Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus


COURS 3


3
Vecteur normal




A
Généralités


Définition

Un vecteur normal à une droite dd quelconque du plan est un vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de d.d .

Remarque

Ce vecteur est alors orthogonal à tout vecteur directeur de d.d .

Propriété

Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’une est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.

DÉMONSTRATION

On suppose que dd et dd' sont perpendiculaires. Si u\vec{u} est un vecteur directeur de dd et v\vec{v} de dd', alors u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux. v\vec{v} étant normal à dd et u\vec{u} à dd', la propriété est vérifiée.
Réciproquement, si u\vec{u}, vecteur normal à dd, est orthogonal à v\vec{v}, vecteur normal à dd', alors v\vec{v} est un vecteur directeur de dd et u\vec{u} de d.d'. Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, dd et dd' sont perpendiculaires.

Exemple

On considère un carré ABCD\text{ABCD} de centre O.\text{O.} Les vecteurs AD\overrightarrow{\text{AD}} et BC\overrightarrow{\text{BC}} sont tous les deux des vecteurs normaux à la droite (AB).\text{(AB).} Les vecteurs BO\overrightarrow{\text{BO}} et BD\overrightarrow{\text{BD}} sont des vecteurs normaux à (AC).\text{(AC).}

Schéma d'un carré avec ses diagonales

Application et méthode

Énoncé

Soit dd une droite de vecteur directeur u(35).\vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {5}\end{pmatrix}.
1. Déterminer une condition sur les coordonnées d’un vecteur n\vec{n} non nul pour qu’il soit normal à d.d .
2. Le vecteur v(106)\vec{v}\begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} est-il un vecteur normal à dd ?

Méthode

1. On applique le critère de colinéarité sur les coordonnées des deux vecteurs u\vec{u} et n\vec{n} afin d’exprimer l’ordonnée de n\vec{n} en fonction de son abscisse.

2. On vérifie que les coordonnées de v\vec{v} respectent la condition de la question 1..

SOLUTION

1. Si n(xy)\vec{n}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} est un vecteur normal à dd , alors il est orthogonal à u.\vec{u} . Donc un=3x+5y=0\vec{u} \cdot \vec{n}=3 x+5 y=0 soit y=35x.y=-\dfrac{3}{5} x.
Les coordonnées de n\vec{n} sont donc de la forme (x35x)\begin{pmatrix}{x} \\ {-\dfrac{3}{5} x}\end{pmatrix} avec xR.x \in \R.

2. En remplaçant xx par 10-10 dans l’expression de n\vec{n}, on obtient (106)\begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} donc v\vec{v} est normal à d.d .

Pour s'entraîner : exercices 70 p. 248

B
Équations cartésiennes


Propriété

Soient aa , bb et cc trois réels tels que aa et bb ne sont pas simultanément nuls. La droite d’équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal le vecteur n(ab).\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}.
Réciproquement, toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul n(ab)\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .

Rappel

Cette droite admet pour vecteur directeur le vecteur u(ba).\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}.

DÉMONSTRATION

Un vecteur directeur de la droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 est u(ba).\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}. Soit n(ab)\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}, alors un=(b)×a+a×b=0\vec{u} \cdot \vec{n}=(-b) \times a+a \times b=0, donc n\vec{n} est un vecteur normal à d.d .
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal n(ab).\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Soit u(ba)\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}, alors n\vec{n} et u\vec{u} sont orthogonaux : u\vec{u} est donc un vecteur directeur d’une droite dd ayant une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 , où cc est un réel à déterminer.

Exemple

La droite d’équation cartésienne 3x4y+5=03x - 4y + 5 = 0 admet pour vecteur normal le vecteur n(34)\vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-4}\end{pmatrix} et pour vecteur directeur le vecteur u(43).\vec{u}\begin{pmatrix}{4} \\ {3}\end{pmatrix}. On a bien nu=0.\vec{n} \cdot \vec{u}=0.

Application et méthode

Énoncé

Dans un repère orthonormé, déterminer, de deux façons différentes, une équation cartésienne de la droite dd passant par le point A(5;1)\mathrm{A}(5\, ; - 1) et de vecteur normal n(23).\vec{n}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}.

Application de cours : équation cartésienne de droite

Méthode

1. On utilise le fait que le vecteur de coordonnées (ab)\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} est un vecteur normal à la droite dd d’équation ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .
De plus, les coordonnées de A\mathrm{A} vérifient cette équation, ce qui permet de trouver c.c .

2. On utilise la propriété du produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

SOLUTION

1. On lit sur le vecteur normal que a=2a = 2 et b=3.b = -3 . Donc une équation de dd est de la forme 2x3y+c=0.2x - 3y + c = 0 . Ad\mathrm{A} \in d donc 2×53×(1)+c=02 \times 5 - 3 \times (-1) + c = 0 et donc c=13.c = -13 .
Ainsi, une équation de la droite dd est 2x3y13=0.2x - 3y - 13 = 0 .

2. Soit M(xy)\mathrm{M}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} appartenant à d.d . Alors AM\overrightarrow{\text{AM}} est un vecteur directeur de dd et est orthogonal au vecteur n.\vec{n} .
AMn=0(x5y+1)(23)=02(x5)3(y+1)=02x3y13=0.\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0 &\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x-5} \\ {y+1}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}=0 \\&\Leftrightarrow 2(x-5)-3(y+1)=0 \\&\Leftrightarrow 2 x-3 y-13=0.\end{aligned}
Donc une équation de la droite dd est 2x3y13=0.2x - 3y - 13 = 0 .

Pour s'entraîner : exercices 22 et 31 p. 243
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?