Mathématiques 1re Spécialité

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Ch. 12
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Rappels de seconde
Chapitre 9
Activité

Produit scalaire

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A
Projection orthogonale

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On considère une droite d du plan et un point \text{A} n'appartenant pas à cette droite. On rappelle que le projeté orthogonal du point \text{A} sur la droite d est le point \text{A}^ { \prime } appartenant à d tel que les droites d et \left( \mathrm { AA } ^ { \prime } \right) sont perpendiculaires.

1
On considère ci-dessous le quadrilatère \text{ABCD} de centre \text{O.}
quadrilatère pour activité de projection
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a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets \text{B} et \text{D} sur la droite \text{(AC)} ainsi que les projetés orthogonaux des sommets \text{A} et \text{C} sur la droite \text{(BD).}

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b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.


2
On considère maintenant des points distincts des quatre sommets du quadrilatère.
a) Construire l'ensemble des points \text{M} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{M} sur la droite \text{(AC)} soit le point \text{O.}
b) Construire l'ensemble des points \text{N} du plan tel que le projeté orthogonal de \text{N} sur la droite \text{(BD)} soit le point \text{O.}
Aide
Si \text{O} est le projeté orthogonal de \text{M} sur la droite \text{(AC)}, quel lien existe-t-il entre les droites \text{(MO)} et \text{(AC)} ?


3
On change de configuration et on considère à présent une droite d et deux points distincts \text{A} et \text{B} n'appartenant pas à d. On note \mathrm { A } ^ { \prime } et \mathrm { B } ^ { \prime } les projetés orthogonaux respectifs des points \text{A} et \text{B} sur la droite d . Le segment \left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] est alors le projeté orthogonal du segment \text{[AB]} sur la droite d .
Dans chacun des cas suivants :
  • faire une figure ;
  • tracer le segment \left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] ;
  • comparer les longueurs de \text{AB} et \text{A'B'.}

a) Les droites \text{(AB)} et d sont parallèles.

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b) Les droites \text{(AB)} et d sont perpendiculaires.

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c) Les droites \text{(AB)} et d ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points \text{A} et \text{B} relativement à la droite d .

Aide
On peut supposer que les points \text{A} et \text{B} sont du même côté de la droite d . Quelle est l'autre configuration possible ?

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Bilan
Dans la configuration de la question
3
, pour quels cas a-t-on \text{AB} > \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } , \text{AB} \lt \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } et \text{AB} = \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } ?

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B
Défaut d'orthogonalité

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1
Quelle est la valeur de \Delta si le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A} ?

2
On suppose que l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle aigu.
Aide
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \text{AHC} et \text{CHB} puis modifier l'expression de \Delta .
a) Où se situe alors le point \text{H} ?

b) En utilisant plusieurs fois le théorème de Pythagore dans des triangles bien choisis, démontrer que\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.

3
On suppose que l'angle (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle obtus.
Démontrer que \Delta=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.
Aide
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \text{AHC} et \text{CHB} puis modifier l'expression de \Delta .



4
a) Prouver que, dans les deux cas, \Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).

b) Pourquoi parle-t-on alors de « défaut d'orthogonalité » ?
Aide
Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle.

5
Justifier que \Delta=\dfrac{\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^2}{2}.


6
On se place dans un repère orthonormé (\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) et on considère les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.
Prouver, à l'aide de la formule précédente, que \Delta=x x^{\prime}+y y^{\prime}.


Schéma défault d'orthogonalité
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Bilan
Lister les quatre différentes expressions de \Delta obtenues. Indiquer quelles données (coordonnées, longueurs, angles) sont nécessaires pour appliquer chacune des formules.

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C
Les différentes propriétés du produit scalaire

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1
Montrer que, pour tout réel k, \vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}).

2
Montrer que \vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}.

3
Montrer que \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
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Bilan
Quelle opération possède des propriétés analogues au produit scalaire ?

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Objectif : Se familiariser avec la projection orthogonale de segments sur des droites, après avoir étudié la projection orthogonale de points sur une droite en seconde.

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Objectif : Déterminer les différentes expressions du produit scalaire au travers d'une interprétation géométrique.

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\text{ABC} est un triangle quelconque du plan. On note :
  • \text{H} le projeté orthogonal du point \text{C} sur la droite \text{(AB)} ;
  • \Delta le défaut d'orthogonalité du triangle \text{ABC} défini par \Delta=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}{2}.

Défault d'orthogonalité
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Objectif : L'objectif est de démontrer les différentes propriétés du produit scalaire en utilisant sa forme analytique.

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Dans un repère orthonormé (\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{x_{1}} \\ {y_{1}}\end{pmatrix}, \vec{v}\begin{pmatrix}{x_{2}} \\ {y_{2}}\end{pmatrix} et \vec{w}\begin{pmatrix}{x_{3}} \\ {y_{3}}\end{pmatrix}.
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.

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