Probabilités conditionnelles

Bilan

En quoi le fait de connaître la couleur de la première boule qui est tirée change-t-il la probabilité du tirage de la seconde boule ?

Quand un professeur de mathématiques donne un travail à ses élèves, il les autorise à s'entraider avec une probabilité de $0,7.$ Lee est un élève de cette classe et on sait que :

1. la probabilité que Lee et ses camarades s'entraident et que le professeur les y autorise est de $0\text{,}63;$

2. la probabilité que Lee et ses camarades s'entraident et que le professeur ne les y autorise pas est de $0\text{,}24.$
On note $\text{D}$ l'événement « les élèves ont le droit de s'entraider » et $\text{L}$ l'événement « Lee et ses camarades s'entraident ».

Bilan

On note ${\mathrm{P}}_{\mathrm{D}}(\mathrm{L})$ la probabilité de l'événement $\text{L}$ sachant que l'événement $\text{D}$ est réalisé. Déduire des questions précédentes et de la première partie du cours une relation permettant de calculer $\mathrm{P}(\mathrm{L})$ à partir de ${\mathrm{P}}_{\mathrm{D}}(\mathrm{L}),$ ${\mathrm{P}}_{\overline{\mathrm{D}}}(\mathrm{L}),$ $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{D}})$et $\text{P(D)}.$

Aide

On rappelle que, lorsque $\text{P(D)}\ne 0,$ ${\mathrm{P}}_{\mathrm{D}}(\mathrm{L})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{D}\cap \mathrm{L})}{\mathrm{P}(\mathrm{D})}.$

On considère les deux situations suivantes.

Situation 1 : On demande à des personnes si elles ont le bac $(\text{B})$ et si elles ont les cheveux courts $(\text{C}).$ On note les proportions dans le tableau suivant.



Situation 2 : On demande à des personnes si elles mangent des légumes $(\text{L})$ et si elles sont en surpoids $(\text{S}).$ On note les proportions dans le tableau suivant.

Bilan

Conjecturer un critère définissant l'indépendance de deux événements. À l'aide de ce critère, déterminer si les événements $\text{E}$ et $\text{F}$ du tableau ci-contre sont indépendants.

	$\text{E}$	$\overline{\mathrm{E}}$	Total
$\text{F}$	0,12	0,28	0,4
$\overline{\mathrm{F}}$	0,18	0,42	0,6
Total	0,3	0,7	1