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COURS 2


2
Extremums d’une fonction




B
Lien avec la dérivation


DÉMONSTRATION

Idées générales de la démonstration :
  • Si f(c)f(c) est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point c,c, d’où le changement de signe de la dérivée.
  • De plus, la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse cc semble parallèle à l’axe des abscisses, d’où f(c)=0f ^ { \prime } ( c ) = 0 (voir l’illustration ci-dessus).

Remarque

Si ff ^ { \prime } s’annule en cc sans changer de signe, alors f(c)f(c) n’est pas un extremum.

Exemples

1. On reprend l’exemple de la partie A.\text{A}.
On peut affirmer que h(1)=h(1)=h(2)=0.h ^ { \prime } ( - 1 ) = h ^ { \prime } ( 1 ) = h ^ { \prime } ( 2 ) = 0.
2. Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a;b][ a\: ; b ] et c[a;b].c \in [ a\: ; b ].

f(c)f(c) est un minimum local de ff sur [a;b]:[ a\: ; b ]\::

Lien avec la dérivation


f(c)f(c) est un maximum local de ff sur [a;b]:[ a\: ; b ]\::

Lien avec la dérivation

Propriétés (admises)

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I\text{I} et cc un réel de I.\text{I.}

1. Si f(c)f(c) est un extremum local de f,f, alors f(c)=0.f ^ { \prime } ( c ) = 0.

Lien avec la dérivation
  
Lien avec la dérivation

2. Si ff ^ { \prime } s’annule en cc en changeant de signe, alors f(c)f(c) est un extremum local de f.f.

Application et méthode


SOLUTION

1. ff semble admettre un minimum local pour x=1.x = -1 .
ff semble admettre un maximum local pour x=2.x = 2 .

2. a. ff est dérivable sur [2;4][-2\: ; 4] en tant que fonction polynôme et, pour tout x[2;4],x \in [ - 2 \:; 4 ] , f(x)=1,5x2+1,5x+3.f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 x ^ { 2 } + 1{,}5 x + 3.
On développe 1,5(x+1)(x2):- 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ) \: : on obtient l’expression de f(x).f ^ { \prime } ( x ).
b. On a f(x)=0x=1f ^ { \prime } ( x ) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 ou x=2.x = 2 .
En étudiant le signe de x+1x + 1 et celui de x2,x - 2 , on obtient le signe du produit.

Extremums d’une fonction

ff ^ { \prime } s’annule en changeant de signe pour x=1x = -1 et pour x=2.x = 2 .
2,75-2{,}75 est un minimum local de ff atteint pour x=1.x = -1 .
44 est un maximum local de ff atteint pour x=2.x = 2 .

Pour s'entraîner : exercices 17 et 20 p. 143 et 57 p. 148

Méthode

Pour déterminer les extremums d’une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d’un extremum se lit sur l’axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de xx pour lesquelles la dérivée s’annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l’étape précédente.

Énoncé

On a représenté ci-dessous la fonction ff définie sur [2;+[[ - 2\: ; + \infty [ par f(x)=0,5x3+0,75x2+3x1.f ( x ) = - 0{,}5 x ^ { 3 } + 0{,}75 x ^ { 2 } + 3 x - 1.

Extremums d’une fonction


1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de xx pour lesquelles la fonction ff semble admettre des extremums locaux.

2. a. Vérifier que la dérivée de ff s’écrit sous la forme f(x)=1,5(x+1)(x2).f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ).
b. Étudier les variations de f,f, dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..

A
Extremum local


Exemple

Soit une fonction hh définie sur R\R dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
h(2)h(2) est un minimum local de hh et h(1)=2h(1) = 2 est un maximum local de h.h.
h(1)h(-1) est un autre minimum local de h,h, il est aussi le minimum global de la fonction h.h.
Il ne semble pas y avoir de maximum global.

Extremums d’une fonction

Remarque

On dit que f(c)f(c) est un maximum global sur I\text{I} lorsque pour tout xI,x \in \mathrm {I}, f(x)f(c).f ( x ) \leqslant f ( c ). On définit de façon analogue un minimum global.

Définitions

Soient I\text{I} un intervalle ouvert et cc un réel de I.\text{I.} On considère une fonction ff définie sur I.\text{I.} Dire que f(c)f(c) est un maximum local (respectivement minimum local) de ff au voisinage de cc signifie qu’il existe deux réels aa et bb dans I\text{I} tels que c]a;b[c \in ] a \:; b [ et, pour tout réel xx de ]a;b[] a\: ; b [, f(x)f(c)f ( x ) \leqslant f ( c ) (respectivement f(x)f(c)f ( x ) \geqslant f ( c )).
Un extremum local est un maximum ou un minimum local.
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