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57
[Chercher.]
La courbe ci-dessous représente une fonction h définie sur [ - 8 \: ; 6 ].
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Quel est le maximum local de h sur [-8 \: ; - 4] \:?
2. Quel est le minimum local de h sur [-8 \: ; 0] \:?
3. Quel est le maximum h sur [-8 \: ; 6] \:?
4. Quel est le minimum de h au voisinage de 3 \: ?
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58
[Chercher.]
Le tableau de variations ci-dessous est celui d'une fonction f définie et dérivable sur [-3 \:; 5].
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Déterminer les extremums locaux de f sur [-3 \:; 5].
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Pour les exercices
59
à
63
On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle donné. Déterminer les éventuels extremums locaux de la fonction f sur cet intervalle.
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59
[Calculer.]
f ( x ) = x ^ { 2 } + 4 x + 3 sur \R.
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60
[Calculer.]
f ( x ) = \dfrac { 1 } { 4 } x \left( x ^ { 2 } - 12 \right) sur \R.
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61
[Calculer.]
f ( x ) = 2 x - 3 + \dfrac { 2 } { x - 1 } sur ] 1\: ; + \infty [.
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62
[Calculer.]
f ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 2 x + 1 sur \R.
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63
[Calculer.]
f ( x ) = \dfrac { 3 - x } { x - 2 } sur ] - \infty\: ; 2 [.
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Pour les exercices
64
à
66
1. Construire le tableau de variations de f sur son
ensemble de définition. 2. Donner, suivant les valeurs de x , le signe de f(x).
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64
[Chercher.]
f est une fonction définie et dérivable sur \R telle
que, pour tout x \in \mathbb { R } , f ^ { \prime } ( x ) > 0 et f ( - 2 ) = 0.
1.
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2.
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65
[Chercher.]
f est une fonction définie et dérivable sur \R telle
que, pour tout x \in ] - \infty \:; 2 [ ,f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 et, pour tout x \in ] 2\: ; + \infty[ ,f ^ { \prime } ( x ) \lt 0 .
On sait de plus que f ^ { \prime } ( 2 ) = 0 et f ( 2 ) = - 1.
1.
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2.
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66
[Chercher.]
f est une fonction définie et dérivable sur \R telle
que, pour tout x \in ] - \infty\: ; - 1[,f ^ { \prime } ( x ) \lt 0 et, pour tout
x \in ] - 1\: ; + \infty [ , f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 .
On sait de plus que f ( - 1 ) = f ^ { \prime } ( - 1 ) = 0.
1.
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2.
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67
[Chercher.]
f est la fonction définie sur \R par f(x) = x^3 + 5x - 6 .
1. Démontrer que f est strictement croissante sur \R .
2. Vérifier que f(1) = 0 , puis donner le signe de f(x) en fonction des valeurs de x .
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68
[Calculer.]
g est la fonction définie sur \R par : g ( x ) = \dfrac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1.
1. Vérifier que la dérivée de g sur \R s'annule uniquement pour x = 1 et x = 3.
2. Étudier alors les variations de g sur \R puis dresser son tableau de variations.
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3. Déterminer un encadrement de g(x) sur chacun des intervalles suivants.
a.[0 \: ; 1]
b.[0 \: ; 3]
c.[-1 \: ; 1]
d.[2 \: ; 4]
4. Résoudre, en utilisant le tableau de variations de g , l'inéquation g ( x ) \leqslant g ( 0 ).
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69
[Calculer.]
g est la fonction définie sur \R par : g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 3 } { x ^ { 2 } + 1 }.
1. Étudier les variations de g sur \R puis dresser son tableau de variations.
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2. Déterminer un encadrement de g(x) sur chacun des intervalles suivants.
a.[0 \: ; 1]
b.[-1 \: ; 3]
c.[-1 \: ; 1]
d.[ - \sqrt { 3 } \: ; 0 ]
3. Calculer g ( \sqrt { 3 } ) puis résoudre, en utilisant le tableau de variations de g , l'inéquation g ( x ) \leqslant 0.
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70
[Représenter.]
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie sur \mathcal { D } = [ - 3 \:; 0 [ \cup ] 0 \:; 5 ].
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1. Écrire une équation pour chacune des tangentes à la courbe représentative de f que le tableau de variations
permet de connaître.
2. Donner une courbe compatible avec le tableau de variations de f .
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71
[Chercher.]
f est la fonction définie sur \text{I} = [1 \:; 6] par
f ( x ) = a x + b + \dfrac { 8 } { x } où a et b sont des nombres réels.
On admet que f est dérivable sur l'intervalle \text{I} et on
note f ^ { \prime } la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
La courbe \mathcal{C} ci-dessous représente la fonction f sur \text{I.}
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1. Déterminer graphiquement f(1),f(2),f(4) et f ^ { \prime } ( 2 ).
2. En déduire les valeurs des réels a et b .
3. On admet que f est définie sur [1 \:; 6] par f ( x ) = 2 x - 10 + \dfrac { 8 } { x }. a. Justifier la dérivabilité de f sur [1 \: ; 6].
b. Déterminer f ^ { \prime } ( x ) puis étudier les variations de f sur [1 \: ; 6].
c. Dresser le tableau de variations de f en précisant les valeurs de f(1),f(2),f(4) et f(6).
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d. En déduire le signe de f(x) sur [1 \: ; 6].
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72
[Calculer.]
f est la fonction définie sur \R par f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + 12 .
On note f ^ { \prime } la fonction dérivée de f et on note f ^ { \prime \prime }
la fonction dérivée de f ^ { \prime } sur \R.
