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2. Extremums d’une fonction
P.136-137

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COURS 2


2
Extremums d’une fonction




A
Extremum local


Définitions

Soient un intervalle ouvert et un réel de On considère une fonction définie sur Dire que est un maximum local (respectivement minimum local) de au voisinage de signifie qu’il existe deux réels et dans tels que et, pour tout réel de , (respectivement ).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.

Remarque

On dit que est un maximum global sur lorsque pour tout On définit de façon analogue un minimum global.

Exemple

Soit une fonction définie sur dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
est un minimum local de et est un maximum local de
est un autre minimum local de il est aussi le minimum global de la fonction
Il ne semble pas y avoir de maximum global.

Extremums d’une fonction

B
Lien avec la dérivation


Propriétés (admises)

Soient une fonction dérivable sur un intervalle ouvert et un réel de

1. Si est un extremum local de alors

Lien avec la dérivation
  
Lien avec la dérivation

2. Si s’annule en en changeant de signe, alors est un extremum local de

Remarque

Si s’annule en sans changer de signe, alors n’est pas un extremum.

DÉMONSTRATION

Idées générales de la démonstration :
  • Si est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point d’où le changement de signe de la dérivée.
  • De plus, la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse semble parallèle à l’axe des abscisses, d’où (voir l’illustration ci-dessus).

Exemples

1. On reprend l’exemple de la partie
On peut affirmer que
2. Soit une fonction définie sur un intervalle et

est un minimum local de sur

Lien avec la dérivation


est un maximum local de sur

Lien avec la dérivation

Application et méthode

Énoncé

On a représenté ci-dessous la fonction définie sur par

Extremums d’une fonction


1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de pour lesquelles la fonction semble admettre des extremums locaux.

2. a. Vérifier que la dérivée de s’écrit sous la forme
b. Étudier les variations de dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..

Méthode

Pour déterminer les extremums d’une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d’un extremum se lit sur l’axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de pour lesquelles la dérivée s’annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l’étape précédente.

SOLUTION

1. semble admettre un minimum local pour
semble admettre un maximum local pour

2. a. est dérivable sur en tant que fonction polynôme et, pour tout
On développe on obtient l’expression de
b. On a ou
En étudiant le signe de et celui de on obtient le signe du produit.

Extremums d’une fonction

s’annule en changeant de signe pour et pour
est un minimum local de atteint pour
est un maximum local de atteint pour

Pour s'entraîner : exercices 17 et 20 p. 143 et 57 p. 148
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