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Extremums d’une fonction

On dit que $f(c)$ est un maximum global sur $\text{I}$ lorsque pour tout $x \in \mathrm {I},$ $f ( x ) \leqslant f ( c ).$ On définit de façon analogue un minimum global.

Exemple

Soit une fonction $h$ définie sur $\R$ dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
$h(2)$ est un minimum local de $h$ et $h(1) = 2$ est un maximum local de $h.$
$h(-1)$ est un autre minimum local de $h,$ il est aussi le minimum global de la fonction $h.$
Il ne semble pas y avoir de maximum global.

Si $f ^ { \prime }$ s’annule en $c$ sans changer de signe, alors $f(c)$ n’est pas un extremum.

DÉMONSTRATION

Idées générales de la démonstration :

• Si $f(c)$ est un extremum local, alors il y a un changement de variation au niveau du point $c,$ d’où le changement de signe de la dérivée.
• De plus, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $c$ semble parallèle à l’axe des abscisses, d’où $f ^ { \prime } ( c ) = 0$ (voir l’illustration ci-dessus).

Exemples

1. On reprend l’exemple de la partie $\text{A}.$
On peut affirmer que $h ^ { \prime } ( - 1 ) = h ^ { \prime } ( 1 ) = h ^ { \prime } ( 2 ) = 0.$
2. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[ a\: ; b ]$ et $c \in [ a\: ; b ].$

$f(c)$ est un minimum local de $f$ sur $[ a\: ; b ]\::$



$f(c)$ est un maximum local de $f$ sur $[ a\: ; b ]\::$

On a représenté ci-dessous la fonction $f$ définie sur $[ - 2\: ; + \infty [$ par $f ( x ) = - 0{,}5 x ^ { 3 } + 0{,}75 x ^ { 2 } + 3 x - 1.$

1. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ semble admettre des extremums locaux.

2. a. Vérifier que la dérivée de $f$ s’écrit sous la forme $f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ).$
b. Étudier les variations de $f,$ dresser son tableau de variations puis retrouver les résultats de la question 1..

Méthode

Pour déterminer les extremums d’une fonction :

Graphiquement
1. on regarde où se trouvent les changements de variations ;
2. la valeur d’un extremum se lit sur l’axe des ordonnées.

Algébriquement
1. on vérifie que la fonction est dérivable et on calcule sa dérivée ;
2. on détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles la dérivée s’annule en changeant de signe ;
3. on en déduit les extremums en lisant les images des valeurs obtenues à l’étape précédente.

SOLUTION

1. $f$ semble admettre un minimum local pour $x = -1 .$
$f$ semble admettre un maximum local pour $x = 2 .$

2. a. $f$ est dérivable sur $[-2\: ; 4]$ en tant que fonction polynôme et, pour tout $x \in [ - 2 \:; 4 ] ,$ $f ^ { \prime } ( x ) = - 1{,}5 x ^ { 2 } + 1{,}5 x + 3.$
On développe $- 1{,}5 ( x + 1 ) ( x - 2 ) \: :$ on obtient l’expression de $f ^ { \prime } ( x ).$
b. On a $f ^ { \prime } ( x ) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ ou $x = 2 .$
En étudiant le signe de $x + 1$ et celui de $x - 2 ,$ on obtient le signe du produit.

$f ^ { \prime }$ s’annule en changeant de signe pour $x = -1$ et pour $x = 2 .$
$-2{,}75$ est un minimum local de $f$ atteint pour $x = -1 .$
$4$ est un maximum local de $f$ atteint pour $x = 2 .$

Pour s'entraîner : exercices 17 et 20 p. 143 et 57 p. 148