Applications directes





21
On considère le carré ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O} suivant.

Produit sclaire - Applications directes


Déterminer à l’aide de la figure cinq produits scalaires nuls.

Pour les exercices
23
à
27


Calculer le produit scalaire ABAC.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

24
Donner la valeur exacte.
1. AB=2\mathrm{AB}=2, AC=6\mathrm{AC}=6 et (AB,AC)=π4(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}

2. AB=3\mathrm{AB}=\sqrt{3}, AC=1\mathrm{AC}=1 et (AB,AC)=π6(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-\dfrac{\pi}{6}

3. AB=5\mathrm{AB}=5, AC=34\mathrm{AC}=\dfrac{3}{4} et (AB,AC)=2π3(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{2 \pi}{3}

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30
On considère le rectangle ABCD.\text{ABCD.} On place les points E\text{E} et F\text{F} sur le segment [CD][\mathrm{CD}] tel que DE=FC=BC.\mathrm{DE}=\mathrm{FC}=\mathrm{BC}.

Produit sclaire - Applications directes


Montrer que les droites (BF)(\mathrm{BF}) et (AE)(\mathrm{AE}) sont perpendiculaires.

18
VRAI / FAUX
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs.
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si uv=0,\vec { u } \cdot \vec { v } = 0, alors u=0\vec { u } = \overrightarrow { 0 } ou v=0.\vec { v } = \overrightarrow { 0 }.

2. Si les normes des deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.

19
VRAI / FAUX

1. Si ABCD=0,\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0, alors BACD=0.\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.

2. Si ABCD<0,\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \lt 0, alors AB=CD.\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}.

3. Si ABAC=ABAD,\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, alors les points C\text{C} et D\text{D} sont confondus.

27

1. AB=3,\mathrm{AB}=3, AC=4 \mathrm{AC}=4 et BC=6\mathrm{BC}=6

2. AB=2,\mathrm{AB}=2, AC=73\mathrm{AC}=\dfrac{7}{3} et BC=1\text{BC} = 1

3. ABC\text{ABC} est isocèle en A,\text{A,} AB = 5\text{AB = 5} et BC = 2,5\text{BC = 2,5}

26

1. AB(02)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{0} \\ {-2}\end{pmatrix} et AC(51)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{5} \\ {-1}\end{pmatrix}

2. AB(31)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{3} \\ {1}\end{pmatrix} et AC(43)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix}

3. AB(74)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{7} \\ {-4}\end{pmatrix} et AC(56)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{5} \\ {6}\end{pmatrix}

25
H\text{H} est le projeté orthogonal du point C\text{C} sur la droite (AB).(\text{AB}).
1. AB=4\mathrm{AB}=4 , AH=3\mathrm{AH}=3 et H[AB)\mathrm{H} \in[\mathrm{AB})

2. AB=1\mathrm{AB}=1 , AH=5\mathrm{AH}=5 et H[AB)\mathrm{H} \notin[\mathrm{AB})

3. AB=6\mathrm{AB}=6 , BH=193\mathrm{BH}=\dfrac{19}{3} et H[AB)\text{H} \notin[\text{AB})

23
Donner une valeur approchée au centième près.
1. AB=1\mathrm{AB}=1 , AC=5\mathrm{AC}=5 et (AB,AC)=40(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=40^{\circ}

2. AB=2,5\mathrm{AB}=2\text{,}5, AC=3\mathrm{AC}=3 et (AB,AC)=70(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=70^{\circ}

3. AB=4\mathrm{AB}=4, AC=53\mathrm{AC}=\dfrac{5}{3} et (AB,AC)=110(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-110^{\circ}

22
Déterminer à l’aide des équations des droites suivantes les coordonnées de deux vecteurs normaux à cette droite.
1. 4x5y+10=04 x-5 y+10=0

2. x+3y5=0x+3 y-5=0

3. 12x8y=0\dfrac{1}{2} x-8 y=0

4. 43y6x=12\dfrac{4}{3} y-6 x=12


29
On considère un carré ABCD\text{ABCD} de centre O\text{O} et de côté c.c. Calculer les produits scalaires suivants.

Produit sclaire - Applications directes


1. ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. ABAO\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}

3. ABCD\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}

4. BCAD\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}

5. DBAB\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}

6. OAAC\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

7. DBOC\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}

20
Quelles sont les informations sur les points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} données par les produits scalaires suivants ?
1. ABAC=0\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0

2. ABAC=AC2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AC}^{2}

3. ABAC=AB×AC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}

4. ABAC=AB×AC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}

5. ABAC=AB2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB}^{2}

31

Déterminer une équation cartésienne de la droite D\text{D} passant par le point A\text{A} et de vecteur normal n.\vec{n}.
1. A(2;1)\mathrm{A}(2\:;-1) et n(32)\vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-2}\end{pmatrix}

2. A(0;5)\mathrm{A}(0\:;-5) et n(123)\vec{n}\begin{pmatrix}{\dfrac{1}{2}} \\ {3}\end{pmatrix}

3. A(2;3)\mathrm{A}(\sqrt{2}\: ;-3) et n(40)\vec{n}\begin{pmatrix}{-4} \\ {0}\end{pmatrix}

4. A(1;3)\mathrm{A}(-1\:;-3) et n(01)\vec{n}\begin{pmatrix}{0} \\ {1}\end{pmatrix}

28
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs. Simplifier les expressions suivantes.
1. (3u)(2v)(3 \vec{u}) \cdot(2 \vec{v})

2. (73u)(6v)\left(\dfrac{7}{3} \vec{u}\right) \cdot(-6 \vec{v})

3. u(uv)\vec{u} \cdot(\vec{u}-\vec{v})

4. (u+v)2(\vec{u}+\vec{v})^{2}
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