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Chapitre 9


Produit scalaire






Le produit scalaire est un outil utilisé en infographie pour la réalisation de décors en trois dimensions. Il permet, par exemple, de délimiter le champ de vision d’un personnage, ainsi que les faces visibles de bâtiments ou d’objets qu’il faudra créer en conséquence.

Capacités attendues - chapitre 9

1. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée.
2. Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur.
3. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur normal.

Avant de commencer

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5
Utiliser une équation de droite

On considère le point A(2;3).\text{A}(-2\, ; 3). Dans chaque cas, déterminer si le point A\text{A} appartient à la droite donnée.

1. Droite d1d_1 d’équation 8x2y+10=0.8 x-2 y+10=0.

2. Droite d2d_2 d’équation 7y+3x15=0.7 y+3 x-15=0.

3. Droite d3d_3 d’équation 12x=4y5.\dfrac{1}{2} x=4 y-5.

Prérequis

1. Calculer la norme d’un vecteur.
2. Travailler avec des coordonnées.
3. Connaître les valeurs remarquables du sinus et du cosinus.
4. Tracer le projeté orthogonal d’un point sur une droite.
5. Vérifier l’appartenance d’un point à une droite.
6. Faire le lien entre équation cartésienne de droite et vecteur directeur.
7. Utiliser la relation de Chasles.
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4
Utiliser le projeté orthogonal d’un point

1. Tracer le triangle ABC\text{ABC} tel que AB=5\text{AB} = 5 cm, AC=10\text{AC} = 10 cm et BAC^=30.\widehat{\mathrm{BAC}}=30^{\circ}.

Lancer le module Geogebra

2. a. Construire le point H\text{H}, projeté orthogonal de B\text{B} sur la droite (AC).\text{(AC).}

b. Que représente la droite (BH)?(\text{BH}) \:?


3. a. Calculer les valeurs exactes des longueurs BH\text{BH} et AH.\text{AH.}


b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle ABC.\text{ABC.}
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7
Problème

Soit ABCD\text{ABCD} un parallélogramme. Le point E\text{E} est tel que DC=CE\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{CE}}, le point F\text{F} tel que DF=2DA\overrightarrow{\mathrm{DF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DA}} et le point G\text{G} tel que BG=AC+DE.\overrightarrow{\mathrm{BG}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}.

1. Construire la figure correspondante.

2. Montrer que les droites (AE)\text{(AE)} et (FG)(\text{FG}) sont parallèles.
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6
Déterminer un vecteur directeur

Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites suivantes.

1. Droite d1d_1 d’équation 3x4y+5=0.3 x-4 y+5=0.

2. Droite d2d_2 d’équation 7y9x=2.7 y-9 x=2.

3. Droite d3d_3 d’équation x=2y.x=-2 y.

4. Droite d4d_4 d’équation 23y+34=0.\dfrac{2}{3} y+\dfrac{3}{4}=0.

5. Droite d5d_5 passant par les points A(2;4)\mathrm{A}(2\, ;-4) et B(1;5).\mathrm{B}(-1\, ;-5).

6. Droite d6d_6 verticale.

Anecdote

L’origine du produit scalaire remonte à la création des quaternions (nombres de dimension 4) par le mathématicien irlandais Sir William Rowan Hamilton, en 1843. La première composante d’un quaternion est appelée la composante scalaire et les trois autres sont appelées les composantes vectorielles.
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2
Déterminer des coordonnées de vecteurs

Dans le carré ABCD\text{ABCD} est inscrit le triangle équilatéral ABE.\text{ABE.} I\text{I} est le milieu du segment [AB].\text{[AB].}
Quelles sont les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère (A;AB,AD)(\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) ?

Produit scalaire
1. DC\overrightarrow{\mathrm{DC}}

2. BI\overrightarrow{\mathrm{BI}}

3. AC\overrightarrow{\mathrm{AC}}

4. AE\overrightarrow{\mathrm{AE}}

5. DE\overrightarrow{\mathrm{DE}}
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3
Connaître les valeurs remarquables

Compléter le tableau des valeurs remarquables du sinus et du cosinus.

 xx  sin(x)\sin(x)  cos(x)\cos(x)
00
π6\dfrac{\pi}{6}
π4\dfrac{\pi}{4}
π3\dfrac{\pi}{3}
π2\dfrac{\pi}{2}
π\pi
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1
Calculer des normes de vecteurs

On considère, dans un repère orthonormé, les vecteurs u(14)\vec{u}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {4}\end{array}\right) et v(32).\vec{v}\left(\begin{array}{c}{-3} \\ {2}\end{array}\right).
Calculer les coordonnées et les normes des vecteurs suivants.

1. vu\vec{v}-\vec{u}

2. 3u+v3 \vec{u}+\vec{v}

3. u+2×v\vec{u}+\sqrt{2} \times \vec{v}

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