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Chapitre 11
Probabilités conditionnelles
18 professeurs ont participé à cette page
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Capacités attendues
1. Calculer une probabilité conditionnelle.
2. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant un arbre pondéré.
3. Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en utilisant un arbre pondéré.
4. Déterminer et utiliser l'indépendance de deux événements.
2. Calculer la probabilité d'un événement en utilisant un arbre pondéré.
3. Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en utilisant un arbre pondéré.
4. Déterminer et utiliser l'indépendance de deux événements.
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En théorie des jeux, on utilise les probabilités conditionnelles pour modéliser les jeux dans lesquels la probabilité d'une action dépend des résultats des actions précédentes. C'est à Thomas Bayes (XVIIIe siècles) que l'on doit la première publication traitant de la théorie des probabilités conditionnelles.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Connaître l'intersection et la réunion de deux événements et des événements complémentaires.
2. Savoir utiliser P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).
3. Calculer la probabilité d'un événement complémentaire.
4. Utiliser un arbre de dénombrement.
5. Utiliser un tableau de probabilité à simple ou double entrée.
2. Savoir utiliser P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).
3. Calculer la probabilité d'un événement complémentaire.
4. Utiliser un arbre de dénombrement.
5. Utiliser un tableau de probabilité à simple ou double entrée.
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1
Représenter des événements
Pour chacun des événements suivants, compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
1. \text{A} \cap \text{B}
2. \text{A} \cup \text{C}
3. \overline{\mathrm{A}} \cup \mathrm{B} \cap \mathrm{C}
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. \text{A} \cup \text{C}
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3. \overline{\mathrm{A}} \cup \mathrm{B} \cap \mathrm{C}
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4. \overline{\mathrm{B}} \cup \mathrm{C}
5. \overline{\mathrm{B}} \cup \overline{\mathrm{C}}
6. \overline{\mathrm{B}} \cap \overline{\mathrm{C}}
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
5. \overline{\mathrm{B}} \cup \overline{\mathrm{C}}
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6. \overline{\mathrm{B}} \cap \overline{\mathrm{C}}
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2
Calculer des probabilités
On considère deux événements \text{A} et \text{B} . On a :
\text{P(A)} = 0\text{,}75 , \text{P(B)} = 0\text{,}2 et {\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0\text{,}1 .}
1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
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2. Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}).
3. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
4. Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}).
3. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
4. Calculer \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}).
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3
Utiliser un arbre de dénombrement
Dans une urne, il y a deux boules rouges \text{R}_{1} et
\text{R}_2 et deux boules noires \text{N}_{1} et \text{N}_{2} . On en tire
deux boules successivement avec remise.
1. Représenter cette situation par un arbre de dénombrement.
2. Combien y a-t-il d'issues si on ne considère que la couleur des boules tirées ?
3. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. \text{A}: « obtenir deux boules noires ».
b. \text{B}: « obtenir deux boules de la même couleur ».
c. \text{C}: « obtenir une et une seule boule rouge ».
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4
Utiliser une situation d'équiprobabilité
On lance un dé équilibré à 20 faces. Les faces
sont numérotées de 1 à 20.
1. Quelle conclusion peut-on tirer du fait que le
dé soit équilibré ?
2. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. \text{A} : « obtenir un résultat supérieur ou égal à 7 ».
b. \text{B} : « obtenir un résultat pair ».
c. \text{C} : « obtenir un nombre premier ».
d. \mathrm{D}=\mathrm{C} \cap \overline{\mathrm{B}}.
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5
Problème
On lance un dé truqué à six faces numérotées
de 1 à 6 et on observe le résultat obtenu. La loi
de probabilité liée à cette expérience aléatoire
est donnée ci-dessous où x et y sont des réels
compris entre 0 et 1.
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Probabilité | 0,1 | 0,35 | 0,05 | 0,2 | x | y |
On sait de plus que la probabilité d'obtenir un résultat pair est 0{,}65.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir 6\:?
2. En déduire la probabilité d'obtenir 5.
2. En déduire la probabilité d'obtenir 5.
3. Jack affirme que, bien que le dé ne soit pas équilibré, la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 est \dfrac{1}{2}. A-t-il raison ?
4. Mary affirme de même que la probabilité d'obtenir un nombre premier est aussi \dfrac{1}{2}. A-t-elle raison?
4. Mary affirme de même que la probabilité d'obtenir un nombre premier est aussi \dfrac{1}{2}. A-t-elle raison?
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Venn lui-même n'a pas utilisé le terme
« diagramme de Venn » mais les a nommés
« cercles eulériens ». Le premier à utiliser le
terme de « diagramme de Venn » a été Clarence
Irving Lewis en 1918, dans son livre
A Survey of Symbolic Logic.
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