Entrainement 1


Les différentes expressions du produit scalaire




Sauf indication contraire, pour tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).(\mathrm{O} ; \overrightarrow{{i}}, \overrightarrow{{j}}).

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 40 ; 53 ; 54 et 70
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 50 ; 56 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 58 ; 62 ; 74 et 79

Pour les exercices
47
et
48


On définit le travail W,\text{W,} exprimé en joule, d’une force F,\overrightarrow{\text{F}}, en newton, sur un déplacement rectiligne AB,\text{AB,} en mètre, par le produit scalaire FAB.\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

42
PYTHON
[Modéliser.]
1. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé, calcule sa norme.


2. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées de deux vecteurs dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs.



45
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le rectangle ABCD\text{ABCD} de longueur 1010 et de largeur 6.6. E\text{E} est le milieu du côté [AB][\mathrm{AB}] et F\text{F} le milieu du côté [BC].[\mathrm{BC}]. Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

Les différentes expressions du produit scalaire


1. DADB\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}

2. DCDF\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. DADC\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}

4. DEDF\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

5. DFDB\overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}

50
[Calculer.] ◉◉
Soient u(33)\vec{u}\begin{pmatrix}{\sqrt{3}} \\ {3}\end{pmatrix} et v(x1)\vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {1}\end{pmatrix}deux vecteurs du plan avec xR.x \in \mathbb{R}. Déterminer toutes les éventuelles valeurs de xx pour obtenir :
1. (u,v)=0(\vec{u}, \vec{v})=0

2. (u,v)=π2(\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{2}

3. (u,v)=π3(\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{3}

4. (u,v)=π6(\vec{u}, \vec{v})=\dfrac{\pi}{6}

41
[Représenter.]
On considère les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} dans le repère orthonormé suivant.

Les différentes expressions du produit scalaire


En lisant graphiquement les coordonnées des vecteurs u\vec{u} et v,\vec{v}, calculer leur norme puis le produit scalaire uv.\vec{u} \cdot \vec{v}.

Dans la vie professionnelle

Les différentes expressions du produit scalaire

Le dessinateur / la dessinatrice en construction mécanique doit posséder une formation scientifique et technologique solide pour utiliser, par exemple, la théorie sur les systèmes hydrauliques ou pneumatiques. Cette théorie est à la base des plans et schémas réalisés par le dessinateur et fait intervenir des lois physiques utilisant les vecteurs et les produits scalaires.

43
[Calculer.]
On considère les vecteurs u(121)\vec{u}\begin{pmatrix}{1-\sqrt{2}} \\ {1}\end{pmatrix} et v(1+24).\vec{v}\begin{pmatrix}{1+\sqrt{2}} \\ {-4}\end{pmatrix}. Calculer :
1. uv\vec{u} \cdot \vec{v}

2. (3u)v(3 \vec{u}) \cdot \vec{v}

3. (4u)(2v)(4 \vec{u}) \cdot(-2 \vec{v})

4. u(2uv)\vec{u} \cdot(\sqrt{2} \vec{u}-\vec{v})


38
[Effectuer.]
Les points A,\text{A,} B,\text{B,} C,\text{C,} D,\text{D,} E,\text{E,} F,\text{F,} G\text{G} et H\text{H} sont placés sur une droite graduée de façon à ce que AB = BC =\text{AB = BC =} CD = DE =\text{CD = DE =} EF = FG =\text{EF = FG =} GH = 1.\text{GH = 1.}

Les différentes expressions du produit scalaire


Déterminer les produits scalaires suivants.
1. ADAG\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}

2. DCDF\overrightarrow{\mathrm{DC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. ABDE\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}

4. CDHD\overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HD}}

46
[Calculer.]
On considère les points A(5;3),\mathrm{A}(5\:;-3), B(2;7),\mathrm{B}(-2\:; 7), C(12;0)\mathrm{C}\left(\dfrac{-1}{2}\:; 0\right) et D(5;34).\mathrm{D}\left(-5\:; \dfrac{3}{4}\right).
Calculer les produits scalaires ABCD,\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}, ACBD\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} et ADBC.\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

47
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d’un angle de \text{5°} par rapport à l’horizontale.

