Produit scalaire
P.228-229
Chapitre 9
Produit scalaire
Le produit scalaire est un outil utilisé en infographie pour la réalisation de décors en trois dimensions. Il permet, par exemple, de délimiter le champ de vision d’un personnage, ainsi que les faces visibles de bâtiments ou d’objets qu’il faudra créer en conséquence.
Capacités attendues - chapitre 9
1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée.
2. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur.
3. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur normal.
2. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur.
3. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur normal.
Avant de commencer
Prérequis
1. Calculer la norme d’un vecteur.
2. Travailler avec des coordonnées.
3. Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus.
4. Tracer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
5. Vérifier l’appartenance d’un point à une droite.
6. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur directeur.
7. Utiliser la relation de Chasles.
2. Travailler avec des coordonnées.
3. Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus.
4. Tracer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
5. Vérifier l’appartenance d’un point à une droite.
6. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur directeur.
7. Utiliser la relation de Chasles.
1
Calculer des normes de vecteurs
On considère, dans un repère orthonormé, les vecteurs et 1
Calculer les coordonnées et les normes des vecteurs suivants.
1.
2.
3.
2
Déterminer des coordonnées de vecteurs
Dans le carré est inscrit le triangle équilatéral est le milieu du segment 2
Quelles sont les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère ?
2.
3.
4.
5.
3
Connaître les valeurs remarquables
Compléter le tableau des valeurs remarquables du sinus et du cosinus.
3
4
Utiliser le projeté orthogonal d’un point
1. Tracer le triangle tel que cm, cm et 4
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2. a. Construire le point , projeté orthogonal de sur la droite
b. Que représente la droite
3. a. Calculer les valeurs exactes des longueurs et
b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle
5
Utiliser une équation de droite
On considère le point Dans chaque cas, déterminer si le point appartient à la droite donnée.
5
1. Droite d’équation
2. Droite d’équation
3. Droite d’équation
6
Déterminer un vecteur directeur
Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites suivantes.
6
1. Droite d’équation
2. Droite d’équation
3. Droite d’équation
4. Droite d’équation
5. Droite passant par les points et
6. Droite verticale.
7
Problème
Soit un parallélogramme. Le point est tel que , le point tel que et le point tel que
7
1. Construire la figure correspondante.
2. Montrer que les droites et sont parallèles.
Anecdote
L’origine du produit scalaire remonte à la création des quaternions (nombres de dimension 4) par le mathématicien irlandais Sir William Rowan Hamilton, en 1843. La première composante d’un quaternion est appelée la composante scalaire et les trois autres sont appelées les composantes vectorielles.