Activités




B
Défaut d’orthogonalité

AIDE

4
Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle.


Objectif
Déterminer les différentes expressions du produit scalaire au travers d’une interprétation géométrique.


3
On suppose que l’angle (AB,AC)(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle obtus.
Démontrer que Δ=AB×AH.\Delta=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.


4
a) Prouver que, dans les deux cas, Δ=AB×AC×cos(AB,AC).\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).

b) Pourquoi parle-t-on alors de « défaut d’orthogonalité » ?


5
Justifier que Δ=AB2+AC2ACAB22.\Delta=\dfrac{\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^2}{2}.


6
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) et on considère les vecteurs AB(xy)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et AC(xy).\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.
Prouver, à l’aide de la formule précédente, que Δ=xx+yy.\Delta=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

Défault d'orthogonalité

ABC\text{ABC} est un triangle quelconque du plan. On note :
  • H\text{H} le projeté orthogonal du point C\text{C} sur la droite (AB)\text{(AB)} ;
  • Δ\Delta le défaut d’orthogonalité du triangle ABC\text{ABC} défini par Δ=AB2+AC2BC22.\Delta=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}{2}.

1
Quelle est la valeur de Δ\Delta si le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en A\text{A} ?


2
On suppose que l’angle (AB,AC)(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle aigu.
a) Où se situe alors le point H\text{H} ?

b) En utilisant plusieurs fois le théorème de Pythagore dans des triangles bien choisis, démontrer queΔ=AB×AH.\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.

Schéma défault d'orthogonalité

AIDE

2
3
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AHC\text{AHC} et CHB\text{CHB} puis modifier l’expression de Δ.\Delta .
Voir les réponses


Bilan
Lister les quatre différentes expressions de Δ\Delta obtenues. Indiquer quelles données (coordonnées, longueurs, angles) sont nécessaires pour appliquer chacune des formules.

A
Projection orthogonale

AIDE

3
c) On peut supposer que les points A\text{A} et B\text{B} sont du même côté de la droite d.d . Quelle est l’autre configuration possible ?

AIDE

2
Si O\text{O} est le projeté orthogonal de M\text{M} sur la droite (AC)\text{(AC)}, quel lien existe-t-il entre les droites (MO)\text{(MO)} et (AC)\text{(AC)} ?

On considère une droite dd du plan et un point A\text{A} n’appartenant pas à cette droite. On rappelle que le projeté orthogonal du point A\text{A} sur la droite dd est le point A\text{A}^ { \prime } appartenant à dd tel que les droites dd et (AA)\left( \mathrm { AA } ^ { \prime } \right) sont perpendiculaires.

1
On considère ci-dessous le quadrilatère ABCD\text{ABCD} de centre O.\text{O.}
quadrilatère pour activité de projection

a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets B\text{B} et D\text{D} sur la droite (AC)\text{(AC)} ainsi que les projetés orthogonaux des sommets A\text{A} et C\text{C} sur la droite (BD).\text{(BD).}

Lancer le module Geogebra
b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.


2
On considère maintenant des points distincts des quatre sommets du quadrilatère.
a) Construire l’ensemble des points M\text{M} du plan tel que le projeté orthogonal de M\text{M} sur la droite (AC)\text{(AC)} soit le point O.\text{O.}
b) Construire l’ensemble des points N\text{N} du plan tel que le projeté orthogonal de N\text{N} sur la droite (BD)\text{(BD)} soit le point O.\text{O.}

3
On change de configuration et on considère à présent une droite dd et deux points distincts A\text{A} et B\text{B} n’appartenant pas à d.d. On note A\mathrm { A } ^ { \prime } et B\mathrm { B } ^ { \prime } les projetés orthogonaux respectifs des points A\text{A} et B\text{B} sur la droite d.d . Le segment [AB]\left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] est alors le projeté orthogonal du segment [AB]\text{[AB]} sur la droite d.d .
Dans chacun des cas suivants :
  • faire une figure ;
  • tracer le segment [AB]\left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] ;
  • comparer les longueurs de AB \text{AB} et A’B’. \text{A'B'.}

a) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd sont parallèles.

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b) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd sont perpendiculaires.

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c) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points A\text{A} et B\text{B} relativement à la droite d.d .

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Voir les réponses


Bilan
Dans la configuration de la question
3
, pour quels cas a-t-on AB>AB\text{AB} > \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } , AB<AB\text{AB} \lt \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } et AB=AB\text{AB} = \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } ?



Objectif
Se familiariser avec la projection orthogonale de segments sur des droites, après avoir étudié la projection orthogonale de points sur une droite en seconde.

C
Les différentes propriétés du produit scalaire



Objectif
L’objectif est de démontrer les différentes propriétés du produit scalaire en utilisant sa forme analytique.


Voir les réponses
Dans un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère les vecteurs u(x1y1)\vec{u}\begin{pmatrix}{x_{1}} \\ {y_{1}}\end{pmatrix}, v(x2y2)\vec{v}\begin{pmatrix}{x_{2}} \\ {y_{2}}\end{pmatrix} et w(x3y3).\vec{w}\begin{pmatrix}{x_{3}} \\ {y_{3}}\end{pmatrix}.
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.

1
Montrer que, pour tout réel kk, u(kv)=(ku)v=k(uv).\vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}).

2
Montrer que u(v+w)=uv+uw.\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}.


3
Montrer que uv=vu.\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
Voir les réponses


Bilan
Quelle opération possède des propriétés analogues au produit scalaire ?

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