2. Extremums d’une fonction
P.136-137
COURS 2
2Extremums d’une fonction
2
AExtremum local
A
Définitions
Soient un intervalle ouvert et un réel de On considère une fonction définie sur Dire que est un maximum local (respectivement minimum local) de au voisinage de signifie qu’il existe deux réels et dans tels que et, pour tout réel de , (respectivement ).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
Remarque
On dit que est un maximum global sur lorsque pour tout
On définit de façon analogue un minimum global.
Exemple
Soit une fonction définie sur dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
est un minimum local de et est un maximum local de
est un autre minimum local de il est aussi le minimum global de la fonction
Il ne semble pas y avoir de maximum global.
BLien avec la dérivation
B
Propriétés (admises)
Soient une fonction dérivable sur un intervalle ouvert et un réel de
1. Si est un extremum local de alors
2. Si s’annule en en changeant de signe, alors est un extremum local de
Remarque
Si s’annule en sans changer de signe, alors n’est pas un extremum.
DÉMONSTRATION
Idées générales de la démonstration :
DÉMONSTRATION
- Si est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point d’où le changement de signe de la dérivée.
- De plus, la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse semble parallèle à l’axe des abscisses, d’où (voir l’illustration ci-dessus).
Exemples
1. On reprend l’exemple de la partie
On peut affirmer que
2. Soit une fonction définie sur un intervalle et
est un minimum local de sur
est un maximum local de sur
Application et méthode
Énoncé
On a représenté ci-dessous la fonction définie sur par
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de pour lesquelles la fonction semble admettre des extremums locaux.
2. a. Vérifier que la dérivée de s’écrit sous la forme
b. Étudier les variations de dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de pour lesquelles la fonction semble admettre des extremums locaux.
2. a. Vérifier que la dérivée de s’écrit sous la forme
b. Étudier les variations de dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..
Méthode
Pour déterminer les extremums d’une fonction :Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d’un extremum se lit sur l’axe des ordonnées.
Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de pour lesquelles la dérivée s’annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l’étape précédente.
SOLUTION
1. semble admettre un minimum local pour
semble admettre un maximum local pour
2. a. est dérivable sur en tant que fonction polynôme et, pour tout
On développe on obtient l’expression de
b. On a ou
En étudiant le signe de et celui de on obtient le signe du produit.
s’annule en changeant de signe pour et pour
est un minimum local de atteint pour
est un maximum local de atteint pour