Partie 3
Histoire des mathématiques


Géométrie





Questions

1. Dans un repère orthonormé d’origine O\text{O}, montrer qu’un point M(x;y)\text{M}(x\, ; y) appartient au cercle de centre O\text{O} et de rayon 1 si et seulement si x2+y2=1.x^2 + y^2 = 1 .


2. À partir de la représentation de la cubique d'Agnesi, essayer de retrouver comment la définir point par point.

Eras

  1. 1600 - 1730 : Fort développement des sciences
  2. 1730 - 1840 : L'âge d'or de l'analyse
  3. 1840 - 1930 : L'essor des mathématiques à tous les niveaux

Évènements

  1. 1564 - 1642 :Galilée | Mathématicien, physicien et astronome, il pose les bases de la démarche scientifique. Il est instruit aux mathématiques par deux élèves de Tartaglia. Il considère que : “...l&#x27;univers,... est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques,...”. Pour lui, les mathématiques sont le langage de la nature et il les utilise de façon rigoureuse dans toutes ses démarches scientifiques. C’est ainsi qu’il est considéré aussi comme le père de la physique dont il développera la mécanique et la cinématique. La condamnation par l’inquisition en 1616 de sa thèse copernicienne sur le système héliocentrique, et sa remarque : “et pourtant, elle tourne!” resteront célèbres. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_(savant)" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Galilée.
  2. 1591 - 1661 :Girard Desargues | Géomètre et architecte, il est ami de Mersenne et de Descartes. Il publie deux traités en 1636 et 1639 sur la perspective et il donne ainsi la touche finale qui manquait encore alors aux artistes sur le sujet. Avec ces traités, il est considéré comme le fondateur de la géométrie projective. Deux théorèmes portent son nom. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Girard_Desargues" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Girard Desargues.
  3. 1596 - 1650 :René Descartes | Mathématicien, physicien et philosophe. Descartes a été élève de Mersenne et la philosophie de Galilée l’a influencé (système copernicien, les mathématiques sont les bases de la science,...). Son livre <i data-reactroot="">Le discours de la méthode, pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences</i>, résume la force de sa pensée et l&#x27;impact qu’il aura sur le futur de la pratique scientifique. Bien que des mathématiciens comme Oresme ou Al Khayyam ont eu aussi des idées similaires avant lui, Descartes est considéré comme le fondateur de la géométrie analytique, qui considère les courbes comme des équations qui lient les coordonnées de leurs points. Il laissera son nom à des lois en optique et au repère cartésien. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à René Descartes.
  4. 1642 - 1727 :Isaac Newton | L’apport scientifique de Newton est considérable. Il aime les mathématiques qu’il a découvert à travers les œuvres d’Euclide, de Descartes, de Viète et de Wallis. Mais, c’est principalement pour ses recherches en astronomie et en physiques (lois universelles du mouvement, de la gravitation, décomposition de la lumière,...) qu’il développe des nouvelles méthodes mathématiques, telles les calculs sur les séries de puissances et le calcul sur les fluxions. Ce dernier point, en parallèle avec les travaux de Leibniz, jette les premières bases d’un calcul infinitésimal exploitable. En décrivant les règles à appliquer aux forces, on lui doit un des premiers concepts de vecteurs. Certainement par peur des critiques, Newton ne publie pas ses résultats et c’est souvent de façon posthume que ses manuscrits sont imprimés. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Isaac Newton.
  5. 1646 - 1716 :Gottfried Wilhelm Leibniz | Philosophe et mathématicien, Leibniz oeuvre fortement au développement et à la défense des sciences. On lui doit beaucoup de nouvelles notations, comme le symbole de l’intégrale <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.11112em;vertical-align:-0.30612em;"></span><span class="mop op-symbol small-op" style="margin-right:0.19445em;position:relative;top:-0.0005599999999999772em;">∫</span></span></span></span></span></span>, celui de la notation différentielle <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">dx</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.69444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord mathdefault">d</span><span class="mord mathdefault">x</span></span></span></span></span></span>, le <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⋅</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cdot</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.44445em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">⋅</span></span></span></span></span></span> pour la multiplication et <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">:</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.43056em;vertical-align:0em;"></span><span class="mrel">:</span></span></span></span></span></span> pour la division. Il généralise le symbole <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>=</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">=</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.36687em;vertical-align:0em;"></span><span class="mrel">=</span></span></span></span></span></span> introduit par Recorde et utilise pour la première fois les termes “variable” et “fonction”, même si cette notion reste assez différente de notre concept actuel. C’est en travaillant sur une série proposée par Huygens qu’il développe parallèlement à Newton les premières bases d’un calcul infinitésimal exploitable. Il laisse sur la fin de sa vie les premiers travaux de ce qu’on appellera plus tard le “déterminant”. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Gottfried Wilhelm Leibniz.
  6. 1718 - 1799 :Maria Gaetana Agnesi | Maria Gaetana Agnesi est la première mathématicienne de l’Histoire nommée professeur d’université (Bologne). A l’âge de neuf ans, elle rédige un discours sur le droit des filles à l’éducation supérieure. Elle publie en 1748 les <i data-reactroot="">Istituzioni Analitiche</i>, traité renommé pour sa clarté et l’unité de sa méthode. Elle utilise le calcul différentiel encore en pleine élaboration, pour l’étude de courbes, dont la cubique d’Agnesi (plus connue sous le nom de “sorcière”). Son équation est : <span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mrow><mo fence="true">(</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>x</mi><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">y^2x=a^2\left(a-x\right)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.008548em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141079999999999em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.064108em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">a</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141079999999999em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="minner"><span class="mopen delimcenter" style="top:0em;">(</span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mclose delimcenter" style="top:0em;">)</span></span></span></span></span></span></span>. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Maria_Gaetana_Agnesi" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Maria Gaetana Agnesi.
