Soient I un intervalle ouvert et c un réel de I. On considère une fonction f définie sur I. Dire que f(c) est un maximum local (respectivement minimum local) de f au voisinage de c signifie qu’il existe deux réels a et b dans I tels
que c∈]a;b[ et, pour tout réel x de ]a;b[, f(x)⩽f(c) (respectivement
f(x)⩾f(c)).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
Remarque
On dit que f(c) est un maximum global sur I lorsque pour tout x∈I,f(x)⩽f(c).
On définit de façon analogue un minimum global.
Exemple
Soit une fonction h définie sur R dont on donne la courbe représentative ci-dessous. h(2) est un minimum local de h et h(1)=2 est
un maximum local de h. h(−1) est un autre minimum local de h, il est aussi le minimum global de la fonction h.
Il ne semble pas y avoir de maximum global.
B
Lien avec la dérivation
Propriétés (admises)
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I.
1. Si f(c) est un extremum local de f, alors f′(c)=0.
2. Si f′ s’annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local de f.
Remarque
Si f′ s’annule en c sans changer de signe, alors f(c) n’est pas un extremum.
DÉMONSTRATION
Idées générales de la démonstration :
Si f(c) est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau
du point c, d’où le changement de signe de la dérivée.
De plus, la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse c semble
parallèle à l’axe des abscisses, d’où f′(c)=0 (voir l’illustration ci-dessus).
Exemples
1. On reprend l’exemple de la partie A.
On peut affirmer que h′(−1)=h′(1)=h′(2)=0. 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] et c∈[a;b].
f(c) est un minimum local de f sur [a;b]:
f(c) est un maximum local de f sur [a;b]:
Application et méthode
Énoncé
On a représenté ci-dessous la fonction f définie sur [−2;+∞[ par
f(x)=−0,5x3+0,75x2+3x−1.
1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f semble admettre des extremums locaux.
2. a. Vérifier que la dérivée de f s’écrit sous la forme f′(x)=−1,5(x+1)(x−2). b. Étudier les variations de f, dresser son tableau de variations puis retrouver les
résultats de la question 1..
Méthode
Pour déterminer les extremums d’une fonction :
Graphiquement 1. on regarde où se trouvent les changements de
variations ;
2. la valeur d’un extremum se lit sur l’axe des
ordonnées.
Algébriquement 1. on vérifie que la fonction est dérivable et on
calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s’annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images
des valeurs obtenues à l’étape précédente.
SOLUTION
1.f semble admettre un minimum local pour x=−1. f semble admettre un maximum local pour x=2.
2. a.f est dérivable sur [−2;4] en tant que fonction polynôme
et, pour tout x∈[−2;4],f′(x)=−1,5x2+1,5x+3.
On développe −1,5(x+1)(x−2): on obtient l’expression de f′(x). b. On a f′(x)=0⇔x=−1 ou x=2.
En étudiant le signe de x+1 et celui de x−2, on obtient le signe
du produit.
f′ s’annule en changeant de signe pour x=−1 et pour x=2. −2,75 est un minimum local de f atteint pour x=−1. 4 est un maximum local de f atteint pour x=2.
Pour s'entraîner : exercices 17 et 20 p. 143 et 57 p. 148
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