L'essentiel BAC




CARTE MENTALE

Carte mentale produit scalaire

FICHE DE RÉVISION

1
Il existe différentes formules pour calculer le produit scalaire des vecteurs AB(xy)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{x} \\ {y}\end{pmatrix} et AC(xy)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{x'} \\ {y'}\end{pmatrix} :
  • ABAC=AB×AC×cos(AB,AC);\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\mathrm{A B} \times \mathrm{A} \mathrm{C} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{A B}}, \overrightarrow{\mathrm{A C}}) ;
  • ABAC=ABAH\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A} \mathrm{H}}H\mathrm{H} est le projeté orthogonal de C\mathrm{C} sur (AB)(\text{AB}) ;
  • ABAC=xx+yy\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x x^{\prime}+yy^{\prime} ;
  • ABAC=12(AB2+AC2BC2).\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A C}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{A B}^{2}+\mathrm{A} \mathrm{C}^{2}-\mathrm{B} \mathrm{C}^{2}\right).
Cela permet de :

✔ calculer un produit scalaire ;
✔ utiliser le produit scalaire pour calculer un angle ou une longueur.

2
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cela permet de :

✔ simplifier un produit scalaire ;
✔ résoudre des problèmes, notamment ceux liés à des configurations contenant des angles droits.

3
Un vecteur normal à une droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de d.d . Ses coordonnées sont (ab).\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}. Cela permet de :

✔ déterminer une équation cartésienne d’une droite à partir d’un point et d’un vecteur normal ;
✔ déterminer si deux droites sont perpendiculaires.
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