  7. 1746 - 1818 :Gaspard Monge | Révolutionnaire et républicain (même s’il sera nommé comte de Péluse par Napoléon 1<sup class="sc-fOKMvo WPnNu">er</sup>), il met en place de nombreuses réformes lors de la Révolution (système métrique, calendrier,...). Il participe à la création de l’Ecole Normale de l’an III et de l’Ecole Polytechnique où il enseignera. Il accompagne la Campagne d’Italie puis la Campagne d’Egypte. Il est l’inventeur de la géométrie descriptive (ébauche du dessin industriel) et de la géométrie différentielle en utilisant systématiquement des équations aux dérivées partielles pour étudier des surfaces. On lui doit, entre autre, les termes d’ellipsoïde, hyperboloïde et paraboloïde. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Gaspard Monge.
  8. 1809 - 1877 :Hermann Grassmann | Mathématicien, physicien et linguiste (indianiste), Grassmann est le fondateur de la théorie sur les espaces vectoriels. Ses calculs sont un nouvel exemple de calculs sur des éléments autres que les nombres. Il apporte le produit d’un vecteur par un réel, le produit vectoriel et la construction de l’algèbre extérieur qui en découle. Avec Abel, Galois et Cantor, il fera partie des “mathématiciens malheureux” du XIX<sup class="sc-fOKMvo WPnNu">e</sup> s. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hermann_Gra%C3%9Fmann.jpg" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Hermann Grassmann.
  9. 1831 - 1879 :James Clerk Maxwell | Principalement physicien, il est connu pour avoir regroupé l’électricité, le magnétisme et l’induction sous un seul ensemble d’équations mathématiques qui portent son nom (équations de Maxwell, équations différentielles à 20 variables). Ses publications permettent une forte diffusion de la notion moderne de vecteurs et ses travaux en sciences physiques sont considérés comme ceux ayant laissé la plus grande influence sur la recherche du XX<sup class="sc-fOKMvo WPnNu">e</sup> s, en particulier celles sur la relativité restreinte et la mécanique quantique. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à James Clerk Maxwell.
  10. 1839 - 1903 :Willard Gibbs | Willard Gibbs est un ingénieur, physicien et mathématicien. Il crée avec Maxwell et Boltzmann, la mécanique statistique, et travaille sur l’application de la thermodynamique à la chimie. Pour ses propres besoins de recherche, notamment en astronomie ou pour ses études sur la lumière, il utilise le calcul vectoriel qu’il enseigne comme éléments d’analyse vectorielle y apportant, entre autres, la notation “<span class="sc-jwKygS bRcxKG"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⋅</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cdot</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.44445em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">⋅</span></span></span></span></span></span>” pour le produit scalaire. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbs" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Willard Gibbs.
  11. 1854 - 1912 :Henri Poincaré | A ne pas confondre avec son cousin politicien, Poincaré, mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur, est l’un des derniers savants universels et son apport aux mathématiques est considérable. Il entre à l’Académie des sciences en 1887 et à l’Académie française en 1908 et œuvre à la vulgarisation de la science. Il publie beaucoup et même si ses théories sont très riches, il est qualifié à ses débuts de brouillon. Ses avancées sur le problème des trois corps en font un fondateur de la théorie du chaos. Il est aussi un précurseur majeur de la théorie de la relativité restreinte, des systèmes dynamiques et un des pionniers de la topologie. Avec Cartan, en travaillant sur la géométrie différentielle, il met en valeur tous les apports de Grassmann. Il laisse son nom pendant près d’un siècle à une conjecture démontrée par Perelman en 2003. Il définit les mathématiques non pas comme l’<i data-reactroot="">étude d’objets mais comme l’étude des relations entre ces objets</i>. <a href="https://www.youtube.com/watch?v=SsN4UZwdLoY&amp;list=TLcvyBzSINzA0" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp">Etienne Ghys dira de lui “qu’il a libéré notre pensée”</a>. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Henri Poincaré.
  12. 1777 - 1855 :Carl Friedrich Gauss | Mathématicien, physicien et astronome. Génie précoce il est doté de capacités exceptionnelles en calcul mental. Il devient célèbre en découvrant par le calcul la planète naine Cérès. Il excelle dans tous les domaines qu’il aborde comme l’algèbre (démonstration du théorème fondamentale de l&#x27;algèbre, théorie des nombres et nombres complexes), l’arithmétique (théorème qui porte son nom, apport des congruences, résolutions d’équations), les probabilités (répartition gaussienne) et la géométrie (étude systématique des courbes et des surfaces au voisinage d’un point). Même s’il déteste enseigner, il s’occupera sur la fin de sa vie d&#x27;Eisenstein, Riemann et Dedekind. Gauss a peu publié et c’est la publication de ses oeuvres à titre posthume qui a révélé au monde toute l’étendue et la qualité de ses travaux mathématiques. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à Carl Friedrich Gauss.
  13. 1805 - 1865 :William Hamilton | Mathématicien, physicien et astronome, il est surnommé le Lagrange Irlandais. A 22 ans, même sans être encore diplômé, ses compétences font qu’il est nommée à la chaire d’astronomie du collège de la Trinité de Dublin. Il est le premier à jeter les bases d’une théorie rigoureuse sur les nombres complexes. Ses travaux sur les vecteurs et les quaternions l’amène à définir ce qui sera appelé plus tard le produit scalaire. Un théorème sur la résolution des équations polynomiales de degré 5 porte son nom. Certaines de ses recherches ont permis le développement de la mécanique quantique. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton" target="_blank" class="sc-likbZx dNausp"> page wikipédia</a> dédiée à William Hamilton.

