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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 5

Entraînement 2

Extremums d'une fonction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

Ressource affichée de l'autre côté.
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57
[Chercher.]

La courbe ci-dessous représente une fonction

h

définie sur

[- 8; 6] .

1. Quel est le maximum local de

h

sur

[- 8; - 4] ?

2. Quel est le minimum local de

h

sur

[- 8; 0] ?

3. Quel est le maximum

h

sur

[- 8; 6] ?

4. Quel est le minimum de

h

au voisinage de

3 ?

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58
[Chercher.]

Le tableau de variations ci-dessous est celui d'une fonction

f

définie et dérivable sur

[- 3; 5] .

Tableau variations fonction : valeurs x (-3, 1, 3, 5), signes dérivée f'(x) et valeurs f(x) (-2, -3, 1, -1).

Déterminer les extremums locaux de

f

sur

[- 3; 5] .

Ressource affichée de l'autre côté.
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Pour les exercices
59
à
63

On suppose que

f

est une fonction définie et dérivable sur un intervalle donné. Déterminer les éventuels extremums locaux de la fonction

f

sur cet intervalle.

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59
[Calculer.]

f (x) = x^{2} + 4 x + 3

sur

R .

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60
[Calculer.]

f (x) = \frac{1}{4} x (x^{2} - 12)

sur

R .

Ressource affichée de l'autre côté.
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61
[Calculer.]

f (x) = 2 x - 3 + \frac{2}{x - 1}

sur

] 1; + \infty [.

Ressource affichée de l'autre côté.
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62
[Calculer.]

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 1

sur

R .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

63
[Calculer.]

f (x) = \frac{3 - x}{x - 2}

sur

] - \infty; 2 [.

Ressource affichée de l'autre côté.
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Pour les exercices
64
à
66

1. Construire le tableau de variations de

f

sur son ensemble de définition.
2. Donner, suivant les valeurs de

x,

le signe de

f (x) .

Ressource affichée de l'autre côté.
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64
[Chercher.]

f

est une fonction définie et dérivable sur

R

telle que, pour tout

x \in R,

f^{'} (x) > 0

f (- 2) = 0.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

65
[Chercher.]

f

est une fonction définie et dérivable sur

R

telle que, pour tout

x \in] - \infty; 2 [,

f^{'} (x) > 0

et, pour tout

x \in] 2; + \infty [,

f^{'} (x) < 0.

On sait de plus que

f^{'} (2) = 0

f (2) = - 1.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

66
[Chercher.]

f

est une fonction définie et dérivable sur

R

telle que, pour tout

x \in] - \infty; - 1 [,

f^{'} (x) < 0

et, pour tout

x \in] - 1; + \infty [,

f^{'} (x) > 0.

On sait de plus que

f (- 1) = f^{'} (- 1) = 0.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

67
[Chercher.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + 5 x - 6.

1. Démontrer que

f

est strictement croissante sur

R .

2. Vérifier que

f (1) = 0,

puis donner le signe de

f (x)

en fonction des valeurs de

x .

Ressource affichée de l'autre côté.
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68
[Calculer.]

g

est la fonction définie sur

R

par :

g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.

1. Vérifier que la dérivée de

g

sur

R

s'annule uniquement pour

x = 1

x = 3.

2. Étudier alors les variations de

g

sur

R

puis dresser son tableau de variations.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3. Déterminer un encadrement de

g (x)

sur chacun des intervalles suivants.
a.

[0; 1]

[0; 3]

[- 1; 1]

[2; 4]

4. Résoudre, en utilisant le tableau de variations de

g,

l'inéquation

g (x) ⩽ g (0) .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

69
[Calculer.]

g

est la fonction définie sur

R

par :

g (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x ^{2} + 1} .

1. Étudier les variations de

g

sur

R

puis dresser son tableau de variations.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2. Déterminer un encadrement de

g (x)

sur chacun des intervalles suivants.
a.

[0; 1]

[- 1; 3]

[- 1; 1]

[- 3; 0]

3. Calculer

g (3)

puis résoudre, en utilisant le tableau de variations de

g,

l'inéquation

g (x) ⩽ 0.

Ressource affichée de l'autre côté.
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70
[Représenter.]

