Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'une est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.

On suppose que d et d' sont perpendiculaires. Si \vec{u} est un vecteur directeur de d et \vec{v} de d', alors \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux. \vec{v} étant normal à d et \vec{u} à d', la propriété est vérifiée.
Réciproquement, si \vec{u}, vecteur normal à d, est orthogonal à \vec{v}, vecteur normal à d', alors \vec{v} est un vecteur directeur de d et \vec{u} de d'. Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, d et d' sont perpendiculaires.

1. Si \vec{n}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} est un vecteur normal à d , alors il est orthogonal à \vec{u} . Donc \vec{u} \cdot \vec{n}=3 x+5 y=0 soit y=-\dfrac{3}{5} x.
Les coordonnées de \vec{n} sont donc de la forme \begin{pmatrix}{x} \\ {-\dfrac{3}{5} x}\end{pmatrix} avec x \in \R.

2. En remplaçant x par -10 dans l'expression de \vec{n}, on obtient \begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} donc \vec{v} est normal à d .

exercices

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p. 248

Un vecteur directeur de la droite d d'équation ax + by + c = 0 est \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}. Soit \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}, alors \vec{u} \cdot \vec{n}=(-b) \times a+a \times b=0, donc \vec{n} est un vecteur normal à d .
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Soit \vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}, alors \vec{n} et \vec{u} sont orthogonaux : \vec{u} est donc un vecteur directeur d'une droite d ayant une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 , où c est un réel à déterminer.

La droite d'équation cartésienne 3x - 4y + 5 = 0 admet pour vecteur normal le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-4}\end{pmatrix} et pour vecteur directeur le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}{4} \\ {3}\end{pmatrix}. On a bien \vec{n} \cdot \vec{u}=0.