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Propriétés du produit scalaire
P.234-235

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COURS 2


2
Propriétés du produit scalaire




A
Bilinéarité et symétrie


Propriétés

Pour tous vecteurs u\overrightarrow{u}, v\overrightarrow{v} et w\overrightarrow{w} du plan et pour tout réel kk,

1. u(v+w)=uv+uw\overrightarrow{u} \cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} ;
2. u(kv)=(ku)v=k(uv)\overrightarrow{u} \cdot(k \overrightarrow{v})=(k \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) ;
3. uv=vu.\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.

Remarque

On dit que le produit scalaire est bilinéaire et symétrique.

DÉMONSTRATION

On admet le point 1.. On utilise la définition du produit scalaire pour démontrer les points 2. et 3. en remarquant que :
  • si k>0k>0, cos(ku,v)=cos(u,v)\cos (k \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=\cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) et ku=ku\|k \overrightarrow{u}\|=k\|\overrightarrow{u}\| ;
  • si k<0k\lt 0, cos(ku,v)=cos(u,v)\cos (k \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=-\cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) et ku=ku\|k \overrightarrow{u}\|=-k\|\overrightarrow{u}\| ;
  • cos(u,v)=cos(v,u).\cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})=\cos (\overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}).

Propriétés

Pour tous vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} du plan,

1. uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}\|^{2}-\|\overrightarrow{v}\|^{2}\right) ;

2. uv=12(u2+v2uv2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}\|^{2}+\|\overrightarrow{v}\|^{2}-\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^{2}\right) ;

3. uv=14(u+v2uv2).\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^{2}-| \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \|^{2}\right).

Remarque

Cette propriété donne de nouvelles formules pour calculer un produit scalaire.

DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 247.

Conséquence : Dans un triangle ABC\text{ABC}, la deuxième formule des normes peut s’appliquer de la manière suivante : ABAC=12(AB2+AC2ABAC2)=12(AB2+AC2CB2).\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2})=\dfrac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}).

Exemple

Si AB=6\text{AB}=6, AC=5\text{AC}=5 et CB=4\text{CB}=4 alors :
ABAC=12(AB2+AC2CB2)=12(62+5242)=12(36+2516)=452.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(6^{2}+5^{2}-4^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(36+25-16)=\dfrac{45}{2}.

Application et méthode

Énoncé

Calculer des angles et des longueurs dans le plan

Le triangle isocèle ABC\text{ABC} est inscrit dans un trapèze rectangle ABDE.\text{ABDE.} Les longueurs sont données en centimètre.
1. Avec ABED\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, approximer au dixième de degré près la mesure de l’angle (EA,ED).(\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
2. Avec EAEC\overrightarrow{\mathrm{EA} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}, approximer au dixième de centimètre près la longueur AC .\text{AC .}

Bilinéarité et symétrie

Méthode

1. Il faut penser à utiliser la formule du projeté orthogonal pour obtenir le produit scalaire, puis la formule trigonométrique pour calculer l’angle cherché.

2. On utilise la formule trigonométrique pour calculer le produit scalaire voulu puis, à l’aide d’une propriété, on calcule la longueur cherchée.


SOLUTION

1. A\text{A} est le projeté orthogonal de E\text{E} sur (AB)\text{(AB)} et B\text{B} est le projeté orthogonal de D\text{D} sur (AB)\text{(AB)} donc : ABED=ABAB=42=16\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=4^{2}=16 Or, par définition, ABED=AB×ED×cos(AB,ED)=85×cos(AB,ED).\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{ED}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
Donc 85×cos(AB,ED)=168 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=16, donc cos(AB,ED)=25.\cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Avec la calculatrice, on trouve (AB,ED)26,6.(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 26{,}6^{\circ}. Donc (FA,ED)63,4.(\overrightarrow{\mathrm{FA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 63{,}4^{\circ}.

2. EAEC=EA×EC×cos(EA,EC)=4×5×cos(63,4)4.\overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{EA}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{EC}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{EC}})=4 \times \sqrt{5} \times \cos \left(63{,}4^{\circ}\right) \approx 4.
Or, EAEC=12(EA2+EC2AC2)=12(21AC2).\overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{EA}^{2}+\mathrm{EC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right).
Donc 12(21AC2)4\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right) \approx 4, par conséquent AC213\mathrm{AC}^{2} \approx 13 et AC3,6\mathrm{AC} \approx 3{,}6 cm.
Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 243 et 51 p. 246

B
Orthogonalité


Définition

Les vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et CD\overrightarrow{\text{CD}} sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}) sont perpendiculaires.

NOTATION

On pourra utiliser la notation ABCD.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}.

Propriété

Deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont orthogonaux si et seulement si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0

Remarque

Cette propriété implique que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 247.

Application et méthode

Énoncé

On considère un rectangle ABCD\text{ABCD} tel que AB=32BC\text{AB}=\dfrac{3}{2} \text{BC}, AF=23AB\overrightarrow{\mathrm{A} \mathrm{F}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et BE=14BC.\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
Que peut-on dire des droites (DE)(\text{DE}) et (CF)(\text{CF}) ?

Orthogonalité

Méthode

On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître des sommes des vecteurs et simplifier le produit scalaire en utilisant des vecteurs orthogonaux.

SOLUTION

DECF=(DC+CE)(CB+BF)=DCCB+DCBF+CECB+CEBF=0+AB13BA+34CBCB+0=13AB2+34CB2=13(32BC)2+34CB2=13×94×BC2+34CB2=34BC2+34CB2=0\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}} &=(\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}) \\&=\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}} \\&=0+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+0 \\&=\dfrac{-1}{3} \mathrm{AB}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-1}{3}\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-1}{3} \times \dfrac{9}{4} \times \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-3}{4} \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=0\end{aligned}

Les droites (DE)(\text{DE}) et (CF)(\text{CF}) sont donc perpendiculaires.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 243
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