1.a. Justifier que f puis que f ^ { \prime } sont dérivables sur \R.
b. Déterminer f ^ { \prime \prime } ( x ) puis étudier son signe.
2. Déduire le sens de variation de f ^ { \prime } et dresser son tableau de variations sur \R.
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3. Calculer f ^ { \prime }(1) puis donner le signe de f ^ { \prime }(x) en fonction de x .
4. Dresser le tableau de variations de f .
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73
[Représenter.]
Tracer une courbe \mathcal{C} représentant une fonction f
définie et dérivable sur l'intervalle [0 \: ; 5] ayant les
propriétés suivantes :
f ( 0 ) = 1 \: ;
f ( 3 ) = f ( 5 ) = - 1 \: ;
f ( 4 ) = \dfrac { - 1 } { 2 } \: ;
f est décroissante sur [0 \:; 2] \: ;
f ^ { \prime } ( 2 ) = 0, \: f ^ { \prime } (3) = 1 et f ^ { \prime } (5) = -1 \:;
f admet en 2 un minimum égal à -3 \: ;
pour tout x \in [ 2\: ; 5 ],f(x) \lt 0 \: ;
f est croissante sur [2\: ; 4].
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74
[Calculer.]
1. Soient la fonction f définie sur \R par f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 5 x + 1 et l'inéquation f ( x ) \geqslant 1. a. Trouver son ensemble de dérivation.
b. Calculer f ^ { \prime } ( x ).
c. Dresser le tableau de variations de f .
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d. Trouver les solutions de l'inéquation proposée.
2. Soient la fonction f définie sur \R par f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x - 1 et l'inéquation f ( x ) \gt - 1. a. Trouver son ensemble de définition.
b. Calculer f ^ { \prime } ( x ).
c. Dresser le tableau de variations de f .
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d. Trouver les solutions de l'inéquation proposée.
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75
Démo
[Raisonner.]
f est une fonction définie et dérivable sur \R .
On considère l'énoncé suivant :
« Si f admet un extremum local pour x = -1 , alors
f ^ { \prime } ( - 1 ) = 0 ».
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76
[Raisonner.]
f est une fonction dérivable sur \R et a est un réel.
Compléter par « nécessaire » ou « suffisante ».
1. Une condition
pour que f admette un maximum local en un réel a est que f ^ { \prime } ( a ) = 0. 2. Une condition
pour que f ^ { \prime } ( a ) = 0 est que f admette un extremum local en a .
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77
[Raisonner.]
f est une fonction définie et dérivable sur un
intervalle \text{I.}f ^ { \prime } est la fonction dérivée de f sur \text{I.}
On considère les deux propositions suivantes :
Proposition \text{P :}« \: f(x) = x^2 + 3x \:».
Proposition \text{Q :}« \: f ^ { \prime } ( x ) = 2 x + 3 \:». Les deux propositions \text{P} et \text{Q} sont-elles équivalentes ?
Expliquer.
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78
[Raisonner.]
g est la fonction définie sur \R par :
g(x) = -2x^3 + 3x^2 - 2x + 8 . On note g ^ { \prime } la fonction
dérivée de g sur \R .
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si
elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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81
QCM
[Raisonner.]
f et g sont les fonctions définies sur \R par
f ( x ) = \dfrac { - 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } et g ( x ) = \dfrac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 }.
Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont
correctes en justifiant.
1. pour tout x \in \mathbb { R },f(x) = g(x)\: ;
2. pour tout x \in \mathbb { R },f ^ { \prime } ( x ) = g ^ { \prime } ( x )\: ;
3.f est strictement décroissante sur [-1 \: ; 1] \: ;
4. pour tout x \in \mathbb { R },f ( x ) \leqslant 2.
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82
QCM
[Raisonner.]
g est la fonction définie sur \R par g(x) = x^4 - 4x^3 .
Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont
correctes en justifiant.
1.g est croissante sur [ 3 \:; + \infty [ \: ;
2.g est positive sur [ 3 \:; 4 ] \: ;
3.g admet un extremum en 0\: ;
4.g admet un extremum en 3\: ;
5.g ^ { \prime } est négative sur [2 \: ; 3] \:;
6.g ^ { \prime } est décroissante sur [0 \: ; 2].
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83
QCM
[Raisonner.]
h est la fonction définie sur ] 0 \: ; + \infty [ par h ( x ) = x + \dfrac { 1 } { x }.
Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont
correctes en justifiant.
1.h est croissante sur ] 0 \: ; + \infty [ \: ;
2.h est croissante sur ] 1 \: ; + \infty [ \: ;
3.10\text{,}1 est le maximum de h sur ]0 \:; 10]\: ;
4.2 est le minimum de h sur ] 0 \: ; + \infty [ \: ;
5.1 est le minimum de h sur ] 0 \: ; + \infty [ \: ;
6.h n'admet pas de maximum sur ] 0 \: ; + \infty [.
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84
Python
[Calculer.]
Dans une usine, le coût de fabrication unitaire d'un article est donné par la fonction f définie sur [0\text{,}5\: ; 3] par f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x + 2 } { x }
où x est le nombre de milliers d'articles fabriqués. f(x) est exprimé en millier d'euros.
1. Quel est le coût unitaire de fabrication de 500 articles ? 501 articles ?
2. Démontrer que la fonction f admet un minimum sur [0\text{,}5\: ; 3].
3. Compléter le programme ci-dessous afin qu'il retrouve la valeur de x pour laquelle le coût unitaire est minimal.
def Fabrication(f1, f2, x):
while f1 > f2:
x = x + 0.001
f1 = f2
f2 = ...
return ...
print(Fabrication(2.5, 2.493, 0.501))
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