Rechercher une situation d'orthogonalité

1. À l'aide de l'outil Polygone régulier, tracer le carré $\text{ABCD}$ de façon à ce que les points $\text{A}$ et $\text{B}$ aient pour coordonnées respectives $(0;0)$ et $(14;0).$
Tracer de la même manière le carré $\text{BEFG}$ de façon à ce que $\text{E}$ ait pour coordonnées $(16;0).$

2. Avec l'outil Droite, tracer la droite $(\text{CE})$ et ajouter un point mobile $\text{M}$ sur cette droite.

3. Tracer la droite $(\text{AM}).$

4. Dans la barre de saisie, afficher la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}}$ avec la commande :

5. Trouver l'emplacement du point $\text{M}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}}=0.$ Il est possible de zoomer sur la figure pour effectuer des déplacements plus précis.

6. Conjecturer l'emplacement du point $\text{G}$ par rapport à la droite $(\text{AM}).$

7. Changer les dimensions des carrés $\text{ABCD}$ et $\text{BEFG}$ et reprendre les questions 5. et 6..

On se place dans le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ tel que $\overrightarrow{i}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{j}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\text{AD.}}$ On se place dans le cas où $b>e.$

1. Exprimer les coordonnées des points $\text{A}$, $\text{C}$ et $\text{E}$ en fonction de $b$ et $e.$

2. On pose $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{k\mathrm{EC}}$ avec $k\in [0;1]$ Que peut-on dire du point $\text{M}$ par rapport à la droite $(\text{CE})$ ?
Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ en fonction de $b$, $e$ et $k.$

3. On considère le cas où $b=14$ et $e=2.$ Dans une feuille de calcul, lister dans la première colonne les valeurs de $k$ avec un pas de $0,01$ et dans la deuxième colonne les valeurs de $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ correspondantes. Quelle est la valeur de $k$ pour laquelle $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}=0$ ?

4. Que peut-on dire des droites $(\text{AM})$ et $(\text{CE})$ pour cette valeur de $k$ ?

5. Exprimer à l'aide de la question 2. les coordonnées du point $\text{M}$ ainsi que les distances $\text{AG}$, $\text{AM}$ et $\text{GM}$ en fonction de $b$, $e$ et $k.$ Calculer ces valeurs pour la valeur de $k$ trouvée à la question 3. .

6. Que vaut la valeur $\text{AG}+\text{GM}-\text{AM}$ ? Que peut-on en déduire pour les points $\text{A}$, $\text{G}$ et $\text{M}$ ?