Activités




A
Probabilités conditionnelles


On considère une urne opaque dans laquelle il y a seize boules indiscernables au toucher. Huit sont bleues et huit sont rouges.
Akim tire une première boule au hasard et note sa couleur. Sans remettre cette boule dans l’urne, il tire une seconde boule et note sa couleur. Il réalise ainsi un tirage de deux boules sans remise.

1
Quelle est la probabilité qu’il obtienne une première boule bleue ?


2
On considère que la première boule qu’il a tirée était bleue. Quelle est la probabilité que la seconde boule qu’il tire soit rouge ?


3
Représenter tous les résultats possibles de cette situation par un arbre pondéré.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
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Bilan
En quoi le fait de connaître la couleur de la première boule qui est tirée change-t-il la probabilité du tirage de la seconde boule ?

AIDE

2
Le contenu de l’urne a changé.




Probabilités conditionnelles


Objectif
Découvrir la notion de probabilités conditionnelles.

C
Indépendance de deux événements


Indépendance de deux événements

AIDE

2
Commencer par tester plusieurs équations basiques. Les valeurs doivent aider à en choisir une bien adaptée.

Indépendance de deux événements
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Bilan
Conjecturer un critère définissant l’indépendance de deux événements. À l’aide de ce critère, déterminer si les événements E\text{E} et F\text{F} du tableau ci-contre sont indépendants.



E\text{E} E\overline{\mathrm{E}} Total
F\text{F} 0,12 0,28 0,4
F\overline{\mathrm{F}} 0,18 0,42 0,6
Total 0,3 0,7 1


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On considère les deux situations suivantes.

Situation 1 : On demande à des personnes si elles ont le bac (B)(\text{B}) et si elles ont les cheveux courts (C).(\text{C}) . On note les proportions dans le tableau suivant.

B\text{B} B\overline{\mathrm{B}} Total
C\text{C} 0,24 0,06 0,3
C\overline{\mathrm{C}} 0,56 0,14 0,7
Total 0,8 0,2 1


Situation 2 : On demande à des personnes si elles mangent des légumes (L)(\text{L}) et si elles sont en surpoids (S).(\text{S}) . On note les proportions dans le tableau suivant.

L\text{L} L\overline{\mathrm{L}} Total
S\text{S} 0,18 0,12 0,3
S\overline{\mathrm{S}} 0,62 0,08 0,7
Total 0,8 0,2 1


1
La réalisation de B\text{B} semble-t-elle intuitivement indépendante de celle de ?\text{C} ? En donner une explication possible.


2
Déterminer une relation entre P(B), P(C)\text{P(B), P(C)} et P(BC).\mathrm{ P(B \cap C) .}


3
La réalisation de L\text{L} semble-t-elle intuitivement indépendante de celle de S?\text{S}\:? En donner une explication possible.




Objectif
Découvrir et définir la notion d’indépendance de deux événements.


4
La relation de la question 2. reste-t-elle vraie avec P(L),\text{P(L)} , P(S)\text{P(S)} et P(LS) ?\mathrm{P(L \cap S)} ?


5
Les situations suivantes sont-elles des situations d’indépendance ? Essayer de répondre en utilisant un raisonnement intuitif puis en utilisant la relation conjecturée.
a) On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :
A: \text{A} : « le résultat obtenu est 1 ; 4 ou 6 » ;
B:\text{B} : « le résultat obtenu est pair ».
Les événements A\text{A} et B\text{B} sont-ils indépendants ?


b) Dans un sac opaque, on place 20 jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 20. On en tire un au hasard. On considère les événements suivants :
A:\text{A} : « le résultat obtenu est pair » ;
B:\text{B} : « le résultat obtenu est un multiple de 3 ».


c) Dans un sac opaque, on place cette fois 21 jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 21. On en tire un au hasard. On considère les mêmes événements que précédemment :
A:\text{A} : « le résultat obtenu est pair » ;
B:\text{B} : « le résultat obtenu est un multiple de 3 ».

B
Formule des probabilités totales


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Quand un professeur de mathématiques donne un travail à ses élèves, il les autorise à s’entraider avec une probabilité de 0,7.0{,}7. Lee est un élève de cette classe et on sait que :

1. la probabilité que Lee et ses camarades s’entraident et que le professeur les y autorise est de 0,63;0\text{,}63\:;


2. la probabilité que Lee et ses camarades s’entraident et que le professeur ne les y autorise pas est de 0,24.0\text{,}24.
On note D\text{D} l’événement « les élèves ont le droit de s’entraider » et L\text{L} l’événement « Lee et ses camarades s’entraident ».

1
Traduire, à l’aide des événements D\text{D} et L\text{L} et des notations des probabilités, les phrases 1. et 2. de l’énoncé.


2
Le tableau à double entrée ci-dessous représente cette situation.
L\text{L} L\overline{{\text{L}}} Total
D\text{D}
D\overline{\mathrm{D}}
Total 1


a) Compléter le tableau avec les données de l’énoncé.

b) Finir de compléter le tableau avec les données calculées.

AIDE

On rappelle que, lorsque P(D)0,\text{P(D)} \neq 0 , PD(L)=P(DL)P(D).\mathrm{P_{D}(L)=\dfrac{P(D \cap L)}{P(D)}}.
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Bilan
On note PD(L)\mathrm{P_{D}(L)} la probabilité de l’événement L\text{L} sachant que l’événement D\text{D} est réalisé. Déduire des questions précédentes et de la première partie du cours une relation permettant de calculer P(L)\mathrm{P(L)} à partir de PD(L),\mathrm{P_{D}(L),} PD(L),\mathrm{P_{\overline{D}}(L)}, P(D)\mathrm{P(\overline{D}) }et P(D).\text{P(D)}.


3
Quelles sont les cases du tableau qui ont permis de calculer P(L)?\text{P(L)}\:? De quelle façon ?


4
Pourquoi n’a-t-on pas besoin de plus de cases pour calculer P(L)?\text{P(L)}\:?


5
Établir une relation entre P(LD),\text{P}(\mathrm{L \cap D}), P(LD)\text{P}(\mathrm{L \cap \overline{D}}) et P(L).\text{P}(\text{L}).




Objectif
Découvrir la formule des probabilités totales dans un cas particulier.

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