Produit scalaire

On considère une droite $d$ du plan et un point $\text{A}$ n'appartenant pas à cette droite. On rappelle que le projeté orthogonal du point $\text{A}$ sur la droite $d$ est le point ${\text{A}}^{\prime }$ appartenant à $d$ tel que les droites $d$ et $\left({\mathrm{AA}}^{\prime }\right)$ sont perpendiculaires. On considère ci-dessous le quadrilatère $\text{ABCD}$ de centre $\text{O.}$

a) Reproduire le quadrilatère et tracer les projetés orthogonaux des sommets $\text{B}$ et $\text{D}$ sur la droite $\text{(AC)}$ ainsi que les projetés orthogonaux des sommets $\text{A}$ et $\text{C}$ sur la droite $\text{(BD).}$


b) Donner deux exemples de quadrilatères où les quatre projetés orthogonaux obtenus de cette manière sont confondus. Justifier la réponse.

2

On considère maintenant des points distincts des quatre sommets du quadrilatère.
a) Construire l'ensemble des points $\text{M}$ du plan tel que le projeté orthogonal de $\text{M}$ sur la droite $\text{(AC)}$ soit le point $\text{O.}$
b) Construire l'ensemble des points $\text{N}$ du plan tel que le projeté orthogonal de $\text{N}$ sur la droite $\text{(BD)}$ soit le point $\text{O.}$

On change de configuration et on considère à présent une droite $d$ et deux points distincts $\text{A}$ et $\text{B}$ n'appartenant pas à $d.$ On note ${\mathrm{A}}^{\prime }$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }$ les projetés orthogonaux respectifs des points $\text{A}$ et $\text{B}$ sur la droite $d.$ Le segment $\left[{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\right]$ est alors le projeté orthogonal du segment $\text{[AB]}$ sur la droite $d.$
Dans chacun des cas suivants :

• faire une figure ;
• tracer le segment $\left[{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\right]$ ;
• comparer les longueurs de $\text{AB}$ et $\text{A’B’.}$

a) Les droites $\text{(AB)}$ et $d$ sont parallèles.

b) Les droites $\text{(AB)}$ et $d$ sont perpendiculaires.

c) Les droites $\text{(AB)}$ et $d$ ne sont ni parallèles, ni perpendiculaires : dans ce cas, trouver et tracer les deux configurations possibles en fonction des positions des points $\text{A}$ et $\text{B}$ relativement à la droite $d.$

Bilan

Dans la configuration de la question

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, pour quels cas a-t-on $\text{AB}>{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$, $\text{AB}<{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ et $\text{AB}={\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ ?

Bilan

Lister les quatre différentes expressions de $\Delta$ obtenues. Indiquer quelles données (coordonnées, longueurs, angles) sont nécessaires pour appliquer chacune des formules.

Dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan, on considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$, $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right).$
Répondre aux questions suivantes en se servant de la formule du produit scalaire utilisant les coordonnées de vecteurs.

Bilan

Quelle opération possède des propriétés analogues au produit scalaire ?