Dérivée et sens de variation

Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f.$

• Si $f^{\prime }$ est strictement positive sur $\text{I,}$ sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $\text{I.}$
• Si $f^{\prime }$ est strictement négative sur $\text{I,}$ sauf pour un nombre fini de réels où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $\text{I.}$
• Si $f^{\prime }$est nulle sur $\text{I,}$ alors $f$ est constante sur $\text{I.}$

Avec ce théorème, on peut démontrer que les fonctions $f$ et $-f$ sont de variations contraires sur un intervalle $\text{I}$ où elles sont dérivables.

Pour les deux premiers points, $f^{\prime }$ ne doit pas s'annuler sur un intervalle $\text{J}\subset \mathrm{I}$ pour que le théorème soit valide.

Démontrons le premier point. On admet le résultat suivant : « pour tous réels $a$ et $b$ de $\text{I,}$ il existe un réel $c\in ]a;b[$ tel que $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ».

Soient $a$ et $b$ deux réels de $\text{I}$ tels que $a<b$ ( donc $b-a>0$ ).

Il existe $c\in \text{I}$ tel que $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Puisque $f^{\prime }$ est positive alors $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>0,$ donc $f(b)-f(a)>0$ et ainsi $f(a)<f(b)$ : la fonction $f$ est bien strictement croissante.
On raisonne de façon analogue pour les deux autres points.

Le résultat admis est le théorème des accroissements finis, non étudié en première.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3.$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }(x)=3x^2.$
$f^{\prime }$ s'annule uniquement en $0$ et est strictement positive pour tout $x\ne 0,$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$

$f$ est une fonction polynôme du troisième degré, donc $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}.$
$f^{\prime }(x)=-3x^2-2.$
Pour tout $x\in \mathbb{R},-3x^2⩽0$ et $-2<0,$ donc $f^{\prime }(x)<0$ et ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}.$



exercices

14

;

15

et

19

p. 143

Pour étudier les variations d'une fonction sur son ensemble de définition :

1. on justifie qu'elle est dérivable ;

2. on détermine sa dérivée ;

3. on étudie le signe de la dérivée ;

4. on en déduit le sens de variation de la fonction.

Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f.$

• Si $f$ est croissante sur $\text{I,}$ alors $f^{\prime }$ est positive sur $\text{I.}$
• Si $f$ est décroissante sur $\text{I,}$ alors $f^{\prime }$ est négative sur $\text{I.}$
• Si $f$ est constante sur $\text{I,}$ alors $f^{\prime }$ est nulle sur $\text{I.}$

Ce théorème et le précédent peuvent être regroupés en un seul théorème écrit sous forme d'une équivalence.

$g$ est croissante sur $[-3;-2]$ et sur $[3;4]$ donc $g^{\prime }$ est positive sur $[-3;-2]$ et sur $[3;4].$
$g$ est décroissante sur $[-2;3]$ donc $g^{\prime }$ est négative sur $[-2;3].$

exercices

18

p .143 ;

29

et

30

p. 144

Pour déterminer le signe de la dérivée à partir du sens de variation :

1. on détermine les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et les intervalles sur lesquels elle est décroissante ;

2. Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).