Vecteur normal

Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'une est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.

On suppose que $d$ et $d^{\prime }$ sont perpendiculaires. Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $d$ et $\overrightarrow{v}$ de $d^{\prime }$, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. $\overrightarrow{v}$ étant normal à $d$ et $\overrightarrow{u}$ à $d^{\prime }$, la propriété est vérifiée.
Réciproquement, si $\overrightarrow{u}$, vecteur normal à $d$, est orthogonal à $\overrightarrow{v}$, vecteur normal à $d^{\prime }$, alors $\overrightarrow{v}$ est un vecteur directeur de $d$ et $\overrightarrow{u}$ de $d^{\prime }.$ Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, $d$ et $d^{\prime }$ sont perpendiculaires.

1. Si $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ est un vecteur normal à $d$, alors il est orthogonal à $\overrightarrow{u}.$ Donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=3x+5y=0$ soit $y=-\frac{3}{5}x.$
Les coordonnées de $\overrightarrow{n}$ sont donc de la forme $\left(\begin{array}{c}x\\ -\frac{3}{5}x\end{array}\right)$ avec $x\in \mathbb{R}.$

2. En remplaçant $x$ par $-10$ dans l'expression de $\overrightarrow{n}$, on obtient $\left(\begin{array}{c}-10\\ 6\end{array}\right)$ donc $\overrightarrow{v}$ est normal à $d.$

exercices

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p. 248

Un vecteur directeur de la droite $d$ d'équation $ax+by+c=0$ est $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right).$ Soit $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=(-b)\times a+a\times b=0$, donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $d.$
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right).$ Soit $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$, alors $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux : $\overrightarrow{u}$ est donc un vecteur directeur d'une droite $d$ ayant une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, où $c$ est un réel à déterminer.

La droite d'équation cartésienne $3x-4y+5=0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)$ et pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right).$ On a bien $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=0.$