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Étude d’une configuration de l’espace
P.242

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Étude d’une configuration de l’espace





ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un cube de 3 cm de côté. IABCD\text{IABCD} et JEFGH\text{JEFGH} sont deux pyramides à base carrée de sommet respectif I\text{I} et J\text{J} tel que I(AE)\text{I} \in (\text{AE}), J(GC)\text{J} \in \text{(GC)} et AI=GJ=\text{AI} = \text{GJ} = 1,5 cm.

Questions préliminaires :

1. Calculer la longueur AC.\text{AC} .


2. Justifier que les points I\text{I} et J\text{J} sont dans le plan du quadrilatère ACGE.\text{ACGE}.


3. Quelle est la nature du quadrilatère EACG\text{EACG} ? Justifier.
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Étude d’une configuration de l’espace

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

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On se place dans le plan (EIJ).(\text{EIJ} ). On veut savoir si le quadrilatère EICJ\text{EICJ} est un quadrilatère particulier.
1. Calculer la longueur CI.\text{CI} .


2. Calculer IJEC.\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.


3. En déduire la nature du quadrilatère EICJ.\text{EICJ}. Justifier.


4. Que peut-on dire du point O1\text{O}_1, intersection des droites (IJ)(\text{IJ}) et (EC)(\text{EC}), par rapport aux quadrilatères EICJ\text{EICJ} et EACG\text{EACG} ?


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PARTIE 2 ★★

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On se place dans le plan (HBJ).(\text{HBJ}). On se demande si les droites (HB)(\text{HB}) et (IJ)(\text{IJ}) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point I\text{I} appartient bien au plan (HBJ).(\text{HBJ}).


2. En se plaçant dans le plan (BCG)(\text{BCG}), calculer la longueur JB.\text{JB} .


3. En se plaçant dans le plan (ABF)(\text{ABF}), calculer la longueur IB.\text{IB} .


4. Calculer le produit scalaire HBIJ.\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.


5. Conclure.


6. Que peut-on en déduire pour le point O2\text{O}_2, intersection des droites (HB)(\text{HB}) et (IJ)(\text{IJ}) ?
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PARTIE 3 ★★

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On se place dans le plan (IDF).(\text{IDF}). On se demande si les droites (DF)(\text{DF}) et (IJ)(\text{IJ}) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point J\text{J} appartient bien au plan (IDF).(\text{IDF}).


2. En se plaçant dans le plan (DCG)(\text{DCG}), calculer la longueur JD.\text{JD} .


3. En se plaçant dans le plan (ADH)(\text{ADH}), calculer la longueur DI.\text{DI}.


4. Calculer le produit scalaire DFIJ.\overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.


5. Conclure.


6. Que peut-on en déduire pour le point O3\text{O}_3, intersection des droites (DF)(\text{DF}) et (IJ)(\text{IJ}) ?


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PARTIE 4 ★★★

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On étudie un cas plus général : le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est de côté cc cm. On cherche à déterminer la longueur AI\text{AI} qui rendrait nul le produit scalaire IJEC.\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.
Rappel : AI=GJ.\text{AI} = \text{GJ}.
1. Calculer la longueur AC.\text{AC}.


2. Quelle doit être la longueur AI\text{AI} pour que le produit scalaire IJEC\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}} soit nul ?


3. Conclure
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Mise en commun

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1. Quelles sont les natures des quadrilatères EICJ\text{EICJ}, JDIF\text{JDIF} et HIBJ\text{HIBJ} ?


2. Comment construire le quadrilatère EICJ\text{EICJ} à partir de EACG\text{EACG} pour que le résultat précédent reste vrai ?


3. Que peut-on en déduire par rapport à la position des grandes diagonales du cube : (EC)\text{(EC)}, (AG)(\text{AG}), (DF)(\text{DF}), (HB)(\text{HB}) et de la droite (IJ)(\text{IJ}) ?
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