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Nouvelle épreuve Bac

Algèbre

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Ch. 1
Suites numériques

Ch. 2
Fonctions de référence

Ch. 3
Équations et inéquations du second degré

Analyse

Ch. 4
Dérivation

Ch. 5
Applications de la dérivation

Ch. 6
Fonction exponentielle

Ch. 7
Trigonométrie

Ch. 8
Fonctions trigonométriques

Géométrie

Ch. 9
Produit scalaire

Ch. 10
Configurations géométriques

Probabilités et statistiques

Ch. 11
Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

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Chapitre 9

Entrainement 1

Les différentes expressions du produit scalaire

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

39 ;

40 ;

53 ;

Parcours 2 : exercices

44 ;

50 ;

Parcours 3 : exercices

45 ;

58 ;

62 ;

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Sauf indication contraire, pour tous les exercices, le plan est muni d'un repère orthonormé

(O; i, j) .

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38
[Effectuer.]
Les points

A,

B,

C,

D,

E,

F,

G

H

sont placés sur une droite graduée de façon à ce que

AB = BC =

CD = DE =

EF = FG =

GH = 1.

Déterminer les produits scalaires suivants.

AD \cdot AG

DC \cdot DF

AB \cdot DE

CD \cdot HD

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39
[Chercher.]

On considère le rectangle

ABCD

ci-après.

E,

F,

G

H

sont respectivement les milieux des côtés

[BC],

[CD],

[DA]

[AB] .

O

est l'intersection des diagonales du rectangle.

Les différentes expressions du produit scalaire

Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée.

AB \cdot AC :

AG \cdot AF :

AF \cdot AB :

AD \cdot AF :

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40
[Chercher.]

Dans une unité de longueur donnée, on considère un carré

ABCD

dont le côté mesure

3,

accolé à deux rectangles identiques

BEFC

EGHF

de largeur

2.

En utilisant la formule du projeté orthogonal, calculer les produits scalaires suivants.

AB \cdot AC

BA \cdot BF

El \cdot AG

CF \cdot GD

IC \cdot HG

EJ \cdot FA

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41
[Représenter.]

On considère les vecteurs

u

v

dans le repère orthonormé suivant.

En lisant graphiquement les coordonnées des vecteurs

u

v,

calculer leur norme puis le produit scalaire

u \cdot v .

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42
Python
[Modéliser.]

1. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé, calcule sa norme.

Cliquez pour accéder à la correction

2. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées de deux vecteurs dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs.

Cliquez pour accéder à la correction

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43
[Calculer.]
On considère les vecteurs

u (1 - 2 1)

v (1 + 2 - 4) .

Calculer :

u \cdot v

(3 u) \cdot v

(4 u) \cdot (- 2 v)

u \cdot (2 u - v)

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44
[Raisonner.]

Le triangle

ABC

est un triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm.

I

est le pied de la hauteur issue de

A.

Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

BC \cdot BA

BA \cdot BI

AI \cdot AC

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45
[Raisonner.]

On considère le rectangle

ABCD

de longueur

10

et de largeur

6.

E

est le milieu du côté

[AB]

F

le milieu du côté

[BC] .

Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.1.

DA \cdot DB

DC \cdot DF

DA \cdot DC

DE \cdot DF

DF \cdot DB

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46
[Calculer.]
On considère les points

A (5; - 3),

B (- 2; 7),

C (\frac{- 1}{2}; 0)

D (- 5; \frac{3}{4}) .

Calculer les produits scalaires

AB \cdot CD,

AC \cdot BD

AD \cdot BC .

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Pour les exercices
47
à
48

On définit le travail

W,

exprimé en joule, d'une force

F,

en newton, sur un déplacement rectiligne

AB,

en mètre, par le produit scalaire

F \cdot AB .

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47
En Physique
[Modéliser.]
La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d'un angle de

5°

par rapport à l'horizontale.

La traction de la caravane est modélisée par une force

F

d'intensité 15 000 newtons, inclinée d'un angle de

9°

par rapport à l'horizontale. Calculer le travail de la force

F

le long de cette route. Donner l'écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.

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48
En Physique
[Modéliser.]
Pendant leur promenade en tandem, Daniel et Barbara ont crevé en bas de la montagne (point

A

). Ils doivent pousser leur tandem jusqu'au prochain garage (point

G

), situé à 2 km, sur une pente inclinée d'un angle de

10°

par rapport à l'horizontale. La situation est schématisée ci-dessous.

Le tandem est soumis à son poids

P = m g

durant toute la montée, avec

m

= 20 kg et

g

= 9,8 N·kg^–1. Calculer le travail du poids du tandem sur la distance

AG.

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49
[Calculer.]
Soient

u (2 x)

v (- 1 4)

deux vecteurs du plan avec

x \in R .

Déterminer la valeur de

x

pour obtenir :
1.

u \cdot v = 2

u \cdot v = - 5

u \cdot v = \frac{7}{3}

u \cdot v = 8

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50
[Calculer.]

Soient

u (33)

v (x 1)

deux vecteurs du plan avec

x \in R .

Déterminer toutes les éventuelles valeurs de

x

pour obtenir :
1.

(u, v) = 0

(u, v) = \frac{π}{2}

(u, v) = \frac{π}{3}

(u, v) = \frac{π}{6}

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Dans la vie professionnelle

Photographie : main utilisant un stylet sur écran d'ordinateur affichant plan technique de pièces mécaniques. CAO.

Le dessinateur / la dessinatrice en construction mécanique doit posséder une formation scientifique et technologique solide pour utiliser, par exemple, la théorie sur les systèmes hydrauliques ou pneumatiques. Cette théorie est à la base des plans et schémas réalisés par le dessinateur et fait intervenir des lois physiques utilisant les vecteurs et les produits scalaires.

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Histoire des maths

Gravure, portrait Hermann Grassmann, mathématicien allemand, costume sombre, lunettes.

Le produit scalaire est un puissant outil mathématique dont les fondements ont été posés par le mathématicien allemand Hermann Grassmann, ayant des applications, aussi bien en mathématiques (pour la détermination d'objets perpendiculaires ou orthogonaux) qu'en physique (pour le travail des forces). Il apparaît pourtant tardivement dans l'histoire des sciences (fin du XIX^e siècle) et se voit prolongé au XX^e siècle dans des espaces de dimensions supérieures ou complexes. À la même époque, le produit vectoriel qui, à deux vecteurs, associe un troisième vecteur et non un nombre réel, fait son apparition.

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Ch. 2Fonctions de référence

Ch. 3Équations et inéquations du second degré

Ch. 4Dérivation

Ch. 5Applications de la dérivation

Ch. 6Fonction exponentielle

Ch. 7Trigonométrie

Ch. 8Fonctions trigonométriques

Ch. 9Produit scalaire

Ch. 10Configurations géométriques

Ch. 11Probabilités conditionnelles

Ch. 12Variables aléatoires réelles

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

Les différentes expressions du produit scalaire

Pour les exercices 47 à 48

Dans la vie professionnelle

Histoire des maths

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Fonctions de référence

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Équations et inéquations du second degré

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Applications de la dérivation

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Fonction exponentielle

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Trigonométrie

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Fonctions trigonométriques

Ch. 9
Produit scalaire

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Configurations géométriques

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Probabilités conditionnelles

Ch. 12
Variables aléatoires réelles

Pour les exercices
47
à
48