COURS 1


1
Les différentes expressions du produit scalaire




A
Formule trigonométrique


NOTATION

Le produit scalaire du vecteur u\vec{u} par lui-même, noté u2\vec{u}^2 ou u2\| \vec { u } \| ^ { 2 }, est un réel appelé carré scalaire de u.\vec{u} . Pour tout vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} on a AB2=AB2.\overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\mathrm{AB}^{2}.

LOGIQUE

Si un des deux vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul également. Attention, la réciproque est fausse.

Définition

L’angle formé par deux représentants des vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} de même origine se note (u,v).(\vec{u}, \vec{v}).

Exemple

On se place dans un triangle équilatéral ABC\text{ABC} de côté a\text{a}A\mathrm { A } ^ { \prime } est le milieu de [BC][\text{BC}] . On a : ABAC=AB×AC×cos(π3)=a×a×12=a22.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=a \times a \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{a^{2}}{2}.

Définition

Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u\vec{u} et v\vec{v} le réel, noté uv\vec{u} \cdot \vec{v} , défini par : uv=u×v×cos(u,v).\vec{u} \cdot \vec{v}=\|\vec{u}\| \times \| \vec{v} | \times \cos (\vec{u}, \vec{v}).

B
Formule du projeté orthogonal


Propriété

Soient AB\overrightarrow{\text{AB}} et AC\overrightarrow{\text{AC}} deux vecteurs du plan. H\text{H} est le projeté orthogonal du point C\text{C} sur la droite (AB).\text{(AB).} Alors, ABAC=ABAH.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}.

Formule du projeté orthogonal

DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 248.

Exemple

Dans un rectangle ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O}, en notant E\text{E} le milieu de [AB]\text{[AB]} et F\text{F} le milieu de [CD]\text{[CD]}, ABAC=ABAB=AB2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{AB}^{2} et AECF=AEEA=AE2.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EA}}=-\mathrm{AE}^{2}.

Remarque

Cette propriété est utilisée pour les calculs de produit scalaire dans des configurations avec des angles droits.

Cas particuliers : Cette propriété permet de souligner deux configurations particulières lorsque H(AB)\text{H} \in (\text{AB}) :
  • Si H[AB) \text{H} \in \text{[AB)}, alors ABAC=AB×AH.\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB} \times \text{AH}.
  • Si H[AB)\mathrm{H} \notin[\mathrm{AB}), ABAC=AB×AH.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AH}.

C
Dans un repère orthonormé


DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 249.

Exemple

Avec u(43) \vec{u}\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix} et v(15)\vec{v}\begin{pmatrix}{1} \\ {5}\end{pmatrix}, uv=4×1+(3)×5=415=11.\vec{u} \cdot \vec{v}=4 \times 1+(-3) \times 5=4-15=-11.
De plus, uu=42+(3)2=16+9=25=u2\vec{u} \cdot \vec{u}=4^{2}+(-3)^{2}=16+9=25=\|\vec{u}\|^{2} et vv=12+52=1+25=26=v2.\vec{v} \cdot \vec{v}=1^{2}+5^{2}=1+25=26=\| \vec{v} \|^{2}.

Théorème
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs de coordonnées respectives (xy)\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et (xy)\begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix} dans un repère orthonormé. Alors uv=xx+yy.\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y'.

LOGIQUE

Avec ce théorème, on retrouve que uu=u2.\vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.

Application et méthode


SOLUTION

1. ABAC=AB×AC×cos(AB,AC)=5×42×cos(π4)=202×22=20.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=5 \times 4 \sqrt{2} \times \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=20 \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=20.

2. H\text{H} est le pied de la hauteur issue de C\text{C} donc H\text{H} est le projeté orthogonal de C\text{C} sur (AB)\text{(AB)} , donc ABAC=ABAH=5×4=20.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}=5 \times 4=20.

