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1. Dérivée et sens de variation
P.134-135
COURS 1


1
Dérivée et sens de variation




A
Du signe de la dérivée au sens de variation d’une fonction


Théorème

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I} et ff ^ { \prime } la fonction dérivée de f.f .
  • Si ff ^ { \prime } est strictement positive sur I,\text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s’annule, alors f f est strictement croissante sur I.\text{I.}
  • Si ff ^ { \prime } est strictement négative sur I,\text{I,} sauf pour un nombre fini de réels où elle s’annule, alors f f est strictement décroissante sur I.\text{I.}
  • Si ff ^ { \prime }est nulle sur I,\text{I,} alors ff est constante sur I.\text{I.}

LOGIQUE

Avec ce théorème, on peut démontrer que les fonctions ff et f-f sont de variations contraires sur un intervalle I\text{I} où elles sont dérivables.

Remarque

Pour les deux premiers points, ff ^ { \prime } ne doit pas s’annuler sur un intervalle JI\text {J} \subset \mathrm {I} pour que le théorème soit valide.

DÉMONSTRATION

Démontrons le premier point. On admet le résultat suivant : « pour tous réels aa et bb de I,\text{I,} il existe un réel c]a;b[c \in ] a\: ; b [ tel que f(c)=f(b)f(a)baf ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } ».

Soient aa et bb deux réels de I\text{I} tels que a<ba \lt b ( donc ba>0b - a \gt 0 ).

Il existe cIc \in \text{I} tel que f(c)=f(b)f(a)ba.f ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }.

Puisque ff ^ { \prime } est positive alors f(c)=f(b)f(a)ba>0,f ^ { \prime } ( c ) = \dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a } \gt 0, donc f(b)f(a)>0f ( b ) - f ( a ) \gt 0 et ainsi f(a)<f(b)f ( a ) \lt f ( b ) : la fonction ff est bien strictement croissante.
On raisonne de façon analogue pour les deux autres points.

LOGIQUE

Le résultat admis est le théorème des accroissements finis, non étudié en première.

Exemple

ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x3.f(x) = x^3.
ff est dérivable sur R\R et f(x)=3x2.f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 }.
ff ^ { \prime } s’annule uniquement en 00 et est strictement positive pour tout x0,x \neq 0, donc ff est strictement croissante sur R.\R.

Application et méthode

Énoncé

Étudier le sens de variation de la fonction f:xx32x+5,f : x \mapsto - x ^ { 3 } - 2 x + 5, puis dresser son tableau de variations.

Méthode

Pour étudier les variations d’une fonction sur son ensemble de définition :

1. on justifie qu’elle est dérivable ;

2. on détermine sa dérivée ;

3. on étudie le signe de la dérivée ;

4. on en déduit le sens de variation de la fonction.

SOLUTION

ff est une fonction polynôme du troisième degré, donc ff est définie et dérivable sur R.\R.
f(x)=3x22.f ^ { \prime } ( x ) = - 3 x ^ { 2 } - 2.
Pour tout xR,3x20x \in \mathbb { R } , - 3 x ^ { 2 } \leqslant 0 et 2<0,- 2 \lt 0, donc f(x)<0f ^ { \prime } ( x ) \lt 0 et ainsi ff est strictement décroissante sur R.\R.

Du signe de la dérivée au sens de variation d’une fonction


Pour s'entraîner : exercices 14 ; 15 et 19 p. 143

B
Du sens de variation au signe de la dérivée


Théorème

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I} et ff ^ { \prime } la fonction dérivée de f.f .
  • Si ff est croissante sur I,\text{I,} alors ff ^ { \prime } est positive sur I.\text{I.}
  • Si ff est décroissante sur I,\text{I,} alors ff ^ { \prime } est négative sur I.\text{I.}
  • Si ff est constante sur I,\text{I,} alors ff ^ { \prime } est nulle sur I.\text{I.}

LOGIQUE

Ce théorème et le précédent peuvent être regroupés en un seul théorème écrit sous forme d’une équivalence.

DÉMONSTRATION

Soit h>0h > 0 tel que x+hI.x + h \in \mathrm { I }.
Pour tout xI,f(x)=limh0f(x+h)f(x)h.x \in \mathrm { I } , f ^ { \prime } ( x ) =\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }.
On remarque que, pour tout xIx \in \mathrm { I}, x+h>x.x + h \gt x.

Si ff est croissante sur I\text{I} alors, pour tout xI,f(x+h)f(x)x \in \mathrm {I} , f ( x + h ) \geqslant f ( x ) donc f(x+h)f(x)0f ( x + h ) - f ( x ) \geqslant 0 donc f(x)0.f ^ { \prime } ( x ) \geqslant 0.

Si ff est décroissante sur I\text{I} alors, pour tout xI,f(x+h)f(x)x \in \mathrm {I} , f ( x + h ) \leqslant f ( x ) donc f(x+h)f(x)0f ( x + h ) - f ( x ) \leqslant 0 donc f(x)0.f ^ { \prime } ( x ) \leqslant 0.

Si ff est constante sur I\text{I} alors, pour tout xI,f(x+h)=(x)x \in \mathrm {I} , f ( x + h ) =( x ) donc f(x+h)f(x)=0f ( x + h ) - f ( x ) = 0 donc f(x)=0.f ^ { \prime } ( x ) = 0.

Exemple

CfC _ { f } et CgC _ { g } représentent respectivement une fonction ff et g,g , chacune définie et dérivable sur l’intervalle I=[1;5].\text{I} = [ 1 \: ; 5 ].
Toutes les tangentes à CfC _ { f } sur I\text{I} ont un coefficient directeur positif car ff est croissante : on en déduit que ff ^ { \prime } est positive sur I.\text{I.}
Celles à CgC _ { g } ont un coefficient directeur négatif car gg est décroissante : on en déduit que gg ^ { \prime } est négative sur I.\text{I.}


Du sens de variation au signe de la dérivée

Application et méthode

Énoncé

Cg\mathcal{C}_g est la courbe représentative d’une fonction gg définie et dérivable sur [3;4].[-3 \: ; 4]. Donner graphiquement, suivant les valeurs de xx , le signe de g(x).g ^ { \prime } ( x ).

Du sens de variation au signe de la dérivée

Méthode

Pour déterminer le signe de la dérivée à partir du sens de variation :

1. on détermine les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et les intervalles sur lesquels elle est décroissante ;

2. Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).

SOLUTION

gg est croissante sur [3;2][-3 \: ; -2] et sur [3;4][3 \: ; 4] donc gg ^ { \prime } est positive sur [3;2][-3 \: ; -2] et sur [3;4].[3 \: ; 4].
gg est décroissante sur [2;3][-2 \: ; 3] donc gg ^ { \prime } est négative sur [2;3].[-2 \: ; 3].

Pour s'entraîner : exercices 18 p .143 ; 29 et 30 p. 144
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