Synthèse - Objectif BAC




Club de Maths

Histoire des maths

Produit scalaire - synthèse

Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.C.) est un mathématicien, ingénieur et mécanicien grec. Un de ses ouvrages les plus célèbres est le Traité des pneumatiques dans lequel il décrit des automates utilisant de la vapeur et des machines hydrauliques. En mathématiques, il étudia, en géométrie, les formules d’aires dans le plan ainsi que les aires et les surfaces dans l’espace avec des applications concrètes pour ses travaux en mécanique.

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[Chercher.]
On considère trois points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} du plan et le produit scalaire ABAC.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
1. Soient A1,\mathrm{A}_{1}, B1\text{B} _{1} et C1\mathrm{C}_{1} les images respectives des points A,\text{A,} B\text{B} et C\text{C} par la translation d’un vecteur quelconque u.\vec{u}. Que peut-on dire du produit scalaire A1B1A1C1? \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}}\:?

2. Soient A2,\mathrm{A}_{2}, B2\text{B}_{2} et C2\mathrm{C}_{2} les images respectives des points A,A, BB et CC par la symétrie axiale d’une droite quelconque d.d. Que peut-on dire du produit scalaire A2B2A2C2?\overrightarrow{\mathrm{A}_{2} \mathrm{B}_{2}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{2} \mathrm{C}_{2}}\:?

3. Soit M\text{M} un point quelconque distinct de A,\text{A,} B\text{B} et C.\text{C.} Soient A3,\mathrm{A}_{3}, B3\mathrm{B}_{3} et C3\mathrm{C}_{3} les images respectives des points A,\text{A}, B\text{B} et C\text{C} par la symétrie centrale de centre M.\text{M.} Que peut-on dire du produit scalaire A3B3A3C3?\overrightarrow{\mathrm{A}_{3} \mathrm{B}_{3}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_{3} \mathrm{C}_{3}}\:?

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[Chercher.]
On se place dans un repère orthonormé (A;AB,AC)({\mathrm{A}}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}). Les points D,\text{D,} E\text{E} et F\text{F} sont placés sur les segments [AB],[\mathrm{AB}], [BC][\mathrm{BC}] et [CA][\mathrm{CA}] tels que AD =\text{AD =} BE =\text{BE =} CF =\text{CF =} k,k, avec k[0;1]k \in[0 ; 1]
1. Déterminer en fonction de kk les coordonnées des différents points de la figure dans le repère (A;AB,AC).(\mathrm{A}\:; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}).
En particulier, montrer que E\text{E} a pour coordonnées (22k2;2k2)\left(\dfrac{2-\sqrt{2} k}{2}\:; \dfrac{\sqrt{2} k}{2}\right)

2. Calculer le produit scalaire DEDF\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}

3. Existe-il une valeur de kk telle que le triangle DEF\text{DEF} soit rectangle en D ?\text{D ?}

Histoire des maths

Produit scalaire - synthèse

Vincenzo Viviani (1622-1703) était un mathématicien, physicien et astronome italien, assistant de Galilée, qui publia en 1690 la version italienne des Éléments d’Euclide. Après la mort de Galilée, Viviani écrivit sa bibliographie. En guise d’hommage, son nom a été donné à un cratère lunaire. Son théorème a été étendu aux polygones réguliers à nn côtés, ainsi qu’au cas où le point est à l’extérieur du triangle

85
DÉMO
[Raisonner.]
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème de Viviani : soit ABC\text{ABC} un triangle équilatéral et M\text{M} un point intérieur au triangle. Alors la somme des distances de M\text{M} aux trois côtés est égale à la longueur des hauteurs du triangle.

