TP / TICE 2


Travail d’une force





Produit scalaire

Objectif

Approcher la courbe avec une subdivision plus précise et étudier le travail du poids à l’aide d’une des deux méthodes.

Énoncé

Dans un jardin d’enfants, on souhaite construire un toboggan. Pour cela, on modélise sa forme dans un repère orthogonal (O;i,j)(\text{O}\, ; \vec{i}, \vec{j}) à l’aide de la courbe représentative C\mathcal{C} (en vert) de la fonction ff définie sur [0;2][0\, ; 2] par f(x)=0,3x30,9x2+1,2.f(x) = 0{,}3x^3 - 0{,}9x^2 + 1{,}2 . On néglige tous les frottements et on rappelle que le poids de l’enfant P\overrightarrow{\mathrm{P}} est colinéaire à j\vec{j} et dans le sens de j-\vec{j} avec P=mg\|\overrightarrow{\mathrm{P}}\| = mg et g=9,81g = 9{,}81 m·s–2.

Questions préliminaires :
On divise l’intervalle [0;2][0\, ; 2] en deux intervalles identiques et on place trois points A0\mathrm{A}_0 , A1\mathrm{A}_1 et A2\mathrm{A}_2 sur C\mathcal{C} tels que xA0=0x_{\text{A}_0}=0, xA1=1x_{\text{A}_1}=1 et xA2=2.x_{\text{A}_2}=2.
Le travail du poids de l'enfant lorsqu'il parcourt le segment [A0A1]\left[\mathrm{A_0 A_1}\right] est donné en joule par PA0A1\overrightarrow{\text{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A_0A_1}}. Le travail total est la somme du travail sur chaque intervalle. Dans ce cas on a donc W=PA0A1+PA1A2.\text{W} = \overrightarrow{\text{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A_0A_1}} + \overrightarrow{\text{P}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A_1A_2}}.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs A0A1\overrightarrow{\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}}, A1A2\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}} et P\overrightarrow{\mathrm{P}} sachant que m=20m = 20 kg.


2. En déduire la valeur de W.\text{W.}


3. On admet que W=12mv2\mathrm{W}=\dfrac{1}{2} m v^{2}vv est la vitesse de l’enfant en m·s–1 à la fin de la descente. Calculer la valeur de v.v .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. On commence par diviser l’intervalle [0;2][0\, ; 2] en dix intervalles égaux pour obtenir dix segments approchant la courbe de f.f .

a. Créer une feuille de calcul contenant dans les colonnes A et B les coordonnées des points A0\text{A}_0, A1\text{A}_1, …, A10\text{A}_{10} ainsi créés.

b. Dans les colonnes C et D, calculer les coordonnées des vecteurs A0A1\overrightarrow{\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}}, A1A2\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}}, ,A9A10.\ldots, \overrightarrow{\mathrm{A}_{9} \mathrm{A}_{10}}.

c. Dans les colonnes E et F, recopier 10 fois les coordonnées du vecteur P.\overrightarrow{\mathrm{P}}.

d. Dans la colonne G calculer le produit scalaire AiAi+1P.\overrightarrow{\mathrm{A}_{i} \mathrm{A}_{i+1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P}}.

e. En déduire enfin la valeur de W\mathrm{W} puis celle de v.v . Que constate-t-on par rapport aux questions préliminaires ?


2. Refaire les mêmes étapes avec, cette fois, une subdivision en 50 intervalles (et donc 51 points créés). Que constate-t-on ?


3. Reprendre les mêmes étapes mais avec la fonction gg définie sur [0;2][0\, ; 2] par g(x)=0,3x2×ex+2+1,2.g(x)=-0\text{,}3 x^{2} \times \mathrm{e}^{-x+2}+1\text{,}2.
Que constate-t-on ? Cela paraît-il sensé ? Quelle hypothèse très forte du départ fausse la modélisation ?

Lancer le module Geogebra
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. On commence par diviser l’intervalle [0;2] [0\, ; 2] en dix intervalles égaux pour obtenir dix segments approchant la courbe de f.f . On crée ainsi onze points A0\mathrm{A}_0, A1\mathrm{A}_1, …, A10.\mathrm{A}_{10}. Exprimer les coordonnées du vecteur AiAi+1\overrightarrow{\mathrm{A}_{i} \mathrm{A}}_{i+1} en fonction de i{0;1;;9}.i \in\{0 \: ; 1 \: ; \ldots \: ; 9\}.


2. a. Compléter la ligne 2 dans le code ci-dessous afin de créer une fonction f qui renvoie l'image de xx par la fonction f.f .

def f(x):
	return(...)
x = 0
n = 10
k = 2/n
W = 0
for i in range(n):
	PS = -196.2 * (f(x+k) - f(x))
	W = W + PS
	x = x + k

b. Comment peut-on expliquer le code à partir de la ligne 3, notamment la variable PS ?


3. Faire afficher la valeur de W\text{W} lorsque n=n = 10 et calculer la valeur de v.v . Que constate-t-on par rapport aux questions préliminaires ?


4. Faire des tests avec différentes valeurs de nn de plus en plus grandes et commenter les résultats.


5. Reprendre ce programme mais avec la fonction gg définie sur [0;2][0\, ; 2] par g(x)=0,3x2×ex+2+1,2.g(x)=-0\text{,}3 x^{2} \times \mathrm{e}^{-x+2}+1\text{,}2. Que constate-t-on ? Cela paraît-il sensé ? Quelle hypothèse très forte du départ fausse la modélisation ?
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