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Cours 2

Extremums d'une fonction

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A
Extremum local

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Définition
Soient \text{I} un intervalle ouvert et c un réel de \text{I.} On considère une fonction f définie sur \text{I.} Dire que f(c) est un maximum local (respectivement minimum local) de f au voisinage de c signifie qu'il existe deux réels a et b dans \text{I} tels que c \in ] a \:; b [ et, pour tout réel x de ] a\: ; b [, f ( x ) \leqslant f ( c ) (respectivement f ( x ) \geqslant f ( c )).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
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Remarque

On dit que f(c) est un maximum global sur \text{I} lorsque pour tout x \in \mathrm {I}, f ( x ) \leqslant f ( c ). On définit de façon analogue un minimum global.
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Exemple
Soit une fonction h définie sur \R dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
h(2) est un minimum local de h et h(1) = 2 est un maximum local de h.
h(-1) est un autre minimum local de h, il est aussi le minimum global de la fonction h.
Il ne semble pas y avoir de maximum global.

Extremums d'une fonction
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B
Lien avec la dérivation

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Propriété
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \text{I} et c un réel de \text{I.}

1. Si f(c) est un extremum local de f, alors f ^ { \prime } ( c ) = 0.

Lien avec la dérivation
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Lien avec la dérivation
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2. Si f ^ { \prime } s'annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local de f.
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Remarque

Si f ^ { \prime } s'annule en c sans changer de signe, alors f(c) n'est pas un extremum.
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Démonstration
Idées générales de la démonstration :
  • Si f(c) est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point c, d'où le changement de signe de la dérivée.
  • De plus, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse c semble parallèle à l'axe des abscisses, d'où f ^ { \prime } ( c ) = 0 (voir l'illustration ci-dessus).
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Exemple
1. On reprend l'exemple de la partie \text{A}.
On peut affirmer que h ^ { \prime } ( - 1 ) = h ^ { \prime } ( 1 ) = h ^ { \prime } ( 2 ) = 0.
2. Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a\: ; b ] et c \in [ a\: ; b ].

f(c) est un minimum local de f sur [ a\: ; b ]\::

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f(c) est un maximum local de f sur [ a\: ; b ]\::

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Application et méthode
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Énoncé
On a représenté ci-dessous la fonction f définie sur [ - 2\: ; + \infty [ par f ( x ) = - 0{,}5 x ^ { 3 } + 0{,}75 x ^ { 2 } + 3 x - 1.

Extremums d'une fonction
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1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux.

2. a. Vérifier que la dérivée de f s'écrit sous la forme f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ).
b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..
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Solution
1. f semble admettre un minimum local pour x = -1 .
f semble admettre un maximum local pour x = 2 .

2. a. f est dérivable sur [-2\: ; 4] en tant que fonction polynôme et, pour tout x \in [ - 2 \:; 4 ] , f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 x ^ { 2 } + 1{,}5 x + 3.
On développe - 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ) \: : on obtient l'expression de f ^ { \prime } ( x ).
b. On a f ^ { \prime } ( x ) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 ou x = 2 .
En étudiant le signe de x + 1 et celui de x - 2 , on obtient le signe du produit.

Placeholder pour Extremums d'une fonctionExtremums d'une fonction
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f ^ { \prime } s'annule en changeant de signe pour x = -1 et pour x = 2 .
-2{,}75 est un minimum local de f atteint pour x = -1 .
4 est un maximum local de f atteint pour x = 2 .

Pour s'entraîner
exercices et p. 143 et p. 148
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Méthode

Pour déterminer les extremums d'une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d'un extremum se lit sur l'axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s'annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l'étape précédente.

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