Produit scalaire - synthèse


Dans un repère orthonormé, on considère le triangle équilatéral ABC\text{ABC} tel que A(0;0),{ \mathrm{A}(0\:; 0),} B(6;0){\mathrm{B}(6\:; 0)} et C(3;33).{\mathrm{C}(3\:; 3 \sqrt{3}).} Soit M\text{M} un point intérieur au triangle de coordonnées (xM;yM).\left(x_{\mathrm{M}} ; y_{\mathrm{M}}\right).
Les points A’,\text{A',} B’\text{B'} et C’\text{C'} sont les projetés orthogonaux du point M\text{M} sur les segments [BC],[\mathrm{BC}], [AC][\mathrm{AC}] et [AB].[\mathrm{AB}].
1. Calculer la longueur de la hauteur issue du sommet C.\text{C.}

2. Déterminer une équation de la droite (AB).(\mathrm{AB}).

3. À l’aide d’une équation de la droite (AB)(\mathrm{AB}) et en calculant le produit scalaire MCAB,\overrightarrow{\mathrm{MC}}^{\prime} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}, exprimer les coordonnées de C’\text{C'} en fonction des coordonnées de M.\text{M.} Montrer de la même façon que
B(xM+3yM4;3xM+3yM4)\mathrm{B}^{\prime}\left(\dfrac{x_{\mathrm{M}}+\sqrt{3} y_{\mathrm{M}}}{4}\:; \dfrac{\sqrt{3} x_{\mathrm{M}}+3 y_{\mathrm{M}}}{4}\right) et
A(xM3yM+184;3xM+3yM+634)\mathrm{A}^{\prime}\left(\dfrac{x_{\mathrm{M}}-\sqrt{3} y_{\mathrm{M}}+18}{4}\:; \dfrac{-\sqrt{3} x_{\mathrm{M}}+3 y_{\mathrm{M}}+6 \sqrt{3}}{4}\right)

4. Calculer les trois distances MA,\text{MA}', MB\text{MB}' et MC.\text{MC}'.

5. Les additionner. Que constate-t-on ?

87
DÉFI

Sur une montre à aiguilles classique sans trotteuse, à quelles heures, à la seconde près, le produit scalaire des deux aiguilles sera-t-il nul ?


Produit scalaire - synthèse

77
DÉMO
[Raisonner.]
Le plan est muni d’un repère (O;i,j).(\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}). On considère deux vecteurs u(xy)\vec{u}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right) et v(xy)\vec{v}\left(\begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}}\end{array}\right)x,x, y,y, xx' et yy' sont des réels quelconques.

1. a. Justifier que l’on peut écrire u=xi+yj.\vec{u}=x \vec{i}+y \vec{j}.

b. De la même façon, écrire une décomposition du vecteur v\vec{v} en fonction de i\vec{i} et j.\vec{j}.

2. a. Écrire uv\vec{u} \cdot \vec{v} en utilisant les décompositions de la question précédente.

b. Développer l’expression obtenue et, en utilisant les propriétés du produit scalaire, démontrer que uv=xx+yy.\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}.

79
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le cube de l’espace ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} de côté c.c .

Produit scalaire - synthèse


On note O\text{O} le centre du cube. Le but de l’exercice est de montrer que l’angle α\alpha est indépendant de la longueur cc des arêtes du cube.
1. Calculer les longueurs AC\text{AC} et AG.\text{AG.}

2. À partir de deux expressions différentes du produit scalaire OAOC,\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}, déterminer le cosinus de l’angle α.\alpha.

3. Conclure.

83
[Chercher.]
On considère un cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} d’arête de longueur c.c. Le point I\text{I} est le centre de la face EFGH.\text{EFGH.}

Produit scalaire - synthèse


Déterminer la mesure de l’angle AIC^\widehat{\mathrm{AIC}} au degré près.

86
APPROFONDISSEMENT

Le but de cet exercice est de démontrer la loi des sinus. On considère un triangle ABC\text{ABC} quelconque, d’aire S,\text{S,} muni des notations suivantes.

Produit scalaire - synthèse


1. On rappelle que l’aire du triangle ABC\text{ABC} est donnée par la formule S=12bcsin(A^).\mathrm{\text{S}}=\dfrac{1}{2} b c \sin (\widehat{\mathrm{A}}). En déduire deux autres formules s’appuyant sur des angles différents.