3. xAB=xBxA=4(1)=5x_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}=4-(-1)=5 et yAB=yByA=1(1)=0.y_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}=-1-(-1)=0.
On fait de même pour AC.\mathrm{AC.} Ainsi, on a : AB(50)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{5} \\ {0}\end{pmatrix} et AC(44)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{4} \\ {4}\end{pmatrix}, donc ABAC=5×4+0×4=20.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=5 \times 4+0 \times 4=20.

Pour s'entraîner : exercices 23 à 26 p. 243

SOLUTION

1. Avec le théorème de Pythagore dans le triangle AEF\text{AEF} on a : AF=AE2+FE2=(2c)2+c2=4c2+c2=5c2=c5\mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{FE}^{2}}=\sqrt{(2 c)^{2}+c^{2}}=\sqrt{4 c^{2}+c^{2}}=\sqrt{5 c^{2}}=c \sqrt{5} et avec les formules de trigonométrie : cos(EAF^)=AEAF=2cc5=25.\cos (\widehat{\mathrm{EAF}})=\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{2 c}{c \sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Donc AEAI=AE×AI×cos(AE,AI)=2c×c52×25=2c2.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\mathrm{AE} \times \mathrm{AI} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{AI}})=2 c \times \dfrac{c \sqrt{5}}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{5}}=2 c^{2}.

2. (IB)(AE)(\mathrm{IB}) \perp(\mathrm{AE}) donc B\text{B} est le projeté orthogonal de I\text{I} sur (AE)\text{(AE)} donc : AEAI=AEAB=2c×c=2c2.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 c \times c=2 c^{2}.

3. Dans le repère orthonormé (A;1cAB,1cAD)\left(\mathrm{A} ; \dfrac{1}{\mathrm{c}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \dfrac{1}{\mathrm{c}} \overrightarrow{\mathrm{AD}}\right), on a AE(2c0)\overrightarrow{\mathrm{AE}}\begin{pmatrix}{2 c} \\ {0}\end{pmatrix} et AI(cc2)\overrightarrow{\mathrm{AI}}\begin{pmatrix}{c} \\ {\dfrac{c}{2}}\end{pmatrix} donc AEAI=2c×c+0×c2=2c2.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}=2 c \times c+0 \times \dfrac{c}{2}=2 c^{2}.

Pour s'entraîner : exercices 23 à 26 p. 243

Méthode

On choisit la formule du produit scalaire la plus adaptée en analysant la configuration :
1. trigonométrique lorsque les angles de la configuration sont connus ;

2. le projeté orthogonal dans une configuration comprenant des angles droits ;

3. dans un repère lorsque des coordonnées sont connues ou calculables.

Méthode

1. On utilise la formule trigonométrique : on doit donc calculer les longueurs et la mesure de l’angle qui nous intéressent.

2. On utilise la formule du projeté orthogonal : B\text{B} est le projeté orthogonal de I\text{I} sur la droite (AE).\text{(AE).}

3. On utilise la formule avec les coordonnées : pour cela, on choisit un repère orthonormé adapté à la situation.

Énoncé

Utiliser les différentes expressions du produit scalaire

Les côtés des carrés accolés ABCD\text{ABCD} et BEFC\text{BEFC} ont pour longueur non nulle c.c . I\text{I} est l’intersection des segments [AF][\text{AF}] et [BC].[\text{BC}] . Utiliser trois différentes expressions du produit scalaire pour calculer AEAI.\overrightarrow{\mathrm{AE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AI}}.

Dans un repère orthonormé

Énoncé

Utiliser la formule adaptée

Dans chaque cas, calculer ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} dans le triangle ABC.\text{ABC}.

1. AB=5\mathrm{AB}=5, AC=42\mathrm{AC}=4 \sqrt{2} et (AB,AC)=π4.(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}.

2. AB=5\mathrm{AB}=5 et AH=4\mathrm{AH}=4H\mathrm{H} est le pied de la hauteur issue de C.\mathrm{C.} De plus, H[AB).\mathrm{H} \in[\mathrm{AB}).

3. A(1;1)\mathrm{A}(-1\, ;-1), B(4;1)\mathrm{B}(4\, ;-1) et C(3;3)\mathrm{C}(3\, ; 3) dans un repère orthonormé.
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