Chapitre 9
Applications directes
Exercices d'applications directes
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18
Vrai / Faux
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs.
Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si \vec { u } \cdot \vec { v } = 0, alors \vec { u } = \overrightarrow { 0 } ou \vec { v } = \overrightarrow { 0 }.
2. Si les normes des deux vecteurs sont des nombres entiers, alors leur produit scalaire est aussi un nombre entier.
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19
Vrai / Faux
1. Si \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0, alors \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0.
2. Si \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \lt 0, alors \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}.
3. Si \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}, alors les points \text{C} et \text{D} sont confondus.
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20
Quelles sont les informations sur les points \text{A,} \text{B} et \text{C} données par les produits scalaires suivants ?
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AC}^{2}
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AC}^{2}
3. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}
4. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}
4. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}
5. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\mathrm{AB}^{2}
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21
On considère le carré \text{ABCD} de centre \text{O} suivant.
Déterminer à l'aide de la figure cinq produits scalaires nuls.
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22
Déterminer à l'aide des équations des droites suivantes les coordonnées de deux vecteurs normaux à cette droite.
1. 4 x-5 y+10=0
2. x+3 y-5=0
2. x+3 y-5=0
3. \dfrac{1}{2} x-8 y=0
4. \dfrac{4}{3} y-6 x=12
4. \dfrac{4}{3} y-6 x=12
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Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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23
Donner une valeur approchée au centième près.
1. \mathrm{AB}=1 , \mathrm{AC}=5 et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=40^{\circ}
2. \mathrm{AB}=2\text{,}5, \mathrm{AC}=3 et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=70^{\circ}
3. \mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=\dfrac{5}{3} et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-110^{\circ}
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24
Donner la valeur exacte.
1. \mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=6 et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{4}
2. \mathrm{AB}=\sqrt{3}, \mathrm{AC}=1 et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=-\dfrac{\pi}{6}
3. \mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=\dfrac{3}{4} et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{2 \pi}{3}
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25
\text{H} est le projeté orthogonal du point \text{C} sur la droite (\text{AB}).
1. \mathrm{AB}=4 , \mathrm{AH}=3 et \mathrm{H} \in[\mathrm{AB})
2. \mathrm{AB}=1 , \mathrm{AH}=5 et \mathrm{H} \notin[\mathrm{AB})
3. \mathrm{AB}=6 , \mathrm{BH}=\dfrac{19}{3} et \text{H} \notin[\text{AB})
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26
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{0} \\ {-2}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{5} \\ {-1}\end{pmatrix}
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{3} \\ {1}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix}
3. \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}{7} \\ {-4}\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}{5} \\ {6}\end{pmatrix}
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27
1. \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=4 et \mathrm{BC}=6
2. \mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=\dfrac{7}{3} et \text{BC} = 1
3. \text{ABC} est isocèle en \text{A,} \text{AB = 5} et \text{BC = 2,5}
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28
Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs. Simplifier les expressions suivantes.
1. (3 \vec{u}) \cdot(2 \vec{v})
2. \left(\dfrac{7}{3} \vec{u}\right) \cdot(-6 \vec{v})
2. \left(\dfrac{7}{3} \vec{u}\right) \cdot(-6 \vec{v})
3. \vec{u} \cdot(\vec{u}-\vec{v})
4. (\vec{u}+\vec{v})^{2}
4. (\vec{u}+\vec{v})^{2}
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29
On considère un carré \text{ABCD} de centre \text{O} et de côté c. Calculer les produits scalaires suivants.
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}
3. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}
4. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}
5. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}
6. \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}
7. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}
2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}
3. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}
4. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}
5. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}
6. \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}
7. \overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}
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30
On considère le rectangle \text{ABCD.} On place les points \text{E} et \text{F} sur le segment [\mathrm{CD}] tel que \mathrm{DE}=\mathrm{FC}=\mathrm{BC}.
Montrer que les droites (\mathrm{BF}) et (\mathrm{AE}) sont perpendiculaires.
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31
Déterminer une équation cartésienne de la droite \text{D} passant par le point \text{A} et de vecteur normal \vec{n}.
1. \mathrm{A}(2\:;-1) et \vec{n}\begin{pmatrix}{3} \\ {-2}\end{pmatrix}
2. \mathrm{A}(0\:;-5) et \vec{n}\begin{pmatrix}{\dfrac{1}{2}} \\ {3}\end{pmatrix}
2. \mathrm{A}(0\:;-5) et \vec{n}\begin{pmatrix}{\dfrac{1}{2}} \\ {3}\end{pmatrix}
3. \mathrm{A}(\sqrt{2}\: ;-3) et \vec{n}\begin{pmatrix}{-4} \\ {0}\end{pmatrix}
4. \mathrm{A}(-1\:;-3) et \vec{n}\begin{pmatrix}{0} \\ {1}\end{pmatrix}
4. \mathrm{A}(-1\:;-3) et \vec{n}\begin{pmatrix}{0} \\ {1}\end{pmatrix}
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