L'essentiel Bac

1

Il existe différentes formules pour calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ :

• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}\times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}});$
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$ où $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{C}$ sur $(\text{AB})$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}\left({\mathrm{AB}}^2+\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2-\mathrm{B}{\mathrm{C}}^2\right).$

Cela permet de :

✔ calculer un produit scalaire ;
✔ utiliser le produit scalaire pour calculer un angle ou une longueur.

2

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cela permet de :

✔ simplifier un produit scalaire ;
✔ résoudre des problèmes, notamment ceux liés à des configurations contenant des angles droits.

3

Un vecteur normal à une droite $d$ d'équation $ax+by+c=0$ est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de $d.$ Ses coordonnées sont $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right).$ Cela permet de :

✔ déterminer une équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal ;
✔ déterminer si deux droites sont perpendiculaires.