Chapitre 5


Applications de la dérivation






Le barrage de Vouglans dans le Jura est la troisième plus grande retenue artificielle d’eau de France. La forme de sa voûte est calculée pour minimiser les forces de pression de l’eau qui s’exercent sur la paroi. Le calcul de fonctions dérivées est nécessaire pour obtenir cette forme.

Le barrage de Vouglans dans le Jura

Capacités attendues - chapitre 5

1. Faire le lien entre signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction.
2. Déterminer les extremums d’une fonction à partir de sa dérivée.
3. Résoudre un problème d’optimisation.
4. Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité.

Avant de commencer

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1
Utiliser un tableau de variations

On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction k.k .

Applications de la dérivation

1. Peut-on comparer :
a. k(4)k(-4) et k(0)?k(0) \: ?

b. k(3)k(3) et k(3,9)?k(3\text{,}9) \: ?

c. k(1)k(1) et k(3)?k(3) \: ?

d. k(5)k(-5) et k(3)?k(3) \: ?

2. Déterminer les extremums de k k sur l’intervalle [5;4].[-5\: ; 4].

Anecdote

En 2015, un manuscrit ayant appartenu à Alan Turing s’est vendu aux enchères pour un million de dollars. Dans ce manuscrit, Turing avait par exemple écrit qu’il trouvait la notation de Gottfried W. Leibniz dxdy\dfrac { \text{d} x } { \text{d} y } extrêmement difficile à comprendre.
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3
Calculer des fonctions dérivées

Calculer la dérivée des fonctions définies par :
1. f(x)=x36x4,f ( x ) = x ^ { 3 } - 6 x - 4 , sur R;\mathbb { R }\: ;

2. g(x)=x(2x3),g ( x ) = - x ( 2 x - 3 ), sur R;\mathbb { R }\: ;

3. h(x)=x2+3x+1,h ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } + 3 } { x + 1 }, sur ]1;+[;]-1\: ; + \infty[ \: ;

4. k(x)=2x+x+2xk ( x ) = \dfrac { 2 } { x } + \sqrt { x } + 2 x sur ]0;+[.]0\: ; + \infty[ .

Prérequis

1. Déterminer le sens de variation d’une fonction.
2. Déterminer les extremums d’une fonction.
3. Dresser, à partir d’une lecture graphique, le tableau de variations d’une fonction.
4. Calculer des fonctions dérivées.
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4
Problème

Une ligne électrique rectiligne doit relier les deux stations A\text{A} et B\text{B} tout en passant par la ville M.\text{M.}
On souhaite construire les deux stations A\text{A} et B\text{B} afin que la longueur de la ligne électrique soit minimale.
On suppose que le plan est assimilé à un repère orthonormal et que la ville M\text{M} correspond au point de coordonnées (10;10).(10\: ; 10).

Applications de la dérivation

1. On suppose que l’abscisse de A\text{A} est a,a , avec a>10.a \gt 10 . Montrer que l’ordonnée de B\text{B} est 10aa10.\dfrac { 10 a } { a - 10 }.

2. Justifier que AB2=a2+100a2(a10)2.\mathrm { AB } ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \dfrac { 100 a ^ { 2 } } { ( a - 10 ) ^ { 2 } }.

3. a. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction ff définie sur ]10;+[]10\: ; + \infty[ par f(x)=x2+100x2(x10)2f ( x ) = x ^ { 2 } + \dfrac { 100 x ^ { 2 } } { ( x - 10 ) ^ { 2 } } puis déterminer graphiquement son minimum.

b. En déduire les coordonnées des points A\text{A} et B.\text{B.}


Ligne électrique vu de haut
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2
Utiliser une lecture graphique

On donne ci-dessous la courbe Cg\mathcal{C}_g représentative d’une fonction g.g .

Applications de la dérivation

T2,\text{T}_{-2} , T1\text{T}_{1} et T4\text{T}_{4} sont les tangentes à Cg\mathcal{C}_g aux points d’abscisses respectifs 2;-2\: ; 11 et 4.4 .
1. Donner, par lecture graphique :
a. les valeurs de g(4)g(4) et g(4);g ^ { \prime } (4) \: ;

b. les valeurs de g(1)g(1) et g(1);g ^ { \prime } ( 1 ) \: ;

c. le signe de g(2)g ^ { \prime } ( - 2 ) et le sens de variation de gg sur [3;1];[-3\: ; - 1] \: ;

d. le minimum de gg sur [2;7].[-2\: ; 7].

2. Soit x[1;9].x \in [ - 1 \:; 9 ]. Donner un encadrement de g(x).g(x).
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