❚❙❙ L’avènement du produit scalaire

La notion de vecteur était implicite depuis Galilée mais, à l’époque, sa forme était différente de celle que nous connaissons actuellement. Dans son livre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), Newton décrit les règles de calcul à appliquer aux forces. Parallèlement, la notion de vecteur apparaît chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations, créant un lien entre analyse et géométrie. Au XIXe siècle, les scientifiques et les ingénieurs, comme Willard Gibbs (1839-1903), utilisent ces notions mais ont besoin d’outils encore plus performants, comme pour calculer le travail d’une force : ce sera la naissance du produit scalaire. Les nouveaux outils vectoriels alors mis en place permettront une approche différente de la géométrie jusque-là utilisée, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calculs.

Portait de Willard Gibbs

Willard Gibbs était un ingénieur, physicien et mathématicien. Il travaillait sur l’application de la thermodynamique à la chimie. Pour ses propres besoins de recherche, notamment en astronomie ou pour ses études sur la lumière, il utilisait le calcul vectoriel qu’il enseignait comme élément d’analyse vectorielle (voir extrait ci-dessous) y apportant, entre autres, la notation « · » pour le produit scalaire.
Extrait de Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students in Physics

Extrait de Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students in Physics, de Josiah Willard Gibbs, 1881.

❚❙❙ Équation d’une courbe

Avant l’avènement du calcul littéral, une courbe était définie par des conditions sur ses points. Par exemple, un cercle était l’ensemble des points du plan équidistants d’un point donné (centre du cercle). Les travaux de René Descartes (1596-1650), publiés dans la partie La Géométrie du Discours de la méthode (1637), permettent de définir une courbe par une équation qui lie les coordonnées des points de cette courbe. Dans un repère orthonormé de centre O, le cercle de centre O et de rayon 1 devient alors la courbe ayant pour équation x2+y2=1.x^2 + y^2 = 1 .
Portrait de René Descartes
Schéma tiré de La Géométrie, Discours de la méthode.


Parabole et repère - La Géométrie, Discours de la méthode.

Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) est la première mathématicienne de l’Histoire nommée professeure d’université (Bologne, Italie). À l’âge de neuf ans, elle rédige un discours sur le droit des filles à l’éducation supérieure. Elle publie en 1748 les Istituzioni Analitiche, traité renommé pour sa clarté et l’unité de sa méthode. Elle utilise le calcul différentiel (encore en pleine élaboration) pour l’étude de courbes, dont la cubique d’Agnesi (plus connue sous le nom de « sorcière d’Agnesi »). Son équation est : y2x=a2(ax).y^2x = a^2 (a - x) .

Portrait de Maria Gaetana Agnesi
Schéma de La cubique d’Agnesi


La cubique d’Agnesi (courbe rouge).
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