COURS 3


3
Vecteur normal




Application et méthode

Énoncé

Soit dd une droite de vecteur directeur u(35).\vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {5}\end{pmatrix}.
1. Déterminer une condition sur les coordonnées d’un vecteur n\vec{n} non nul pour qu’il soit normal à d.d .
2. Le vecteur v(106)\vec{v}\begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} est-il un vecteur normal à dd ?

SOLUTION

1. Si n(xy)\vec{n}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} est un vecteur normal à dd , alors il est orthogonal à u.\vec{u} . Donc un=3x+5y=0\vec{u} \cdot \vec{n}=3 x+5 y=0 soit y=35x.y=-\dfrac{3}{5} x.
Les coordonnées de n\vec{n} sont donc de la forme (x35x)\begin{pmatrix}{x} \\ {-\dfrac{3}{5} x}\end{pmatrix} avec xR.x \in \R.

2. En remplaçant xx par 10-10 dans l’expression de n\vec{n}, on obtient (106)\begin{pmatrix}{-10} \\ {6}\end{pmatrix} donc v\vec{v} est normal à d.d .

Pour s'entraîner : exercices 70 p. 248

Méthode

1. On applique le critère de colinéarité sur les coordonnées des deux vecteurs u\vec{u} et n\vec{n} afin d’exprimer l’ordonnée de n\vec{n} en fonction de son abscisse.

2. On vérifie que les coordonnées de v\vec{v} respectent la condition de la question 1..

B
Équations cartésiennes


Propriété

Soient aa , bb et cc trois réels tels que aa et bb ne sont pas simultanément nuls. La droite d’équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0 admet pour vecteur normal le vecteur n(ab).\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}.
Réciproquement, toute droite ayant pour vecteur normal le vecteur non nul n(ab)\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .

Exemple

La droite d’équation cartésienne 3x4y+5=03x - 4y + 5 = 0 admet pour vecteur normal le vecteur n(34)\vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-4}\end{pmatrix} et pour vecteur directeur le vecteur u(43).\vec{u}\begin{pmatrix}{4} \\ {3}\end{pmatrix}. On a bien nu=0.\vec{n} \cdot \vec{u}=0.

Rappel

Cette droite admet pour vecteur directeur le vecteur u(ba).\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}.

DÉMONSTRATION

Un vecteur directeur de la droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 est u(ba).\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}. Soit n(ab)\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}, alors un=(b)×a+a×b=0\vec{u} \cdot \vec{n}=(-b) \times a+a \times b=0, donc n\vec{n} est un vecteur normal à d.d .
Réciproquement : on considère une droite de vecteur normal n(ab).\vec{n}\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Soit u(ba)\vec{u}\begin{pmatrix}{-b} \\ {a}\end{pmatrix}, alors n\vec{n} et u\vec{u} sont orthogonaux : u\vec{u} est donc un vecteur directeur d’une droite dd ayant une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0ax + by + c = 0 , où cc est un réel à déterminer.

A
Généralités


Exemple

On considère un carré ABCD\text{ABCD} de centre O.\text{O.} Les vecteurs AD\overrightarrow{\text{AD}} et BC\overrightarrow{\text{BC}} sont tous les deux des vecteurs normaux à la droite (AB).\text{(AB).} Les vecteurs BO\overrightarrow{\text{BO}} et BD\overrightarrow{\text{BD}} sont des vecteurs normaux à (AC).\text{(AC).}

Propriété

Deux droites du plan sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’une est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.

Schéma d'un carré avec ses diagonales

Remarque

Ce vecteur est alors orthogonal à tout vecteur directeur de d.d .

Définition

Un vecteur normal à une droite dd quelconque du plan est un vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de d.d .

DÉMONSTRATION

On suppose que dd et dd' sont perpendiculaires. Si u\vec{u} est un vecteur directeur de dd et v\vec{v} de dd', alors u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux. v\vec{v} étant normal à dd et u\vec{u} à dd', la propriété est vérifiée.
Réciproquement, si u\vec{u}, vecteur normal à dd, est orthogonal à v\vec{v}, vecteur normal à dd', alors v\vec{v} est un vecteur directeur de dd et u\vec{u} de d.d'. Ayant des vecteurs directeurs orthogonaux, dd et dd' sont perpendiculaires.

Application et méthode


Méthode

1. On utilise le fait que le vecteur de coordonnées (ab)\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix} est un vecteur normal à la droite dd d’équation ax+by+c=0.ax + by + c = 0 .
De plus, les coordonnées de A\mathrm{A} vérifient cette équation, ce qui permet de trouver c.c .

2. On utilise la propriété du produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Énoncé

Dans un repère orthonormé, déterminer, de deux façons différentes, une équation cartésienne de la droite dd passant par le point A(5;1)\mathrm{A}(5\, ; - 1) et de vecteur normal n(23).\vec{n}\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}.

Application de cours : équation cartésienne de droite

SOLUTION

1. On lit sur le vecteur normal que a=2a = 2 et b=3.b = -3 . Donc une équation de dd est de la forme 2x3y+c=0.2x - 3y + c = 0 . Ad\mathrm{A} \in d donc 2×53×(1)+c=02 \times 5 - 3 \times (-1) + c = 0 et donc c=13.c = -13 .
Ainsi, une équation de la droite dd est 2x3y13=0.2x - 3y - 13 = 0 .

2. Soit M(xy)\mathrm{M}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} appartenant à d.d . Alors AM\overrightarrow{\text{AM}} est un vecteur directeur de dd et est orthogonal au vecteur n.\vec{n} .
AMn=0(x5y+1)(23)=02(x5)3(y+1)=02x3y13=0.\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec{n}=0 &\Leftrightarrow\begin{pmatrix}{x-5} \\ {y+1}\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}{2} \\ {-3}\end{pmatrix}=0 \\&\Leftrightarrow 2(x-5)-3(y+1)=0 \\&\Leftrightarrow 2 x-3 y-13=0.\end{aligned}
Donc une équation de la droite dd est 2x3y13=0.2x - 3y - 13 = 0 .

Pour s'entraîner : exercices 22 et 31 p. 243
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