COURS 2


2
Propriétés du produit scalaire




Application et méthode


Méthode

On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître des sommes des vecteurs et simplifier le produit scalaire en utilisant des vecteurs orthogonaux.

Orthogonalité

Énoncé

On considère un rectangle ABCD\text{ABCD} tel que AB=32BC\text{AB}=\dfrac{3}{2} \text{BC}, AF=23AB\overrightarrow{\mathrm{A} \mathrm{F}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}} et BE=14BC.\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
Que peut-on dire des droites (DE)(\text{DE}) et (CF)(\text{CF}) ?

SOLUTION

DECF=(DC+CE)(CB+BF)=DCCB+DCBF+CECB+CEBF=0+AB13BA+34CBCB+0=13AB2+34CB2=13(32BC)2+34CB2=13×94×BC2+34CB2=34BC2+34CB2=0\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}} &=(\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}) \\&=\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}} \\&=0+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}+0 \\&=\dfrac{-1}{3} \mathrm{AB}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-1}{3}\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{BC}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-1}{3} \times \dfrac{9}{4} \times \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=\dfrac{-3}{4} \mathrm{BC}^{2}+\dfrac{3}{4} \mathrm{CB}^{2} \\&=0\end{aligned}

Les droites (DE)(\text{DE}) et (CF)(\text{CF}) sont donc perpendiculaires.

Pour s'entraîner : exercices 29 et 30 p. 243

B
Orthogonalité

Remarque

Cette propriété implique que le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Définition

Les vecteurs AB\overrightarrow{\text{AB}} et CD\overrightarrow{\text{CD}} sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB)(\text{AB}) et (CD)(\text{CD}) sont perpendiculaires.

Propriété

Deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux si et seulement si uv=0\vec{u} \cdot \vec{v}=0

DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 247.

NOTATION

On pourra utiliser la notation ABCD.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}.

A
Bilinéarité et symétrie

Remarque

Cette propriété donne de nouvelles formules pour calculer un produit scalaire.

Propriétés

Pour tous vecteurs u\vec{u}, v\vec{v} et w\vec{w} du plan et pour tout réel kk,

1. u(v+w)=uv+uw\vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w} ;
2. u(kv)=(ku)v=k(uv)\vec{u} \cdot(k \vec{v})=(k \vec{u}) \cdot \vec{v}=k(\vec{u} \cdot \vec{v}) ;
3. uv=vu.\vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}.

Remarque

On dit que le produit scalaire est bilinéaire et symétrique.

Propriétés

Pour tous vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} du plan,

1. uv=12(u+v2u2v2)\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right) ;

2. uv=12(u2+v2uv2)\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right) ;

3. uv=14(u+v2uv2).\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-| \vec{u}-\vec{v} \|^{2}\right).

Conséquence : Dans un triangle ABC\text{ABC}, la deuxième formule des normes peut s’appliquer de la manière suivante : ABAC=12(AB2+AC2ABAC2)=12(AB2+AC2CB2).\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}(\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}+\|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2}-\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}\|^{2})=\dfrac{1}{2}(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}).

Exemple

Si AB=6\text{AB}=6, AC=5\text{AC}=5 et CB=4\text{CB}=4 alors :
ABAC=12(AB2+AC2CB2)=12(62+5242)=12(36+2516)=452.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{CB}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(6^{2}+5^{2}-4^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(36+25-16)=\dfrac{45}{2}.

DÉMONSTRATION

On admet le point 1.. On utilise la définition du produit scalaire pour démontrer les points 2. et 3. en remarquant que :
  • si k>0k>0, cos(ku,v)=cos(u,v)\cos (k \vec{u}, \vec{v})=\cos (\vec{u}, \vec{v}) et ku=ku\|k \vec{u}\|=k\|\vec{u}\| ;
  • si k<0k\lt 0, cos(ku,v)=cos(u,v)\cos (k \vec{u}, \vec{v})=-\cos (\vec{u}, \vec{v}) et ku=ku\|k \vec{u}\|=-k\|\vec{u}\| ;
  • cos(u,v)=cos(v,u).\cos (\vec{u}, \vec{v})=\cos (\vec{v}, \vec{u}).

DÉMONSTRATION

Voir ex. p. 247.

Application et méthode

Énoncé

Calculer des angles et des longueurs dans le plan

Le triangle isocèle ABC\text{ABC} est inscrit dans un trapèze rectangle ABDE.\text{ABDE.} Les longueurs sont données en centimètre.
1. Avec ABED\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}, approximer au dixième de degré près la mesure de l’angle (EA,ED).(\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
2. Avec EAEC\overrightarrow{\mathrm{EA} } \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}, approximer au dixième de centimètre près la longueur AC .\text{AC .}

Méthode

1. Il faut penser à utiliser la formule du projeté orthogonal pour obtenir le produit scalaire, puis la formule trigonométrique pour calculer l’angle cherché.

2. On utilise la formule trigonométrique pour calculer le produit scalaire voulu puis, à l’aide d’une propriété, on calcule la longueur cherchée.


Bilinéarité et symétrie

SOLUTION

1. A\text{A} est le projeté orthogonal de E\text{E} sur (AB)\text{(AB)} et B\text{B} est le projeté orthogonal de D\text{D} sur (AB)\text{(AB)} donc : ABED=ABAB=42=16\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=4^{2}=16 Or, par définition, ABED=AB×ED×cos(AB,ED)=85×cos(AB,ED).\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{ED}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=8 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}).
Donc 85×cos(AB,ED)=168 \sqrt{5} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=16, donc cos(AB,ED)=25.\cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}})=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Avec la calculatrice, on trouve (AB,ED)26,6.(\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 26{,}6^{\circ}. Donc (FA,ED)63,4.(\overrightarrow{\mathrm{FA}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}) \approx 63{,}4^{\circ}.

2. EAEC=EA×EC×cos(EA,EC)=4×5×cos(63,4)4.\overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\|\overrightarrow{\mathrm{EA}}\| \times\|\overrightarrow{\mathrm{EC}}\| \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{EA}}, \overrightarrow{\mathrm{EC}})=4 \times \sqrt{5} \times \cos \left(63{,}4^{\circ}\right) \approx 4.
Or, EAEC=12(EA2+EC2AC2)=12(21AC2).\overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{EA}^{2}+\mathrm{EC}^{2}-\mathrm{AC}^{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right).
Donc 12(21AC2)4\dfrac{1}{2}\left(21-\mathrm{AC}^{2}\right) \approx 4, par conséquent AC213\mathrm{AC}^{2} \approx 13 et AC3,6\mathrm{AC} \approx 3{,}6 cm.
Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 243 et 51 p. 246
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