Entrainement 2


Extremums d’une fonction





67
[Chercher.]
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+5x6.f(x) = x^3 + 5x - 6 .

1. Démontrer que ff est strictement croissante sur R.\R .

2. Vérifier que f(1)=0,f(1) = 0 , puis donner le signe de f(x)f(x) en fonction des valeurs de x.x .

64
[Chercher.]
ff est une fonction définie et dérivable sur R\R telle que, pour tout xR,x \in \mathbb { R } , f(x)>0 f ^ { \prime } ( x ) > 0 et f(2)=0. f ( - 2 ) = 0.

1.
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2.

62
[Calculer.]
f(x)=x3+2x22x+1f ( x ) = - x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } - 2 x + 1 sur R.\R.

66
[Chercher.]
ff est une fonction définie et dérivable sur R\R telle que, pour tout x];1[,x \in ] - \infty\: ; - 1[, f(x)<0f ^ { \prime } ( x ) \lt 0 et, pour tout x]1;+[,x \in ] - 1\: ; + \infty [ , f(x)>0. f ^ { \prime } ( x ) \gt 0 .
On sait de plus que f(1)=f(1)=0.f ( - 1 ) = f ^ { \prime } ( - 1 ) = 0.

1.
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2.

82
QCM
[Raisonner.] ◉◉
gg est la fonction définie sur R\R par g(x)=x44x3.g(x) = x^4 - 4x^3 .
Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont correctes en justifiant.

1. gg est croissante sur [3;+[;[ 3 \:; + \infty [ \: ;

2. gg est positive sur [3;4];[ 3 \:; 4 ] \: ;

3. gg admet un extremum en 0;0\: ;

4. gg admet un extremum en 3;3\: ;

5. gg ^ { \prime } est négative sur [2;3];[2 \: ; 3] \:;

6. gg ^ { \prime } est décroissante sur [0;2].[0 \: ; 2].

75
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉
ff est une fonction définie et dérivable sur R.\R . On considère l’énoncé suivant :
« Si ff admet un extremum local pour x=1,x = -1 , alors f(1)=0f ^ { \prime } ( - 1 ) = 0 ».

1. Cet énoncé est-il vrai ? Justifier.

2. Écrire l’énoncé réciproque. Est-il vrai ? Justifier.

84
PYTHON
[Calculer.]
Dans une usine, le coût de fabrication unitaire d’un article est donné par la fonction ff définie sur [0,5;3][0\text{,}5\: ; 3] par f(x)=x22x+2xf ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 2 x + 2 } { x }xx est le nombre de milliers d’articles fabriqués.
f(x)f(x) est exprimé en millier d’euros.

1. Quel est le coût unitaire de fabrication de 500500 articles ? 501501 articles ?

2. Démontrer que la fonction ff admet un minimum sur [0,5;3].[0\text{,}5\: ; 3].

3. Compléter le programme ci-dessous afin qu’il retrouve la valeur de xx pour laquelle le coût unitaire est minimal.

def Fabrication(f1, f2, x):
while f1 > f2: 
	x = x + 0.001
  f1 = f2
  f2 = ...
return ...

print(Fabrication(2.5, 2.493, 0.501)) 

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 29 ; 31 ; 40 ; 42 ; 57 ; 59 ; 75 et 82
◉◉ Parcours 2 : exercices 33 ; 39 ; 47 ; 63 ; 68 ; 77 ; 79 ; 85 et 95
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 37 ; 49 ; 56 ; 71 et 89 ;

74
[Calculer.]
1. Soient la fonction ff définie sur R\R par f(x)=2x25x+1f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 5 x + 1 et l’inéquation f(x)1.f ( x ) \geqslant 1.
a. Trouver son ensemble de définition.

b. Calculer f(x).f ^ { \prime } ( x ).


c. Dresser le tableau de variations de f.f .

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d. Trouver les solutions de l’inéquation proposée.

2. Soient la fonction ff définie sur R\R par f(x)=x3+2x1f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x - 1 et l’inéquation f(x)>1.f ( x ) \gt - 1.
a. Trouver son ensemble de définition.

b. Calculer f(x).f ^ { \prime } ( x ).


c. Dresser le tableau de variations de f.f .

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d. Trouver les solutions de l’inéquation proposée.

80
[Raisonner.]
On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction ff définie et dérivable sur D=[6;4].\mathcal { D } = [ - 6\: ; 4 ].

Extremums d’une fonction

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. le minimum de ff sur D\mathcal{D} est 0;0\: ;

2. f(f(2))=0;f ( f ( 2 ) ) = 0\: ;

3. f(3)=0;f ^ { \prime } ( - 3 ) = 0\: ;

4. (f(5))2>(f(5))2;( f ( - 5 ) ) ^ { 2 } \gt ( f ( 5 ) ) ^ { 2 } \:;

5. f(3)>0.f ^ { \prime } ( 3 ) \gt 0.

76
[Raisonner.]
ff est une fonction dérivable sur R\R et aa est un réel. Compléter par « nécessaire » ou « suffisante ».

1. Une condition pour que ff admette un maximum local en un réel aa est que f(a)=0.f ^ { \prime } ( a ) = 0.
2. Une condition pour que f(a)=0f ^ { \prime } ( a ) = 0 est que ff admette un extremum local en a.a .

