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Activités




A
Projection orthogonale



Objectif
Se familiariser avec la projection orthogonale de segments sur des droites, après avoir étudié la projection orthogonale de points sur une droite en seconde.


On considère une droite dd du plan et un point A\text{A} n’appartenant pas à cette droite. On rappelle que le projeté orthogonal du point A\text{A} sur la droite dd est le point A\text{A}^ { \prime } appartenant à dd tel que les droites dd et (AA)\left( \mathrm { AA } ^ { \prime } \right) sont perpendiculaires.

1
On considère ci-dessous le quadrilatère ABCD\text{ABCD} de centre O.\text{O.}
quadrilatère pour activité de projection

a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets B\text{B} et D\text{D} sur la droite (AC)\text{(AC)} ainsi que les projetés orthogonaux des sommets A\text{A} et C\text{C} sur la droite (BD).\text{(BD).}

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b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.


2
On considère maintenant des points distincts des quatre sommets du quadrilatère.
a) Construire l’ensemble des points M\text{M} du plan tel que le projeté orthogonal de M\text{M} sur la droite (AC)\text{(AC)} soit le point O.\text{O.}
b) Construire l’ensemble des points N\text{N} du plan tel que le projeté orthogonal de N\text{N} sur la droite (BD)\text{(BD)} soit le point O.\text{O.}

AIDE

2
Si O\text{O} est le projeté orthogonal de M\text{M} sur la droite (AC)\text{(AC)}, quel lien existe-t-il entre les droites (MO)\text{(MO)} et (AC)\text{(AC)} ?

3
On change de configuration et on considère à présent une droite dd et deux points distincts A\text{A} et B\text{B} n’appartenant pas à d.d. On note A\mathrm { A } ^ { \prime } et B\mathrm { B } ^ { \prime } les projetés orthogonaux respectifs des points A\text{A} et B\text{B} sur la droite d.d . Le segment [AB]\left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] est alors le projeté orthogonal du segment [AB]\text{[AB]} sur la droite d.d .
Dans chacun des cas suivants :
  • faire une figure ;
  • tracer le segment [AB]\left[ \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } \right] ;
  • comparer les longueurs de AB \text{AB} et A’B’. \text{A'B'.}

a) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd sont parallèles.

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b) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd sont perpendiculaires.

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c) Les droites (AB) \text{(AB)} et dd ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points A\text{A} et B\text{B} relativement à la droite d.d .

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AIDE

3
c) On peut supposer que les points A\text{A} et B\text{B} sont du même côté de la droite d.d . Quelle est l’autre configuration possible ?
Voir les réponses


Bilan
Dans la configuration de la question
3
, pour quels cas a-t-on AB>AB\text{AB} > \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } , AB<AB\text{AB} \lt \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } et AB=AB\text{AB} = \mathrm { A } ^ { \prime } \mathrm { B } ^ { \prime } ?

B
Défaut d’orthogonalité



Objectif
Déterminer les différentes expressions du produit scalaire au travers d’une interprétation géométrique.


ABC\text{ABC} est un triangle quelconque du plan. On note :
  • H\text{H} le projeté orthogonal du point C\text{C} sur la droite (AB)\text{(AB)} ;
  • Δ\Delta le défaut d’orthogonalité du triangle ABC\text{ABC} défini par Δ=AB2+AC2BC22.\Delta=\dfrac{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}{2}.

1
Quelle est la valeur de Δ\Delta si le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en A\text{A} ?


2
On suppose que l’angle (AB,AC)(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle aigu.
a) Où se situe alors le point H\text{H} ?

b) En utilisant plusieurs fois le théorème de Pythagore dans des triangles bien choisis, démontrer queΔ=AB×AH.\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.

Défault d'orthogonalité

AIDE

2
3
Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AHC\text{AHC} et CHB\text{CHB} puis modifier l’expression de Δ.\Delta .

Schéma défault d'orthogonalité

3
On suppose que l’angle (AB,AC)(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}) est un angle obtus.
Démontrer que Δ=AB×AH.\Delta=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.


4
a) Prouver que, dans les deux cas, Δ=AB×AC×cos(AB,AC).\Delta=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).

b) Pourquoi parle-t-on alors de « défaut d’orthogonalité » ?


5
Justifier que Δ=AB2+AC2ACAB22.\Delta=\dfrac{\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\| \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^2}{2}.


6
On se place dans un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) et on considère les vecteurs AB(xy)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et AC(xy).\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{pmatrix}.
Prouver, à l’aide de la formule précédente, que Δ=xx+yy.\Delta=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

AIDE

4
Utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangle.
Voir les réponses


Bilan
Lister les quatre différentes expressions de Δ\Delta obtenues. Indiquer quelles données (coordonnées, longueurs, angles) sont nécessaires pour appliquer chacune des formules.

C
Les différentes propriétés du produit scalaire



Objectif
L’objectif est de démontrer les différentes propriétés du produit scalaire en utilisant sa forme analytique.


Voir les réponses
Dans un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) du plan, on considère les vecteurs u(x1y1)\vec{u}\begin{pmatrix}{x_{1}} \\ {y_{1}}\end{pmatrix}, v(x2y2)\vec{v}\begin{pmatrix}{x_{2}} \\ {y_{2}}\end{pmatrix} et w(x3y3).\vec{w}\begin{pmatrix}{x_{3}} \\ {y_{3}}\end{pmatrix}.
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.

1
Montrer que, pour tout réel kk, u(kv)=(ku)v=k(uv).\vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}).

2
Montrer que u(v+w)=uv+uw.\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}.


3
Montrer que uv=vu.\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.
Voir les réponses


Bilan
Quelle opération possède des propriétés analogues au produit scalaire ?

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