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Rechercher une situation d’orthogonalité
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TP / TICE 1


Rechercher une situation d’orthogonalité




Énoncé

Soit ABCD\text{ABCD} un carré de côté de longueur bb et BEFG\text{BEFG} un carré de longueur ee à l’extérieur du premier tel que G[CB].\text{G} \in [\text{CB}]. Soit M\text{M} un point appartenant à la droite (CE).(\text{CE}).

Objectif

En utilisant une des deux méthodes, trouver la position du point M(xM;yM)\mathbf{M}\left(x_{\mathbf{M}} \: ; y_{\mathbf{M}}\right) pour que les droites (AM)(\text{AM}) et (CE)(\text{CE}) soient perpendiculaires.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

1. À l’aide de l’outil Polygone régulier, tracer le carré ABCD\text{ABCD} de façon à ce que les points A\text{A} et B\text{B} aient pour coordonnées respectives (0;0)(0\, ; 0) et (14;0).(14\, ; 0).
Tracer de la même manière le carré BEFG\text{BEFG} de façon à ce que E\text{E} ait pour coordonnées (16;0).(16\, ; 0).

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2. Avec l’outil Droite, tracer la droite (CE)(\text{CE}) et ajouter un point mobile M\text{M} sur cette droite.

3. Tracer la droite (AM).(\text{AM}).

Illustration de la situation étudiée

4. Dans la barre de saisie, afficher la valeur du produit scalaire MAME\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}} avec la commande :
ProduitScalaire( < Vecteur >, < Vecteur >)

5. Trouver l’emplacement du point M\text{M} tel que MAME=0.\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ME}}=0. Il est possible de zoomer sur la figure pour effectuer des déplacements plus précis.

6. Conjecturer l’emplacement du point G\text{G} par rapport à la droite (AM).(\text{AM}) .


7. Changer les dimensions des carrés ABCD\text{ABCD} et BEFG\text{BEFG} et reprendre les questions 5. et 6..
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

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On se place dans le repère orthonormé (A;i,j)(\mathrm{A}\, ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) tel que i\overrightarrow{i} est colinéaire à AB\overrightarrow{\text{AB}} et j\overrightarrow{j} est colinéaire à AD.\overrightarrow{\text{AD.}} On se place dans le cas où b>e.b > e .

1. Exprimer les coordonnées des points A\text{A}, C\text{C} et E\text{E} en fonction de bb et e.e .


2. On pose AM=AE+kEC\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{k \mathrm{EC}} avec k[0;1]k \in[0\, ; 1] Que peut-on dire du point M\text{M} par rapport à la droite (CE)(\text{CE}) ?
Exprimer le produit scalaire AMCE\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}} en fonction de bb , ee et k.k .


3. On considère le cas où b=14b = 14 et e=2.e = 2 . Dans une feuille de calcul, lister dans la première colonne les valeurs de kk avec un pas de 0,010{,}01 et dans la deuxième colonne les valeurs de AMCE\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}} correspondantes. Quelle est la valeur de kk pour laquelle AMCE=0\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}=0 ?


4. Que peut-on dire des droites (AM)(\text{AM}) et (CE)(\text{CE}) pour cette valeur de kk ?


5. Exprimer à l’aide de la question 2. les coordonnées du point M\text{M} ainsi que les distances AG\text{AG}, AM\text{AM} et GM\text{GM} en fonction de bb , ee et k.k . Calculer ces valeurs pour la valeur de kk trouvée à la question 3. .


6. Que vaut la valeur AG+GMAM\text{AG} + \text{GM}- \text{AM} ? Que peut-on en déduire pour les points A\text{A}, G\text{G} et M\text{M} ?
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Pour aller plus loin


1. En utilisant le produit scalaire CEAM\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}, trouver une condition sur les coordonnées de M\text{M} lorsque (AM)(\text{AM}) et (CE)(\text{CE}) sont perpendiculaires.


2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AM).(\text{AM}) .


3. Démontrer que le point G\text{G} appartient à la droite (AM)(\text{AM}) pour toutes valeurs de bb et ee strictement positives.
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