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1. Les différentes expressions du produit scalaire
P.244-245

Entrainement 1


Les différentes expressions du produit scalaire




Sauf indication contraire, pour tous les exercices, le plan est muni d’un repère orthonormé

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 40 ; 53 ; 54 et 70
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 50 ; 56 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 58 ; 62 ; 74 et 79

38
[Effectuer.]
Les points et sont placés sur une droite graduée de façon à ce que

Les différentes expressions du produit scalaire


Déterminer les produits scalaires suivants.
1.

2.

3.

4.
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39
[Chercher.] ◉◉
On considère le rectangle ci-après. et sont respectivement les milieux des côtés et
est l’intersection des diagonales du rectangle. Apparier chaque expression du produit scalaire avec son expression simplifiée.
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40
[Chercher.] ◉◉
Dans une unité de longueur donnée, on considère un carré dont le côté mesure accolé à deux rectangles identiques et de largeur

Les différentes expressions du produit scalaire


En utilisant la formule du projeté orthogonal, calculer les produits scalaires suivants.
1.

2.

3.

4.

5.

6.
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41
[Représenter.]
On considère les vecteurs et dans le repère orthonormé suivant.

Les différentes expressions du produit scalaire


En lisant graphiquement les coordonnées des vecteurs et calculer leur norme puis le produit scalaire
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42
PYTHON
[Modéliser.]
1. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé, calcule sa norme.


2. Écrire un programme qui, à partir des coordonnées de deux vecteurs dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs.



43
[Calculer.]
On considère les vecteurs et Calculer :
1.

2.

3.

4.

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44
[Raisonner.] ◉◉
Le triangle est un triangle équilatéral dont le côté mesure 2 cm. est le pied de la hauteur issue de Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

Les différentes expressions du produit scalaire


1.

2.

3.
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45
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le rectangle de longueur et de largeur est le milieu du côté et le milieu du côté Déterminer les valeurs exactes des produits scalaires suivants.

Les différentes expressions du produit scalaire


1.

2.

3.

4.

5.
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46
[Calculer.]
On considère les points et
Calculer les produits scalaires et
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Pour les exercices
47
et
48


On définit le travail exprimé en joule, d’une force en newton, sur un déplacement rectiligne en mètre, par le produit scalaire

47
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
La famille Sardin part en vacances. Elle a une caravane accrochée derrière sa voiture et elle roule sur une route de montagne de 10 km, inclinée d’un angle de par rapport à l’horizontale.

Les différentes expressions du produit scalaire


La traction de la caravane est modélisée par une force d’intensité 15 000 newtons, inclinée d’un angle de par rapport à l’horizontale. Calculer le travail de la force le long de cette route. Donner l’écriture scientifique du résultat en faisant attention aux chiffres significatifs.
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Dans la vie professionnelle

Les différentes expressions du produit scalaire

Le dessinateur / la dessinatrice en construction mécanique doit posséder une formation scientifique et technologique solide pour utiliser, par exemple, la théorie sur les systèmes hydrauliques ou pneumatiques. Cette théorie est à la base des plans et schémas réalisés par le dessinateur et fait intervenir des lois physiques utilisant les vecteurs et les produits scalaires.

48
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Pendant leur promenade en tandem, Daniel et Barbara ont crevé en bas de la montagne (point ). Ils doivent pousser leur tandem jusqu’au prochain garage (point ), situé à 2 km, sur une pente inclinée d’un angle de par rapport à l’horizontale. La situation est schématisée ci-dessous.

Les différentes expressions du produit scalaire


Le tandem est soumis à son poids durant toute la montée, avec = 20 kg et = 9,8 N·kg–1. Calculer le travail du poids du tandem sur la distance
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49
[Calculer.]
Soient et deux vecteurs du plan avec
Déterminer la valeur de pour obtenir :
1.

2.

3.

4.

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50
[Calculer.] ◉◉
Soient et deux vecteurs du plan avec Déterminer toutes les éventuelles valeurs de pour obtenir :
1.

2.

3.

4.
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Histoire des maths

Les différentes expressions du produit scalaire - Grassman

Le produit scalaire est un puissant outil mathématique dont les fondements ont été posés par le mathématicien allemand Hermann Grassmann, ayant des applications, aussi bien en mathématiques (pour la détermination d’objets perpendiculaires ou orthogonaux) qu’en physique (pour le travail des forces). Il apparaît pourtant tardivement dans l’histoire des sciences (fin du XIXe siècle) et se voit prolongé au XXe siècle dans des espaces de dimensions supérieures ou complexes. À la même époque, le produit vectoriel qui, à deux vecteurs, associe un troisième vecteur et non un nombre réel, fait son apparition.
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