Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

\text{ABCDEFGH} est un cube de 3 cm de côté. \text{IABCD} et \text{JEFGH} sont deux pyramides à base carrée de sommet respectif \text{I} et \text{J} tel que \text{I} \in (\text{AE}), \text{J} \in \text{(GC)} et \text{AI} = \text{GJ} = 1,5 cm.

Questions préliminaires :

1. Calculer la longueur \text{AC} .

2. Justifier que les points \text{I} et \text{J} sont dans le plan du quadrilatère \text{ACGE}.

3. Quelle est la nature du quadrilatère \text{EACG} ? Justifier.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 1

On se place dans le plan (\text{EIJ} ). On veut savoir si le quadrilatère \text{EICJ} est un quadrilatère particulier.

1. Calculer la longueur \text{CI} .

2. Calculer \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.

3. En déduire la nature du quadrilatère \text{EICJ}. Justifier.

4. Que peut-on dire du point \text{O}_1, intersection des droites (\text{IJ}) et (\text{EC}), par rapport aux quadrilatères \text{EICJ} et \text{EACG} ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 2

On se place dans le plan (\text{HBJ}). On se demande si les droites (\text{HB}) et (\text{IJ}) sont perpendiculaires.

1. Justifier que le point \text{I} appartient bien au plan (\text{HBJ}).

2. En se plaçant dans le plan (\text{BCG}), calculer la longueur \text{JB} .

3. En se plaçant dans le plan (\text{ABF}), calculer la longueur \text{IB} .

4. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.

5. Conclure.

6. Que peut-on en déduire pour le point \text{O}_2, intersection des droites (\text{HB}) et (\text{IJ}) ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 3

On se place dans le plan (\text{IDF}). On se demande si les droites (\text{DF}) et (\text{IJ}) sont perpendiculaires.

1. Justifier que le point \text{J} appartient bien au plan (\text{IDF}).

2. En se plaçant dans le plan (\text{DCG}), calculer la longueur \text{JD} .

3. En se plaçant dans le plan (\text{ADH}), calculer la longueur \text{DI}.

4. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.

5. Conclure.

6. Que peut-on en déduire pour le point \text{O}_3, intersection des droites (\text{DF}) et (\text{IJ}) ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 4

On étudie un cas plus général : le cube \text{ABCDEFGH} est de côté c cm. On cherche à déterminer la longueur \text{AI} qui rendrait nul le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}. Rappel : \text{AI} = \text{GJ}.

1. Calculer la longueur \text{AC}.

2. Quelle doit être la longueur \text{AI} pour que le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}} soit nul ?

3. Conclure

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Mise en commun

1. Quelles sont les natures des quadrilatères \text{EICJ}, \text{JDIF} et \text{HIBJ} ?

2. Comment construire le quadrilatère \text{EICJ} à partir de \text{EACG} pour que le résultat précédent reste vrai ?

3. Que peut-on en déduire par rapport à la position des grandes diagonales du cube : \text{(EC)}, (\text{AG}), (\text{DF}), (\text{HB}) et de la droite (\text{IJ}) ?

Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène

Émilie

Jean-Paul

Fatima

Sarah

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.