2. En déduire de la question précédente la loi des sinus : abc2S=asin(A^)=bsin(B^)=csin(C^).\dfrac{a b c}{2 \text{S}}=\dfrac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})}.

3. Application 1 : Soit ABC\text{ABC} un triangle tel que b=7,b = 7 , A^=π4\widehat{\text{A}}=\dfrac{\pi}{4} et C^=2π3.\widehat{\text{C}}=\dfrac{2 \pi}{3}.
Déterminer une valeur approchée au dixième près des deux autres longueurs du triangle.

4. Application 2 : Triangulation. Redouane (R)(\mathrm{R}) et Zola (Z)(\mathrm{Z}) sont partis à vélo chacun de leur côté. Zola veut rejoindre la ville d’Arkham City (A)(\mathrm{A}) tandis que Redouane roule vers Dunwich (D).(\mathrm{D}).
Ils échangent les mesures d’angles et de longueur ci-dessous par SMS.\text{SMS.} Calculer la distance qu’il leur reste à parcourir jusqu’à leur destination.

Produit scalaire - synthèse



82
DÉMO
[Raisonner.]
On se place dans un carré ABCD.\text{ABCD.} Les points E,\text{E,} F,\text{F,} G\text{G} et H\text{H} sont placés sur les côtés [AB],\text{[AB],} [BC],\text{[BC],} [CD]\text{[CD]} et [DA]\text{[DA]} tels que AE =\text{AE =} BF =\text{BF =} CG =\text{CG =} DH =\text{DH =} kkAB\text{AB} avec k[0;1].k \in[0\: ; 1].

Produit scalaire - synthèse


Montrer que quelle que soit la valeur de k,k, le quadrilatère EFGH\text{EFGH} est un carré.

88
ÉNIGME

Un joueur de football s’apprête à tirer. La situation est modélisée par le schéma ci-dessous. L’écart entre les poteaux de la cage de but est de 7,32 m. L’arbitre est à 10 m du joueur et à 4 m du poteau de but le plus proche.

Produit scalaire - synthèse


Quelle est la mesure de l’angle de tir a du joueur, arrondie au dixième de degré près ?

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 40 ; 53 ; 54 et 70
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 50 ; 56 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 58 ; 62 ; 74 et 79

78
DÉMO
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de démontrer la formule de Héron.
On considère un triangle ABC\text{ABC} quelconque, d’aire S,\text{S,} muni des notations suivantes.

Produit scalaire - synthèse


Combiner la formule d’Al-Kashi et la loi des sinus : abc2S=asin(A^)=bsin(B^)=csin(C^)\dfrac{a b c}{2 \text{S}}=\dfrac{a}{\sin (\widehat{\text{A}})}=\dfrac{b}{\sin (\widehat{\text{B}})}=\dfrac{c}{\sin (\widehat{\text{C}})} pour obtenir la formule de Héron : S=p(pa)(pb)(pc)\mathrm{\text{S}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}pp est le demi-périmètre : p=a+b+c2p=\dfrac{a+b+c}{2}

80
GEOGEBRA
[Chercher.]
On s’intéresse à un rectangle ABCD\text{ABCD} de mesures données. E\text{E} est le milieu du segment [AB]\text{[AB]} et F\text{F} l’intersection des droites (DE)(\mathrm{DE}) et (CA).(\mathrm{CA}).

Produit scalaire - synthèse


1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les longueurs AB\text{AB} et AD\text{AD} afin que les droites (DE)(\mathrm{DE}) et (AC)(\mathrm{AC}) soient perpendiculaires.

2. On suppose que le rectangle ABCD\text{ABCD} a les dimensions d’une feuille A3 de longueur 420 mm et de largeur 297 mm.
a. La condition précédente est-elle respectée ?

b. Tracer la figure à l’aide du logiciel GeoGebra.

Lancer le module Geogebra

c. Quelle est la mesure de l’angle DFA^\widehat{\mathrm{DFA}} affichée par le logiciel ?
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