Entrainement 2


Propriétés du produit scalaire





62
DÉMO
[Raisonner.] ◉◉◉
En utilisant la relation de Chasles et la distributivité du produit scalaire, démontrer le résultat connu : « les diagonales d’un losange sont perpendiculaires ».

56
[Chercher.] ◉◉
On considère les points du plan suivants : A(10;4),\mathrm{A}(-10\:; 4), B(4;1)\mathrm{B}(-4\:; 1) et C(1;7).\mathrm{C}(-1\:; 7).
1. En utilisant le produit scalaire, montrer que le triangle ABC\text{ABC} est un triangle rectangle.

2. Déterminer les coordonnées du point D\text{D} tel que le quadrilatère ABCD\text{ABCD} soit un rectangle.

51
[Calculer.]
On considère les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} tels que u=6,\|\vec{u}\|=6, v=5\|\vec{v}\|=5 et uv=2.\vec{u} \cdot \vec{v}=2. Calculer les expressions suivantes.
1. uv\|\vec{u}-\vec{v}\|

2. u+v\|\vec{u}+\vec{v}\|

3. (uv)(u+v)(\vec{u}-\vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v})

4. (u+2v)(3u+v)(\vec{u}+2 \vec{v}) \cdot(3 \vec{u}+\vec{v})

58
[Chercher.] ◉◉◉
On considère le point A(3;0)\mathrm{A}(3\:; 0) et la droite dd d’équation 3x2y+4=0.3x - 2y + 4 = 0. On note H\text{H} le projeté orthogonal du point A\text{A} sur la droite d.d.
1. On note hh l’abscisse du point H.\text{H.} Écrire l’ordonnée de H\text{H} en fonction de h.h.

2. Déterminer la valeur de hh en utilisant un produit scalaire.

3. Quelles sont les coordonnées de H ?\text{H ?}

4. En déduire la distance du point A\text{A} à la droite dd définie par la longueur AH.\text{AH.}

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 39 ; 40 ; 53 ; 54 et 70
◉◉ Parcours 2 : exercices 44 ; 50 ; 56 et 68
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 45 ; 58 ; 62 ; 74 et 79

57
[Chercher.]
On considère les points A(4;2),\mathrm{A}(-4\:;-2), B(2;3)\mathrm{B}(2\:;-3) et C(1;4).\mathrm{C}(1\:; 4).
Les points D(0;2),\mathrm{D}(0\:;-2), E(12;1)\mathrm{E}\left(\dfrac{1}{2}\: ; 1\right) et F(2;7)\mathrm{F}(2\:; 7) appartiennent-ils à la hauteur issue de C\text{C} dans le triangle ABC ?\text{ABC ?}

64
DÉMO
[Raisonner.]
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
Montrer que uv=u+v\|\vec{u}-\vec{v}\|=\|\vec{u}+\vec{v}\| si et seulement si les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux.

61
ALGO
[Calculer .]
1. a,a, b,b, aa^{\prime} et bb' sont quatre réels donnés.
L’algorithme suivant renvoie VRAI lorsque deux droites sont perpendiculaires et FAUX lorsqu’elles ne le sont pas.

pa×a+b×bSi p=0: retourner(VRAI)  sinon :  retourner(FAUX)  Fin Si  \boxed{ \begin{array} { l } \text{p} \leftarrow \text{a} \times \text{a}^{\prime}+\text{b} \times \text{b}^{\prime} \\ \text{Si } \mathrm{p}=0\::\\ \quad \text { retourner(VRAI) } \\ \text { sinon : } \\ \quad \text { retourner(FAUX) } \\ \text { Fin Si } \\ \end{array} }

Expliquer comment fonctionne l’algorithme et à quoi correspondent les différentes variables.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients des équations cartésiennes de deux droites afin que celles-ci soient perpendiculaires

55
[Chercher.]
Déterminer les éventuelles valeurs du réel tt pour lesquelles les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux.
1. u(2t) \vec{u}\begin{pmatrix}{-2} \\ {t}\end{pmatrix} et v(4t2)\vec{v}\begin{pmatrix}{4 t} \\ {2}\end{pmatrix}

2. u(t2)\vec{u}\begin{pmatrix}{t} \\ {-2}\end{pmatrix} et v(t+62t12)\vec{v}\begin{pmatrix}{t+6} \\ {2 t-\dfrac{1}{2}}\end{pmatrix}

3. u(3t2t)\vec{u}\begin{pmatrix}{\sqrt{3} t} \\ {2 t}\end{pmatrix} et v(5t+112)\vec{v}\begin{pmatrix}{\sqrt{5} t+1} \\ {\sqrt{12}}\end{pmatrix}

67
DEMO
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que, dans un triangle ABC\text{ABC} non plat, ABAC=ABAH\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}H\text{H} est le pied de la hauteur issue de C.\text{C.}
1. À l’aide de la relation de Chasles, décomposer le vecteur AC\text{AC} en faisant apparaître le point H.\text{H.}

2. À l’aide de la distributivité du produit scalaire, développer puis réduire ABAC\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} pour retrouver l’expression cherchée.

