TRAVAILLER ENSEMBLE


Étude d’une configuration de l’espace




Mise en commun

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1. Quelles sont les natures des quadrilatères EICJ\text{EICJ}, JDIF\text{JDIF} et HIBJ\text{HIBJ} ?


2. Comment construire le quadrilatère EICJ\text{EICJ} à partir de EACG\text{EACG} pour que le résultat précédent reste vrai ?


3. Que peut-on en déduire par rapport à la position des grandes diagonales du cube : (EC)\text{(EC)}, (AG)(\text{AG}), (DF)(\text{DF}), (HB)(\text{HB}) et de la droite (IJ)(\text{IJ}) ?

PARTIE 4 ★★★

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On étudie un cas plus général : le cube ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est de côté cc cm. On cherche à déterminer la longueur AI\text{AI} qui rendrait nul le produit scalaire IJEC.\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.
Rappel : AI=GJ.\text{AI} = \text{GJ}.
1. Calculer la longueur AC.\text{AC}.


2. Quelle doit être la longueur AI\text{AI} pour que le produit scalaire IJEC\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}} soit nul ?


3. Conclure

Étude d’une configuration de l’espace

PARTIE 3 ★★

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On se place dans le plan (IDF).(\text{IDF}). On se demande si les droites (DF)(\text{DF}) et (IJ)(\text{IJ}) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point J\text{J} appartient bien au plan (IDF).(\text{IDF}).


2. En se plaçant dans le plan (DCG)(\text{DCG}), calculer la longueur JD.\text{JD} .


3. En se plaçant dans le plan (ADH)(\text{ADH}), calculer la longueur DI.\text{DI}.


4. Calculer le produit scalaire DFIJ.\overrightarrow{\mathrm{DF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.


5. Conclure.


6. Que peut-on en déduire pour le point O3\text{O}_3, intersection des droites (DF)(\text{DF}) et (IJ)(\text{IJ}) ?


PARTIE 2 ★★

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On se place dans le plan (HBJ).(\text{HBJ}). On se demande si les droites (HB)(\text{HB}) et (IJ)(\text{IJ}) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point I\text{I} appartient bien au plan (HBJ).(\text{HBJ}).


2. En se plaçant dans le plan (BCG)(\text{BCG}), calculer la longueur JB.\text{JB} .


3. En se plaçant dans le plan (ABF)(\text{ABF}), calculer la longueur IB.\text{IB} .


4. Calculer le produit scalaire HBIJ.\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IJ}}.


5. Conclure.


6. Que peut-on en déduire pour le point O2\text{O}_2, intersection des droites (HB)(\text{HB}) et (IJ)(\text{IJ}) ?

PARTIE 1 ★★

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On se place dans le plan (EIJ).(\text{EIJ} ). On veut savoir si le quadrilatère EICJ\text{EICJ} est un quadrilatère particulier.
1. Calculer la longueur CI.\text{CI} .


2. Calculer IJEC.\overrightarrow{\mathrm{IJ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}.


3. En déduire la nature du quadrilatère EICJ.\text{EICJ}. Justifier.


4. Que peut-on dire du point O1\text{O}_1, intersection des droites (IJ)(\text{IJ}) et (EC)(\text{EC}), par rapport aux quadrilatères EICJ\text{EICJ} et EACG\text{EACG} ?



ABCDEFGH\text{ABCDEFGH} est un cube de 3 cm de côté. IABCD\text{IABCD} et JEFGH\text{JEFGH} sont deux pyramides à base carrée de sommet respectif I\text{I} et J\text{J} tel que I(AE)\text{I} \in (\text{AE}), J(GC)\text{J} \in \text{(GC)} et AI=GJ=\text{AI} = \text{GJ} = 1,5 cm.

Questions préliminaires :

1. Calculer la longueur AC.\text{AC} .


2. Justifier que les points I\text{I} et J\text{J} sont dans le plan du quadrilatère ACGE.\text{ACGE}.


3. Quelle est la nature du quadrilatère EACG\text{EACG} ? Justifier.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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