72
[Calculer.]
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=3x44x3+6x212x+12.f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + 12 .
On note ff ^ { \prime } la fonction dérivée de ff et on note ff ^ { \prime \prime } la fonction dérivée de ff ^ { \prime } sur R.\R.
1. a. Justifier que ff puis que ff ^ { \prime } sont dérivables sur R.\R.

b. Déterminer f(x)f ^ { \prime \prime } ( x ) puis étudier son signe.

2. Déduire le sens de variation de ff ^ { \prime } et dresser son tableau de variations sur R.\R.


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3. Calculer f(1)f ^ { \prime }(1) puis donner le signe de f(x)f ^ { \prime }(x) en fonction de x.x .

4. Dresser le tableau de variations de f.f .

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71
[Chercher.] ◉◉◉
ff est la fonction définie sur I=[1;6]\text{I} = [1 \:; 6] par f(x)=ax+b+8xf ( x ) = a x + b + \dfrac { 8 } { x }aa et bb sont des nombres réels.
On admet que ff est dérivable sur l’intervalle I\text{I} et on note ff ^ { \prime } la fonction dérivée de ff sur cet intervalle.
La courbe C\mathcal{C} ci-dessous représente la fonction ff sur I.\text{I.}

Extremums d’une fonction


1. Déterminer graphiquement f(1),f(1), f(2),f(2), f(4)f(4) et f(2).f ^ { \prime } ( 2 ).

2. En déduire les valeurs des réels aa et b.b .

3. On admet que ff est définie sur [1;6][1 \:; 6] par f(x)=2x10+8x.f ( x ) = 2 x - 10 + \dfrac { 8 } { x }.
a. Justifier la dérivabilité de ff sur [1;6].[1 \: ; 6].

b. Déterminer f(x)f ^ { \prime } ( x ) puis étudier les variations de ff sur [1;6].[1 \: ; 6].

c. Dresser le tableau de variations de ff en précisant les valeurs de f(1),f(1), f(2),f(2), f(4)f(4) et f(6).f(6).

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d. En déduire le signe de f(x)f(x) sur [1;6].[1 \: ; 6].

63
[Calculer.] ◉◉
f(x)=3xx2f ( x ) = \dfrac { 3 - x } { x - 2 } sur ];2[.] - \infty\: ; 2 [.

69
[Calculer.]
gg est la fonction définie sur R\R par : g(x)=x23x2+1.g ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } - 3 } { x ^ { 2 } + 1 }.

1. Étudier les variations de gg sur R\R puis dresser son tableau de variations.


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2. Déterminer un encadrement de g(x)g(x) sur chacun des intervalles suivants.
a. [0;1][0 \: ; 1]

b. [1;3][-1 \: ; 3]

c. [1;1][-1 \: ; 1]

d. [3;0][ - \sqrt { 3 } \: ; 0 ]

3. Calculer g(3)g ( \sqrt { 3 } ) puis résoudre, en utilisant le tableau de variations de g,g , l’inéquation g(x)0.g ( x ) \leqslant 0.

77
[Raisonner.] ◉◉
ff est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.\text{I.} ff ^ { \prime } est la fonction dérivée de ff sur I.\text{I.}
On considère les deux propositions suivantes :
Proposition P :\text{P :} «f(x)=x2+3x».« \: f(x) = x^2 + 3x \:».
Proposition Q :\text{Q :} «f(x)=2x+3».« \: f ^ { \prime } ( x ) = 2 x + 3 \:».
Les deux propositions P\text{P} et Q\text{Q} sont-elles équivalentes ? Expliquer.

58
[Chercher.]
Le tableau de variations ci-dessous est celui d’une fonction ff définie et dérivable sur [3;5].[-3 \:; 5].

Extremums d’une fonction

Déterminer les extremums locaux de ff sur [3;5].[-3 \:; 5].

83
QCM
[Raisonner.]
hh est la fonction définie sur R\R par h(x)=x+1x.h ( x ) = x + \dfrac { 1 } { x }.
Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont correctes en justifiant.

1. hh est croissante sur ]0;+[;] 0 \: ; + \infty [ \: ;

2. hh est croissante sur ]1;+[;] 1 \: ; + \infty [ \: ;

3. 10,110\text{,}1 est le maximum de hh sur ]0;10];]0 \:; 10]\: ;

4. 22 est le minimum de hh sur ]0;+[;] 0 \: ; + \infty [ \: ;

5. 11 est le minimum de hh sur ]0;+[;] 0 \: ; + \infty [ \: ;

6. hh n’admet pas de maximum sur ]0;+[.] 0 \: ; + \infty [.

60
[Calculer.]
f(x)=14x(x212)f ( x ) = \dfrac { 1 } { 4 } x \left( x ^ { 2 } - 12 \right) sur R.\R.

61
[Calculer.]
f(x)=2x3+2x1f ( x ) = 2 x - 3 + \dfrac { 2 } { x - 1 } sur ]1;+[.] 1\: ; + \infty [.

68
[Calculer.] ◉◉
gg est la fonction définie sur R\R par : g(x)=13x32x2+3x+1.g ( x ) = \dfrac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1.

1. Vérifier que la dérivée de gg sur R\R s’annule uniquement pour x=1x = 1 et x=3.x = 3.

2. Étudier alors les variations de gg sur R\R puis dresser son tableau de variations.


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3. Déterminer un encadrement de g(x)g(x) sur chacun des intervalles suivants.
a. [0;1]