L'essentiel Bac

1

Il existe différentes formules pour calculer le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix} :

• \overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\mathrm{A B} \times \mathrm{A} \mathrm{C} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{A B}}, \overrightarrow{\mathrm{A C}}) ;
• \overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A} \mathrm{H}} où \mathrm{H} est le projeté orthogonal de \mathrm{C} sur (\text{AB}) ;
• \overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x x^{\prime}+yy^{\prime} ;
• \overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{A B}^{2}+\mathrm{A} \mathrm{C}^{2}-\mathrm{B} \mathrm{C}^{2}\right).

Cela permet de :

✔ calculer un produit scalaire ;
✔ utiliser le produit scalaire pour calculer un angle ou une longueur.

2

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cela permet de :

✔ simplifier un produit scalaire ;
✔ résoudre des problèmes, notamment ceux liés à des configurations contenant des angles droits.

3

Un vecteur normal à une droite d d'équation ax + by + c = 0 est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de d . Ses coordonnées sont \begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Cela permet de :

✔ déterminer une équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ;
✔ déterminer si deux droites sont perpendiculaires.