Applications de la dérivation

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Calculer des fonctions dérivées

Calculer la dérivée des fonctions définies par :

Une ligne électrique rectiligne doit relier les deux stations $\text{A}$ et $\text{B}$ tout en passant par la ville $\text{M.}$
On souhaite construire les deux stations $\text{A}$ et $\text{B}$ afin que la longueur de la ligne électrique soit minimale.
On suppose que le plan est assimilé à un repère orthonormal et que la ville $\text{M}$ correspond au point de coordonnées $(10;10).$

1. On suppose que l'abscisse de $\text{A}$ est $a,$ avec $a>10.$ Montrer que l'ordonnée de $\text{B}$ est $\frac{10a}{a-10}.$

2. Justifier que ${\mathrm{AB}}^2=a^2+\frac{100a^2}{(a-10{)}^2}.$

3. a. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]10;+\infty [$ par $f(x)=x^2+\frac{100x^2}{(x-10{)}^2}$ puis déterminer graphiquement son minimum.

b. En déduire les coordonnées des points $\text{A}$ et $\text{B.}$