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction

f

définie sur

D = [- 3; 0 [\cup] 0; 5] .

Tableau variations fonction : valeurs x, f'(x), f. Flèches indiquent variations de f.

1. Écrire une équation pour chacune des tangentes à la courbe représentative de

f

que le tableau de variations permet de connaître.

2. Donner une courbe compatible avec le tableau de variations de

f .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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71
[Chercher.]

f

est la fonction définie sur

I = [1; 6]

par

f (x) = a x + b + \frac{8}{x}

où

a

b

sont des nombres réels.
On admet que

f

est dérivable sur l'intervalle

I

et on note

f^{'}

la fonction dérivée de

f

sur cet intervalle.
La courbe

C

ci-dessous représente la fonction

f

sur

I.

1. Déterminer graphiquement

f (1),

f (2),

f (4)

f^{'} (2) .

2. En déduire les valeurs des réels

a

b .

3. On admet que

f

est définie sur

[1; 6]

par

f (x) = 2 x - 10 + \frac{8}{x} .

a. Justifier la dérivabilité de

f

sur

[1; 6] .

b. Déterminer

f^{'} (x)

puis étudier les variations de

f

sur

[1; 6] .

c. Dresser le tableau de variations de

f

en précisant les valeurs de

f (1),

f (2),

f (4)

f (6) .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

d. En déduire le signe de

f (x)

sur

[1; 6] .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

72
[Calculer.]

f

est la fonction définie sur

R

par

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 12.

On note

f^{'}

la fonction dérivée de

f

et on note

f^{''}

la fonction dérivée de

f^{'}

sur

R .

1. a. Justifier que

f

puis que

f^{'}

sont dérivables sur

R .

b. Déterminer

f^{''} (x)

puis étudier son signe.

2. Déduire le sens de variation de

f^{'}

et dresser son tableau de variations sur

R .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3. Calculer

f^{'} (1)

puis donner le signe de

f^{'} (x)

en fonction de

x .

4. Dresser le tableau de variations de

f .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Ressource affichée de l'autre côté.
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73
[Représenter.]

Tracer une courbe

C

représentant une fonction

f

définie et dérivable sur l'intervalle

[0; 5]

ayant les propriétés suivantes :

$f (0) = 1;$
$f (3) = f (5) = - 1;$
$f (4) = \frac{- 1}{2};$
$f$ est décroissante sur $[0; 2];$
$f^{'} (2) = 0, f^{'} (3) = 1$ et $f^{'} (5) = - 1;$
$f$ admet en $2$ un minimum égal à $- 3;$
pour tout $x \in [2; 5],$ $f (x) < 0;$
$f$ est croissante sur $[2; 4] .$

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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74
[Calculer.]

1. Soient la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1

et l'inéquation

f (x) ⩾ 1.

a. Trouver son ensemble de dérivation.

b. Calculer

f^{'} (x) .

c. Dresser le tableau de variations de

f .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

d. Trouver les solutions de l'inéquation proposée.

2. Soient la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{3} + 2 x - 1

et l'inéquation

f (x) > - 1.

a. Trouver son ensemble de définition.

b. Calculer

f^{'} (x) .

c. Dresser le tableau de variations de

f .

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

d. Trouver les solutions de l'inéquation proposée.

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75
Démo
[Raisonner.]

f

est une fonction définie et dérivable sur

R .

On considère l'énoncé suivant :
« Si

f

admet un extremum local pour

x = - 1,

alors

f^{'} (- 1) = 0

».

1. Cet énoncé est-il vrai ? Justifier.

2. Écrire l'énoncé réciproque. Est-il vrai ? Justifier.

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76
[Raisonner.]

f

est une fonction dérivable sur

R

a

est un réel. Compléter par « nécessaire » ou « suffisante ».

1. Une condition

pour que

f

admette un maximum local en un réel

a

est que

f^{'} (a) = 0.

2. Une condition

pour que

f^{'} (a) = 0

est que

f

admette un extremum local en

a .

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77
[Raisonner.]

f

est une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I.

f^{'}

est la fonction dérivée de

f

sur

I.

On considère les deux propositions suivantes :
Proposition

P :

« f (x) = x^{2} + 3 x ».

Proposition

Q :

« f^{'} (x) = 2 x + 3 ».