Les différentes expressions du produit scalaire


La traction de la caravane est modélisée par une force F\overrightarrow{\text{F}} d’intensité 15 000 newtons, inclinée d’un angle de \text{9°} par rapport à l’horizontale. Calculer le travail de la force F\overrightarrow{\text{F}} le long de cette route. Donner l’écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.

Histoire des maths

Les différentes expressions du produit scalaire - Grassman

Le produit scalaire est un puissant outil mathématique dont les fondements ont été posés par le mathématicien allemand Hermann Grassmann, ayant des applications, aussi bien en mathématiques (pour la détermination d’objets perpendiculaires ou orthogonaux) qu’en physique (pour le travail des forces). Il apparaît pourtant tardivement dans l’histoire des sciences (fin du XIXe siècle) et se voit prolongé au XXe siècle dans des espaces de dimensions supérieures ou complexes. À la même époque, le produit vectoriel qui, à deux vecteurs, associe un troisième vecteur et non un nombre réel, fait son apparition.

44
[Raisonner.] ◉◉
Le triangle ABC\text{ABC} est un triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm. I\text{I} est le pied de la hauteur issue de A.\text{A.} Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

Les différentes expressions du produit scalaire


1. BCBA\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}

2. BABI\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BI}}

3. AIAC\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

39
[Chercher.] ◉◉
On considère le rectangle ABCD\text{ABCD} ci-après. E,\text{E,} F,\text{F,} G\text{G} et H\text{H} sont respectivement les milieux des côtés [BC],[\mathrm{BC}], [CD],[\mathrm{CD}], [DA][\mathrm{DA}] et [AB].[\mathrm{AB}].
O\text{O} est l’intersection des diagonales du rectangle. Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée.
Les différentes expressions du produit scalaire
ABAC:\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\: : AGAF:\overrightarrow{\mathrm{AG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}\: : AFAB:\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\: : ADAF:\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}\: :

48
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Pendant leur promenade en tandem, Daniel et Barbara ont crevé en bas de la montagne (point A\text{A}). Ils doivent pousser leur tandem jusqu’au prochain garage (point G\text{G}), situé à 2 km, sur une pente inclinée d’un angle de 10°\text{10°} par rapport à l’horizontale. La situation est schématisée ci-dessous.

Les différentes expressions du produit scalaire


Le tandem est soumis à son poids P=mg\text{P} = mg durant toute la montée, avec mm = 20 kg et gg = 9,8 N·kg–1. Calculer le travail du poids du tandem sur la distance AG.\text{AG.}

40
[Chercher.] ◉◉
Dans une unité de longueur donnée, on considère un carré ABCD\text{ABCD} dont le côté mesure 3,\text{3,} accolé à deux rectangles identiques BEFC\text{BEFC} et EGHF\text{EGHF} de largeur 2.\text{2.}

Les différentes expressions du produit scalaire


En utilisant la formule du projeté orthogonal, calculer les produits scalaires suivants.
1. ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. BABF\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BF}}

3. ElAG\overrightarrow{\mathrm{El}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}

4. CFGD\overrightarrow{\mathrm{CF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{GD}}

5. ICHG\overrightarrow{\mathrm{IC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HG}}

6. EJFA\overrightarrow{\mathrm{EJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FA}}

49
[Calculer.]
Soient u(2x)\vec{u}\begin{pmatrix}{2} \\ {x}\end{pmatrix} et v(14)\vec{v}\begin{pmatrix}{-1} \\ {4}\end{pmatrix} deux vecteurs du plan avec xR.x \in \mathbb{R}.
Déterminer la valeur de x{x} pour obtenir :
1. uv=2\vec{u} \cdot \vec{v}=2

2. uv=5\vec{u} \cdot \vec{v}=-5

3. uv=73\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{7}{3}

4. uv=8\vec{u} \cdot \vec{v}=\sqrt{8}

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