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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 9

Cours 2

Propriétés du produit scalaire

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A
Bilinéarité et symétrie

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Propriété

Pour tous vecteurs

u

v

w

du plan et pour tout réel

k

,

1.

u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w

;
2.

u \cdot (k v) = (k u) \cdot v = k (u \cdot v)

;
3.

u \cdot v = v \cdot u .

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Remarque

On dit que le produit scalaire est bilinéaire et symétrique.

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Démonstration

On admet le point 1.. On utilise la définition du produit scalaire pour démontrer les points 2. et 3. en remarquant que :

si $k > 0$ , $cos (k u, v) = cos (u, v)$ et $∥ k u ∥ = k ∥ u ∥$ ;
si $k < 0$ , $cos (k u, v) = - cos (u, v)$ et $∥ k u ∥ = - k ∥ u ∥$ ;
$cos (u, v) = cos (v, u) .$

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Propriété

Pour tous vecteurs

u

v

du plan,

1.

u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})

;

2.

u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} - ∥ u - v ∥^{2})

;

3.

u \cdot v = \frac{1}{4} (∥ u + v ∥^{2} - ∣∣ u - v ∥^{2}) .

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Remarque

Cette propriété donne de nouvelles formules pour calculer un produit scalaire.

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Démonstration

Voir ex.

p. 247.

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Conséquence

Dans un triangle

ABC

, la deuxième formule des normes peut s'appliquer de la manière suivante :

AB \cdot AC = \frac{1}{2} (∥ AB ∥^{2} + ∥ AC ∥^{2} - ∥ AB - AC ∥^{2}) = \frac{1}{2} (AB^{2} + AC^{2} - CB^{2}) .

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Exemple

AB = 6

AC = 5

CB = 4

alors :

AB \cdot AC = \frac{1}{2} (AB^{2} + AC^{2} - CB^{2}) = \frac{1}{2} (6^{2} + 5^{2} - 4^{2}) = \frac{1}{2} (36 + 25 - 16) = \frac{45}{2} .

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Application et méthode

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Énoncé
Calculer des angles et des longueurs dans le plan

Le triangle isocèle

ABC

est inscrit dans un trapèze rectangle

ABDE.

Les longueurs sont données en centimètre.
1. Avec

AB \cdot ED

, approximer au dixième de degré près la mesure de l'angle

(EA, ED) .

2. Avec

EA \cdot EC

, approximer au dixième de centimètre près la longueur

AC .

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Méthode

1. Il faut penser à utiliser la formule du projeté orthogonal pour obtenir le produit scalaire, puis la formule trigonométrique pour calculer l'angle cherché.

2. On utilise la formule trigonométrique pour calculer le produit scalaire voulu puis, à l'aide d'une propriété, on calcule la longueur cherchée.

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Solution

A

est le projeté orthogonal de

E

sur

(AB)

B

est le projeté orthogonal de

D

sur

(AB)

donc :

AB \cdot ED = AB \cdot AB = 4^{2} = 16

Or, par définition,

AB \cdot ED = ∥ AB ∥ \times ∥ ED ∥ \times cos (AB, ED) = 85 \times cos (AB, ED) .

Donc

85 \times cos (AB, ED) = 16

, donc

cos (AB, ED) = \frac{2}{5} .

Avec la calculatrice, on trouve

(AB, ED) \approx 26, 6^{\circ} .

Donc

(EA, ED) \approx 63, 4^{\circ} .

EA \cdot EC = ∥ EA ∥ \times ∥ EC ∥ \times cos (EA, EC) = 4 \times 5 \times cos (63, 4^{\circ}) \approx 4.

Or,

EA \cdot EC = \frac{1}{2} (EA^{2} + EC^{2} - AC^{2}) = \frac{1}{2} (21 - AC^{2}) .

Donc

\frac{1}{2} (21 - AC^{2}) \approx 4

, par conséquent

AC^{2} \approx 13

AC \approx 3, 6

cm.

Pour s'entraîner

exercices 27
et 28
p. 243 et 51
p. 246

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B
Orthogonalité

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Définition

Les vecteurs

AB

CD

sont dits orthogonaux lorsque les droites

(AB)

(CD)

sont perpendiculaires.

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Notation

On pourra utiliser la notation

AB ⊥ CD .

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Propriété

Deux vecteurs

u

v

sont orthogonaux si et seulement si

u \cdot v = 0

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Remarque

Cette propriété implique que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

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Démonstration

Voir ex.

p. 247.

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Application et méthode

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Énoncé

On considère un rectangle

ABCD

tel que

AB = \frac{3}{2} BC

AF = \frac{2}{3} AB

BE = \frac{1}{4} BC .

Que peut-on dire des droites

(DE)

(CF)

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Méthode

On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître des sommes des vecteurs et simplifier le produit scalaire en utilisant des vecteurs orthogonaux.

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Solution

DE \cdot CF = (DC + CE) \cdot (CB + BF) = DC \cdot CB + DC \cdot BF + CE \cdot CB + CE \cdot BF = 0 + AB \cdot \frac{1}{3} BA + \frac{3}{4} CB \cdot CB + 0 = \frac{- 1}{3} AB^{2} + \frac{3}{4} CB^{2} = \frac{- 1}{3} (\frac{3}{2} BC)^{2} + \frac{3}{4} CB^{2} = \frac{- 1}{3} \times \frac{9}{4} \times BC^{2} + \frac{3}{4} CB^{2} = \frac{- 3}{4} BC^{2} + \frac{3}{4} CB^{2} = 0

Les droites

(DE)

(CF)

sont donc perpendiculaires.

Pour s'entraîner

exercices 29
et 30
p. 243

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Ch. 5Applications de la dérivation

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Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Propriétés du produit scalaire

ABilinéarité et symétrie

Remarque

Remarque

ÉnoncéCalculer des angles et des longueurs dans le plan

Méthode

BOrthogonalité

Notation

Remarque

Méthode

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Fonction exponentielle

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Trigonométrie

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Fonctions trigonométriques

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

A
Bilinéarité et symétrie

Énoncé
Calculer des angles et des longueurs dans le plan

B
Orthogonalité