Extremums d'une fonction

Soient $\text{I}$ un intervalle ouvert et $c$ un réel de $\text{I.}$ On considère une fonction $f$ définie sur $\text{I.}$ Dire que $f(c)$ est un maximum local (respectivement minimum local) de $f$ au voisinage de $c$ signifie qu'il existe deux réels $a$ et $b$ dans $\text{I}$ tels que $c\in ]a;b[$ et, pour tout réel $x$ de $]a;b[$, $f(x)⩽f(c)$ (respectivement $f(x)⩾f(c)$).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.

On dit que $f(c)$ est un maximum global sur $\text{I}$ lorsque pour tout $x\in \mathrm{I},$ $f(x)⩽f(c).$ On définit de façon analogue un minimum global.

Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $\text{I}$ et $c$ un réel de $\text{I.}$

1. Si $f(c)$ est un extremum local de $f,$ alors $f^{\prime }(c)=0.$



2. Si $f^{\prime }$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f(c)$ est un extremum local de $f.$

Si $f^{\prime }$ s'annule en $c$ sans changer de signe, alors $f(c)$ n'est pas un extremum.

Idées générales de la démonstration :

• Si $f(c)$ est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point $c,$ d'où le changement de signe de la dérivée.
• De plus, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $c$ semble parallèle à l'axe des abscisses, d'où $f^{\prime }(c)=0$ (voir l'illustration ci-dessus).

1. $f$ semble admettre un minimum local pour $x=-1.$
$f$ semble admettre un maximum local pour $x=2.$

2. a. $f$ est dérivable sur $[-2;4]$ en tant que fonction polynôme et, pour tout $x\in [-2;4],$ $f^{\prime }(x)=-1,5x^2+1,5x+3.$
On développe $-1,5(x+1)(x-2):$ on obtient l'expression de $f^{\prime }(x).$
b. On a $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ ou $x=2.$
En étudiant le signe de $x+1$ et celui de $x-2,$ on obtient le signe du produit.


$f^{\prime }$ s'annule en changeant de signe pour $x=-1$ et pour $x=2.$
$-2,75$ est un minimum local de $f$ atteint pour $x=-1.$
$4$ est un maximum local de $f$ atteint pour $x=2.$

exercices

17

et

20

p. 143 et

57

p. 148

Pour déterminer les extremums d'une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d'un extremum se lit sur l'axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles la dérivée s'annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l'étape précédente.