Entrainement


Probabilités conditionnelles





47
[Chercher.] ◉◉

On choisit au hasard une figure. Chaque figure a la même probabilité d’être choisie.
Probabilités conditionnelles


On considère les événements suivants :
  • V\text{V} : « la figure est verte » ;
  • R\text{R} : « la figure est rouge » ;
  • N\text{N} : « la figure est noire » ;
  • B\text{B} : « la figure est bleue » ;
  • C\text{C} : « la figure est un cercle » ;
  • K\text{K} : « la figure est un carré » ;
  • Z\text{Z} : « la figure fait des vagues ».

  • 1. Modéliser cette situation par un tableau.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici

    2. Calculer PC(V)\mathrm{P_{C}(V)} et PB(Z).\mathrm{P_{B}(Z)}.


    3. Calculer PR(Z)\mathrm{P_{R}(Z)} et PK(B).\mathrm{P_{K}(B).}

    49
    [Modéliser.] ◉◉◉
    On considère le dessin ci-dessous constitué de quatre carrés de même dimension.
    On dit que deux carrés sont adjacents s’ils se touchent par l’un de leurs côtés.
    Par exemple, les carrés 1\text{1} et 2\text{2} sont adjacents au carré 0\text{0} mais pas le carré 3\text{3}.

    Probabilités conditionnelles

    À l’étape 1,1, le carré 00 est noir. Les autres sont blancs. Au début de l’étape 22 et de toutes les étapes suivantes, un carré devient ou reste noir avec une probabilité de 0,50\text{,}5 si au moins l’un de ses voisins est noir. Cette probabilité est égale à 0,10\text{,}1 si aucun de ses voisins n’est noir.

    Réaliser une simulation pour calculer la probabilité que le carré 33 soit noir lors de l’étape 3.3.

    46
    [Modéliser.] ◉◉◉
    Vincent et Anne sont haltérophiles. La probabilité que Vincent soulève plus de 100 kg est égale à 0,75, alors que la probabilité qu’Anne soulève plus de 100 kg est égale à 0,6. La probabilité qu’au moins l’un des deux soulève plus de 100 kg est égale à 0,85.

    Probabilités conditionnelles


    1. Quelle est la probabilité qu’ils soulèvent 100 kg tous les deux ?


    2. Anne vient de voir Vincent soulever 100 kg. Quelle est la probabilité qu’elle-même soulève 100 kg ?

    DIFFÉRENCIATION

    ◉◉ Parcours 1 : exercices 36 ; 38 ; 47 ; 54 et 67
    ◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 51 ; 57 ; 60 ; 65 ; 73 ; 81 et 87
    ◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 88

    37
    [Raisonner.]
    On suppose que A\text{A} et B\text{B} sont deux événements de probabilité non nulle.

    Établir que PA(B)×(1PB(A)1)=P(AB)P(A)1.\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \times\left(\dfrac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})}-1\right)=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}-1.

    42
    [Représenter.]
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements dont on donne les probabilités dans le tableau suivant.

    B\text{B} B\overline{\mathrm{B}} Total
    A\text{A} 0,16 0,64
    A\overline{\mathrm{A}}
    Total 0,48


    1. Compléter le tableau.
    2. En déduire les probabilités PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} et PA(B).\mathrm{P_{\overline{A}}(B)}.


    3. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici

    36
    [Calculer.] ◉◉
    On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} dont les probabilités sont données dans le tableau suivant.

    A\text{A} A\overline{\mathrm{A}} Total
    B\text{B} 0,3
    B\overline{\mathrm{B}} 0,6
    Total 0,6


    1. Compléter le tableau.
    2. Calculer PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} et PB(A).\mathrm{P_{B}(\overline{A})}.

    43
    [Modéliser.] ◉◉
    Dans une forêt, il y a 3030 % d’épicéas et 7070 % de sapins. 1010% des arbres ont un parasite. Les épicéas représentent 2020 % des arbres touchés.
    Quelle est la probabilité qu’un épicéa soit touché par le parasite ?


