3

Calculer des fonctions dérivées

Calculer la dérivée des fonctions définies par :

Une ligne électrique rectiligne doit relier les deux stations \text{A} et \text{B} tout en passant par la ville \text{M.}
On souhaite construire les deux stations \text{A} et \text{B} afin que la longueur de la ligne électrique soit minimale.
On suppose que le plan est assimilé à un repère orthonormal et que la ville \text{M} correspond au point de coordonnées (10\: ; 10).

1. On suppose que l'abscisse de \text{A} est a , avec a \gt 10 . Montrer que l'ordonnée de \text{B} est \dfrac { 10 a } { a - 10 }.

2. Justifier que \mathrm { AB } ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \dfrac { 100 a ^ { 2 } } { ( a - 10 ) ^ { 2 } }.

3. a. Tracer à la calculatrice la courbe représentative de la fonction f définie sur ]10\: ; + \infty[ par f ( x ) = x ^ { 2 } + \dfrac { 100 x ^ { 2 } } { ( x - 10 ) ^ { 2 } } puis déterminer graphiquement son minimum.

b. En déduire les coordonnées des points \text{A} et \text{B.}