Entrainement 3


Vecteur normal





72
[Calculer.]
Soit u(35)\vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {5}\end{pmatrix} un vecteur du plan. Parmi les droites suivantes, quelles sont celles qui admettent u\vec{u} comme vecteur normal ? Justifier.
1. La droite D1\mathrm{D}_{1} d’équation 3y+5x10=0.3 y+5 x-10=0.

2. La droite D2\mathrm{D}_{2} d’équation y=253x.y=\dfrac{2}{5}-3 x.

3. La droite D3\mathrm{D}_{3} d’équation 3x=5y+13.3 x=-5 y+13.

4. La droite D4\mathrm{D}_{4} passant par les points A(4;3)\mathrm{A}(-4\:; 3) et B(1;1).\mathrm{B}(1\:; 1).

5. La droite D5\mathrm{D}_{5} coupant l’axe des abscisses en x=5x=5 et l’axe des ordonnées en y=3.y=3.

68
[Calculer.] ◉◉
Pour chacun des cas suivants, déterminer un vecteur directeur de la droite (AB)(\mathrm{AB}) puis un vecteur normal.
1. A(4;3)\mathrm{A}(-4\:; 3) et B(2;0)\mathrm{B}(2\:; 0)

2. A(2;5)\mathrm{A}\left(2\:;5\right) et B(3;1)\text{B}(-3\:; 1)

3. A(54;1)\mathrm{A}\left(\dfrac{5}{4}\:; 1\right) et B(3;14)\text{B}\left(3\:;-\dfrac{1}{4}\right)

4. A(2;1)\mathrm{A}(\sqrt{2}\:; 1) et B(1;2)\mathrm{B}(1\:; \sqrt{2})

70
[Chercher.] ◉◉
Pour chaque droite, utiliser l’équation donnée pour déterminer les coordonnées d’un vecteur normal et d’un vecteur directeur.
1. 3x8y+6=03 x-8 y+6=0

2. 2x+5y2=0-2 x+5 y-2=0

3. y+3x+4=0-y+3 x+4=0

4. y=23x6y=\dfrac{2}{3} x-6

5. x=7x=-7

6. 2x3=0-2 x-3=0

75
DÉMO
[Raisonner.]
On considère le triangle ABC\text{ABC} tel que A(6;1),\mathrm{A}(6\:;-1), B(1;2)\mathrm{B}(1\:; 2) et C(3;1).\mathrm{C}(-3\:; 1).
1. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].[\mathrm{BC}].

2. Déterminer une équation de la médiatrice de [AC].[\mathrm{AC}].

3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection O\text{O} des deux médiatrices.

4. On note C\text{C}^{\prime} le milieu du segment [AB].[\mathrm{AB}]. Calculer le produit scalaire ABCO.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{O}}. Quel résultat connu retrouve-t-on ?

69
[Raisonner.]
Dans chaque cas, déterminer en justifiant, si les droites D1\mathrm{D}_{1} et D2\mathrm{D}_{2} sont perpendiculaires.
1. D1:2x+8y5=0\mathrm{D}_{1}\:: 2 x+8 y-5=0 et D2:5x7y6=0.\mathrm{D}_{2} : 5 x-7 y-6=0.

2. D1:5x+2y+1=0\mathrm{D}_{1}\::-5 x+2 y+1=0 et D2:y=25x.\mathrm{D}_{2} : y=\dfrac{-2}{5} x.

3. D1\mathrm{D}_{1} de vecteur directeur u(7323)\vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{7}{3}} \\ \\ {\dfrac{2}{3}}\end{pmatrix} et D2:94x+2=0.\mathrm{D}_{2}\:: \dfrac{9}{4} x+2=0.

4. D1:(12)x+(2+1)y=3\mathrm{D}_{1} :(1-\sqrt{2}) x+(\sqrt{2}+1) y=-3 et D2:(1+2)x+(21)y=12.\mathrm{D}_{2}:(1+\sqrt{2}) x+(\sqrt{2}-1) y=12.

5. D1:y=8x5\mathrm{D}_{1} : y=8 x-5 et D2\mathrm{D}_{2} passant par les points de coordonnées A(2;0)\mathrm{A}(-2\:; 0) et B(6;1).\text{B}(6\:;-1).

71
[Calculer.].]
À partir des équations de droite suivantes, trouver les coordonnées d’un vecteur normal à la droite et d’un point appartenant à cette droite.
1. 5x6y+3=05 x-6 y+3=0

2. 3y2x=53 y-2 x=5

3. 2x2y=2\sqrt{2} x-\sqrt{2} y=2

4. y=xy=x

5. y73=0y-\dfrac{7}{3}=0

6. x=4x=-4

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 40 ; 53 ; 54 et 70
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 50 ; 56 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 58 ; 62 ; 74 et 79

76
PYTHON
[Modéliser.]
Écrire un programme avec Python qui, à partir des coordonnées d’un point A\text{A} et d’un vecteur n\vec{n} dans un repère orthonormé, détermine les coefficients d'une équation cartésienne de la droite D\text{D} passant par A\text{A} et de vecteur normal n.\vec{n}.



73
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite dd passant par le point A\text{A} et perpendiculaire à la droite (BC).(\mathrm{BC}).
1. A(1;4)\mathrm{A}(1\:; 4) et u(43)\vec{u}\begin{pmatrix}{-4} \\ {3}\end{pmatrix} un vecteur directeur de (BC).(\mathrm{BC}).

2. A(0;3),\mathrm{A}(0\:; 3), B(2;1)\mathrm{B}(2\:;-1) et C(5;3).\mathrm{C}(-5\:; 3).

3. A(5;7)\mathrm{A}(-5\:; 7) et la droite (BC)(\mathrm{BC}) est parallèle à l’axe des ordonnées.

74
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
On considère le triangle ABC\text{ABC} tel que A(4;3),\mathrm{A}(4\:;-3), B(5;3)\mathrm{B}(5\:; 3) et C(2;3).\mathrm{C}(-2\:; 3).
1. Déterminer une équation de la hauteur issue de A\text{A} dans le triangle ABC.\text{ABC.}

2. Déterminer une équation de la hauteur issue de B\text{B} dans le triangle ABC.\text{ABC.}

3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H\text{H} des deux hauteurs.

4. Calculer le produit scalaire ABCH.\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}. Quel résultat connu retrouve-t-on ?
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