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Produit scalaire
P.228-229

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Chapitre 9


Produit scalaire





Jeux vidéo et produit scalaire


Le produit scalaire est un outil utilisé en infographie pour la réalisation de décors en trois dimensions. Il permet, par exemple, de délimiter le champ de vision d’un personnage, ainsi que les faces visibles de bâtiments ou d’objets qu’il faudra créer en conséquence.

Capacités attendues - chapitre 9

1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée.
2. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur.
3. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur normal.

Avant de commencer

Prérequis

1. Calculer la norme d’un vecteur.
2. Travailler avec des coordonnées.
3. Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus.
4. Tracer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
5. Vérifier l’appartenance d’un point à une droite.
6. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur directeur.
7. Utiliser la relation de Chasles.
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1
Calculer des normes de vecteurs

On considère, dans un repère orthonormé, les vecteurs et
Calculer les coordonnées et les normes des vecteurs suivants.

1.

2.

3.
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2
Déterminer des coordonnées de vecteurs

Dans le carré est inscrit le triangle équilatéral est le milieu du segment
Quelles sont les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère ?

Produit scalaire
1.

2.

3.

4.

5.
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3
Connaître les valeurs remarquables

Compléter le tableau des valeurs remarquables du sinus et du cosinus.

     
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4
Utiliser le projeté orthogonal d’un point

1. Tracer le triangle tel que cm, cm et

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2. a. Construire le point , projeté orthogonal de sur la droite

b. Que représente la droite


3. a. Calculer les valeurs exactes des longueurs et


b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle
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5
Utiliser une équation de droite

On considère le point Dans chaque cas, déterminer si le point appartient à la droite donnée.

1. Droite d’équation

2. Droite d’équation

3. Droite d’équation
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6
Déterminer un vecteur directeur

Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites suivantes.

1. Droite d’équation

2. Droite d’équation

3. Droite d’équation

4. Droite d’équation

5. Droite passant par les points et

6. Droite verticale.
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7
Problème

Soit un parallélogramme. Le point est tel que , le point tel que et le point tel que

1. Construire la figure correspondante.

2. Montrer que les droites et sont parallèles.
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Anecdote

L’origine du produit scalaire remonte à la création des quaternions (nombres de dimension 4) par le mathématicien irlandais Sir William Rowan Hamilton, en 1843. La première composante d’un quaternion est appelée la composante scalaire et les trois autres sont appelées les composantes vectorielles.
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