sur lesquels elle est décroissante ;

2. Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).