54
[Chercher.] ◉◉
Déterminer les éventuelles valeurs du réel xx pour lesquelles les vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux.
1. u(6x)\vec{u}\begin{pmatrix}{6} \\ {x}\end{pmatrix} et v(32)\vec{v}\begin{pmatrix}{-3} \\ {2}\end{pmatrix}

2. u(3x)\vec{u}\begin{pmatrix}{-3} \\ {x}\end{pmatrix} et v(x14)\vec{v}\begin{pmatrix}{x-1} \\ {4}\end{pmatrix}

3. u(38)\vec{u}\begin{pmatrix}{3} \\ {8}\end{pmatrix} et v(x2)\vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {-2}\end{pmatrix}

4. u(x2)\vec{u}\begin{pmatrix}{x} \\ {-2}\end{pmatrix} et v(x8)\vec{v}\begin{pmatrix}{x} \\ {8}\end{pmatrix}

65
DÉMO
[Raisonner.]
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs non nuls du plan.
Montrer que u=v\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\| si et seulement si les vecteurs u+v\vec{u}+\vec{v} et uv\vec{u}-\vec{v} sont orthogonaux.

53
[Calculer.] ◉◉
On considère le rectangle ABCD\text{ABCD} tel que AB = 5\text{AB = 5} et BC = 3.\text{BC = 3.} On note O\text{O} l’intersection des diagonales du rectangle.

Propriétés du produit scalaire


1. Calculer les normes des vecteurs AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} et BD.\overrightarrow{\mathrm{BD}}.

2. Écrire la somme des vecteurs AC+BD\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}} d’une autre façon puis donner sa norme.

3. Calculer le produit scalaire ACBD\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}} en se servant uniquement des réponses aux questions précédentes.

59
[Chercher.]
On considère le point A(4;5)\mathrm{A}(4\:; 5) et la droite dd d’équation 5x+4y+1=0.5x + 4y + 1 = 0. On note H\text{H} le projeté orthogonal du point A\text{A} sur la droite d.d.
En appliquant la même méthode que dans l’exercice précédent, calculer la distance du point A\text{A} à la droite d.d.

52
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
On applique deux forces F1\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}} et F2\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}} à un solide que l’on assimile à un point O.\text{O.}
On note F\overrightarrow{\mathrm{F}} la résultante de ces deux forces.

Propriétés du produit scalaire


1. Quel est le lien entre les vecteurs F,\overrightarrow{\mathrm{F}}, F1\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1} et F2?\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\:?

2. Sachant que F1\mathrm{F}_{1} = 15 N, F2\mathrm{F}_{2} = 13 N, et que (F1,F2)=40\left(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}, \overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\right)=40^{\circ} déterminer l’intensité de la résultante F.\|\overrightarrow{\mathrm{F}}\|. Arrondir le résultat au dixième.


Aide
On rappelle que u+v2=u2+2uv+v2\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\|\vec{v}\|^{2} pour tous vecteurs u\vec{u} et v\vec{v} du plan.

60
DÉMO
[Raisonner.]
Soient u\vec{u} et v\vec{v} deux vecteurs non nuls.
1. Supposons que u\vec{u} et v\vec{v} sont orthogonaux.
a. Quelle est la valeur de cos(u,v)?\cos (\vec{u}, \vec{v})\:?

b. En déduire alors la valeur de uv.\vec{u} \cdot \vec{v}.

2. Supposons maintenant que uv=0.\vec{u} \cdot \vec{v}=0.
a. Pourquoi peut-on affirmer que cos(u,v)=0?\cos (\vec{u}, \vec{v})=0\:?

b. Que peut-on alors dire de u\vec{u} et v?\vec{v}\:?

63
DÉMO
[Raisonner.]
On rappelle que u+v2=(u+v)(u+v).\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=(\vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}+\vec{v}).
1. a. Démontrer que u+v2=u2+2uv+v.\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2 \vec{u} \cdot \vec{v}+\|\vec{v}\|.

b. En déduire la formule : uv=12(u+v2u2v2).\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).

2. En raisonnant de même, démontrer les formules suivantes.
a. uv=12(u2+v2uv2).\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right).

b. uv=14(u+v2uv2).\vec{u} \cdot \vec{v}=\dfrac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right).