    Probabilités conditionnelles

    41
    [Calculer.]
    On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} dont les probabilités sont données par l’arbre ci-dessous.

    Probabilités conditionnelles


    1. Compléter cet arbre pondéré.
    2. Quelle est la probabilité que B\text{B} se réalise sachant que A\text{A} n’est pas réalisé ?

    40
    [Calculer.]
    On lance un dé équilibré à six faces et on considère les événements A:\text{A} : « obtenir 4;4 ; 55 ou 66 » et B:\text{B} : « obtenir un nombre pair ».

    1. Calculer PB(A).\mathrm{P_{B}(A).}


    2. Calculer PA(B).\mathrm{P_{A}(B)}.


    3. Calculer PAB(AB).\mathrm{P_{A \cap B}(A \cup B).}

    48
    [Modéliser.]
    Un algorithme de détection de fraudes a été rédigé. Parmi toutes les fraudes, il en détecte 80 %. Il détecte un problème sur 10 % des dossiers étudiés et, parmi les cas qu’il détecte, 50 % sont effectivement des fraudes.

    1. Calculer la probabilité qu’un dossier soit détecté et frauduleux.


    2. En déduire la probabilité qu’un dossier soit frauduleux.

    39
    [Calculer.]
    Soient deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=0,8,P(B)=0,7,\mathrm{P(A) = 0\text{,}8, P(B) = 0\text{,}7, } P(AB)=0,15\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=0\text{,}15 et P(AB)=0,05.\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})=0\text{,}05.

    1. Calculer P(AB).\mathrm{P (A \cap B)}.


    2. En déduire PB(A).\mathrm{P_{B}(A).}

    45
    [Chercher.]
    Raphaël consulte les températures de la semaine prochaine et obtient le tableau ci-dessous.

    L M M J V S D
    16 ° 23 ° 21 ° 18 ° 14 ° 13 ° 14 °


    Il choisit une journée au hasard pour aller faire du vélo. On suppose que chaque journée à la même probabilité d’être choisie.

    1. Quelle est la probabilité de choisir un jour où la température est supérieure à 15 °C sachant qu’elle est inférieure à 20 °C ?


    2. Quelle est la probabilité de choisir un jour où la température est inférieure à 20 °C sachant qu’elle est supérieure à 15 °C ?

    44
    [Calculer.]
    Dans la trousse de Sophie, il y a quinze crayons indiscernables au toucher. Cinq sont noirs, trois sont blancs, quatre sont rouges et trois sont verts. Elle choisit au hasard un crayon. Chaque crayon a la même probabilité d’être choisi.

    1. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse un crayon noir ?


    2. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse un crayon vert sachant que l’événement « elle n’a pas tiré un crayon noir » est réalisé ?

    35
    [Modéliser.]
    On a demandé à 180180 élèves s’ils étaient demi-pensionnaires ou internes ainsi que la langue vivante étudiée hormis l’anglais (espagnol ou allemand). On choisit un élève au hasard.
    On note A\text{A} l’événement « l’élève apprend l’allemand », E:\text{E} : « l’élève apprend l’espagnol » et I\text{I} « l’élève est interne ».

    1. Recopier et compléter le tableau suivant.
    Allemand Espagnol Total
    DP 100
    Interne 50
    Total 40 180


    2. a. Calculer P(A) \text{P(A) } et P(AI).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{I}).


    b. En déduire PA(I)\mathrm{P_{A}(I)} et interpréter le résultat par une phrase.


    3. Calculer la probabilité d’obtenir un élève interne sachant qu’il apprend l’espagnol.

    38
    [Calculer.] ◉◉
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements tels que PA(B)=0,8\mathrm{P_{A}(B) = 0\text{,}8} et PB(A)=0,6\mathrm{P_{B}(A) = 0\text{,}6} et P(A)=0,4.\mathrm{P(A) = 0{,}4.}

    1. Calculer P(AB).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).


    2. En déduire P(B).\mathrm{P(B)}.


    3. Calculer alors P(AB).\mathrm{P(A \cup B).}
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