Les deux propositions

P

Q

sont-elles équivalentes ? Expliquer.

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78
[Raisonner.]

g

est la fonction définie sur

R

par :

g (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 8.

On note

g^{'}

la fonction dérivée de

g

sur

R .

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

g^{'} (x) = - 6 (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2};

g

est décroissante sur

R;

g (x)

est négatif sur

R;

g (x)

est négatif sur

[2; + \infty [;

g (2) = 14 - 62 .

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79
[Raisonner.]

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction

f

définie et dérivable sur

D = [- 3; 0 [\cup] 0; 5] .

Tableau variations fonction : valeurs x, f'(x), f. Représentation graphique des variations de f.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. pour tout

x \in] 0; 5],

f (x) > 0;

f

est strictement croissante sur

[- 3; 0 [\cup] 0; 1];

3. si

f (x) \in [1; 3]

alors

x \in [1; 4];

T

est la tangente à la courbe représentative de

f

au point d'abscisse

1.

Une équation de

T

est :

2 x - y - 1 = 0.

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80
[Raisonner.]
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction

f

définie et dérivable sur

D = [- 6; 4] .

Diagramme: extrémums d'une fonction mathématique. Valeurs de x et f(x) représentées graphiquement par des flèches.

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

1. le minimum de

f

sur

D

est

0;

f (f (2)) = 0;

f^{'} (- 3) = 0;

(f (- 5))^{2} > (f (5))^{2};

f^{'} (3) > 0.

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81
QCM
[Raisonner.]

f

g

sont les fonctions définies sur

R

par

f (x) = \frac{- 2 x}{x ^{2} + 1}

g (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1} .

Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont correctes en justifiant.

1. pour tout

x \in R,

f (x) = g (x);

2. pour tout

x \in R,

f^{'} (x) = g^{'} (x);

f

est strictement décroissante sur

[- 1; 1];

4. pour tout

x \in R,

f (x) ⩽ 2.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

82
QCM
[Raisonner.]

g

est la fonction définie sur

R

par

g (x) = x^{4} - 4 x^{3} .

Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont correctes en justifiant.

1.

g

est croissante sur

[3; + \infty [;

g

est positive sur

[3; 4];

g

admet un extremum en

0;

g

admet un extremum en

3;

g^{'}

est négative sur

[2; 3];

g^{'}

est décroissante sur

[0; 2] .

Ressource affichée de l'autre côté.
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83
QCM
[Raisonner.]

h

est la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

h (x) = x + \frac{1}{x} .

Parmi les réponses proposées, choisir celles qui sont correctes en justifiant.

1.

h

est croissante sur

] 0; + \infty [;

h

est croissante sur

] 1; + \infty [;

10, 1

est le maximum de

h

sur

] 0; 10];

2

est le minimum de

h

sur

] 0; + \infty [;

1

est le minimum de

h

sur

] 0; + \infty [;

h

n'admet pas de maximum sur

] 0; + \infty [.

Ressource affichée de l'autre côté.
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84
Python
[Calculer.]
Dans une usine, le coût de fabrication unitaire d'un article est donné par la fonction

f

définie sur

[0, 5; 3]

par

f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x}

où

x

est le nombre de milliers d'articles fabriqués.

f (x)

est exprimé en millier d'euros.

1. Quel est le coût unitaire de fabrication de

500

articles ?

501

articles ?

2. Démontrer que la fonction

f

admet un minimum sur

[0, 5; 3] .

3. Compléter le programme ci-dessous afin qu'il retrouve la valeur de

x

pour laquelle le coût unitaire est minimal.

def Fabrication(f1, f2, x):
while f1 > f2: 
	x = x + 0.001
  f1 = f2
  f2 = ...
return ...

print(Fabrication(2.5, 2.493, 0.501))

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Nouvelle épreuve Bac

Ch. 1Suites numériques

Ch. 2Fonctions de référence

Ch. 3Équations et inéquations du second degré

Ch. 4Dérivation

Ch. 5Applications de la dérivation

Ch. 6Fonction exponentielle

Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Extremums d'une fonction

Pour les exercices 59à 63

Pour les exercices 64à 66

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Pour les exercices
59
à
63

Pour les exercices
64
à
66