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Chapitre 11


Probabilités conditionnelles






En théorie des jeux, on utilise les probabilités conditionnelles pour modéliser les jeux dans lesquels la probabilité d’une action dépend des résultats des actions précédentes. C’est à Thomas Bayes (XVIIIe siècles) que l’on doit la première publication traitant de la théorie des probabilités conditionnelles.

Probabilités conditionnelles - dés

Avant de commencer

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3
Utiliser un arbre de dénombrement

Dans une urne, il y a deux boules rouges R1\text{R}_{1} et R2\text{R}_2 et deux boules noires N1\text{N}_{1} et N2.\text{N}_{2} . On en tire deux boules successivement avec remise.

1. Représenter cette situation par un arbre de dénombrement.


2. Combien y a-t-il d’issues si on ne considère que la couleur des boules tirées ?


3. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. A:\text{A}: « obtenir deux boules noires ».


b. B:\text{B}: « obtenir deux boules de la même couleur ».


c. C:\text{C}: « obtenir une et une seule boule rouge ».

Prérequis

1. Connaître l’intersection et la réunion de deux événements et des événements complémentaires.
2. Savoir utiliser P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).
3. Calculer la probabilité d’un événement complémentaire.
4. Utiliser un arbre de dénombrement.
5. Utiliser un tableau de probabilité à simple ou double entrée.

Anecdote

Venn lui-même n’a pas utilisé le terme « diagramme de Venn » mais les a nommés « cercles eulériens ». Le premier à utiliser le terme de « diagramme de Venn » a été Clarence Irving Lewis en 1918,1918, dans son livre A Survey of Symbolic Logic.
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1
Représenter des événements

Pour chacun des événements suivants, compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
1. AB\text{A} \cap \text{B}
Probabilités conditionnelles

2. AC \text{A} \cup \text{C}
Probabilités conditionnelles

3. ABC\overline{\mathrm{A}} \cup \mathrm{B} \cap \mathrm{C}
Probabilités conditionnelles

4. BC\overline{\mathrm{B}} \cup \mathrm{C}
Probabilités conditionnelles

5. BC\overline{\mathrm{B}} \cup \overline{\mathrm{C}}
Probabilités conditionnelles

6. BC\overline{\mathrm{B}} \cap \overline{\mathrm{C}}
Probabilités conditionnelles
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5
Problème

On lance un dé truqué à six faces numérotées de 11 à 66 et on observe le résultat obtenu. La loi de probabilité liée à cette expérience aléatoire est donnée ci-dessous où xx et yy sont des réels compris entre 00 et 1.1.
 Face 1 2 3 4 5 6
 Probabilité 0,1 0,35 0,05 0,2 xx yy
On sait de plus que la probabilité d’obtenir un résultat pair est 0,65.0{,}65.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir 6?6\:?

2. En déduire la probabilité d’obtenir 5.5.

3. Jack affirme que, bien que le dé ne soit pas équilibré, la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 44 est 12.\dfrac{1}{2}. A-t-il raison ?


4. Mary affirme de même que la probabilité d’obtenir un nombre premier est aussi 12.\dfrac{1}{2}. A-t-elle raison?


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2
Calculer des probabilités

On considère deux événements A\text{A} et B.\text{B} . On a : P(A)=0,75,\text{P(A)} = 0\text{,}75 , P(B)=0,2\text{P(B)} = 0\text{,}2 et P(AB)=0,1.\text{P}(\text{A} \cap \text{B}) = 0\text{,}1 .

1. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.

Calculer des probabilités


2. Calculer P(A).\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}).


3. Calculer P(AB).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).


4. Calculer P(AB).\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}).
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4
Utiliser une situation d’équiprobabilité

On lance un dé équilibré à 20 faces. Les faces sont numérotées de 1 à 20.

1. Quelle conclusion peut-on tirer du fait que le dé soit équilibré ?


2. Quelle est la probabilité des événements suivants ?
a. A:\text{A} : « obtenir un résultat supérieur ou égal à 7 ».


b. B:\text{B} : « obtenir un résultat pair ».


c. C:\text{C} : « obtenir un nombre premier ».


d. D=CB.\mathrm{D}=\mathrm{C} \cap \overline{\mathrm{B}}.

Capacités attendues - chapitre 11

1. Calculer une probabilité conditionnelle.
2. Calculer la probabilité d’un événement en utilisant un arbre pondéré.
3. Calculer la probabilité d’une intersection d’événements en utilisant un arbre pondéré.
4. Déterminer et utiliser l’indépendance de deux événements.
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