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Entrainement


Formule des probabilités totales





51
[Modéliser.] ◉◉
Dans une crèche, chaque matin, Alejandra fait la sieste avec une probabilité de 0,7.0\text{,}7. Si elle a fait la sieste le matin, elle fera à nouveau la sieste avec une probabilité de 0,2.0\text{,}2. Sinon, elle fera la sieste l’après-midi avec une probabilité de 0,9.0\text{,}9.

1. Représenter cette situation par un arbre de probabilité que l’on complétera entièrement.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Calculer la probabilité qu’elle ne fasse pas du tout la sieste dans la journée.


3. Calculer la probabilité qu’elle fasse la sieste l’aprèsmidi.

61
[Chercher.] ◉◉◉
Dans la famille Patate, la probabilité de manger de la purée un jour donné est égale à 0,30\text{,}3 si on en a mangé la veille, alors qu’elle est égale à 0,80\text{,}8 si on n’en a pas mangé la veille. Le dimanche, la famille Patate ne mange jamais de purée.
On notera les événements suivants :
  • L:\text{L} : « la famille mange de la purée lundi » ;
  • M:\text{M} : « la famille mange de la purée mardi ».

  • Quelle est la probabilité que la famille Patate mange de la purée le mardi ?

    58
    [Chercher.]
    Dominique souhaite réaliser un exercice pour préparer sa fille Camille au bac. Si elle lui propose un exercice de géométrie, la probabilité que Camille réussisse est égale à 0,9.0\text{,}9. Si elle lui propose un exercice d’algèbre, la probabilité que Camille réussisse est égale à 0,45.0\text{,}45.
    Dominique ne sait pas quoi choisir et va laisser les probabilités choisir pour elle. Elle souhaite que Camille réussisse son exercice avec une probabilité d’au moins 80 80 %.

    Sachant cela, quelle doit être la probabilité minimale que Dominique choisisse un exercice de géométrie ?

    65
    [Chercher.] ◉◉
    Lorsqu’elle est exposée au virus de la grippe, une personne peut développer la grippe. Quand elle est vaccinée, la personne exposée ne développe pas la maladie avec une probabilité égale à α.\alpha . α\alpha s’appelle l’efficacité du vaccin.
    De plus, on constate que, parmi les personnes exposées, 2020 % ne sont ni vaccinées, ni malades. Cette année, la probabilité qu’une personne exposée soit vaccinée est égale à 0,4.0\text{,}4.

    1. Exprimer, en fonction de α,\alpha , la probabilité qu’une personne exposée soit vaccinée et ne soit pas malade.


    2. Exprimer, en fonction de α,\alpha , la probabilité qu’une personne exposée soit vaccinée et malade.


    3. Pour quelle valeur de α\alpha la proportion de personnes exposées qui ne sont pas malades est égale à 5050  % ?


    Virus de la grippe

    62
    [Représenter.]
    On reprend la situation de l’exercice
    41
    .

    Exercice, Formule des probabilités totales
    Compléter l’arbre ci-dessus pour qu’il modélise la même situation.

    52
    [Représenter.]

    L’arbre ci-dessous modélise une expérience aléatoire et quatre événements A, \text{A} , B,\text{B} , C\text{C} et D.\text{D} .
    Exercice, Formule des probabilités totales

    1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous puis en déduire P(A).\text{P(A)} .
    B\text{B} C\text{C} D\text{D} Total
    A\text{\text{A}}
    A\overline{\text{A}}
    Total 1


    2. Retrouver ce résultat sans utiliser le tableau.

    53
    [Modéliser.]
    Une urne opaque contient trois boules rouges, une boule noire et une boule verte toutes indiscernables au toucher. On procède au tirage, sans remise, de trois boules dont on note la couleur.

    Déterminer la probabilité d’obtenir trois boules de couleurs différentes.

    60
    [Chercher.] ◉◉

    On jette un dé non truqué à 20 faces numérotées de 1 à 20. On note :
  • A\text{A} : « le résultat est pair » ;
  • B\text{B} : « le résultat est l’un des nombres 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 » ;
  • C\text{C} : « le résultat est impair » ;
  • D\text{D} : « le résultat est l’un des nombres 9 ou 15 » ;
  • E\text{E} : « le résultat est un nombre premier ».

  • 1. E\text{E} et A\text{A} forment-ils une partition de l’univers ?


    2. C\text{C} et B\overline{\text{B}} forment-ils une partition de l’univers ?


    3. Parmi ces cinq événements, en donner deux qui forment une partition de l’univers.


    4. Parmi ces cinq événements, en donner trois qui forment une partition de l’univers.

    64
    [Modéliser.]
    Lorsqu’une pie voit un objet brillant, elle vole dans sa direction pour tenter de l’attraper. Une personne se trouve à proximité de l’objet avec une probabilité de 0,7. 0\text{,}7. Dans ce cas, la pie réussit à attraper l’objet dans 20 % des cas.
    Sinon, elle y parvient dans 50 % des cas car l’objet n’est pas toujours facilement accessible.

    Quelle est la probabilité que la pie attrape l’objet brillant ?


    Pie, Formule des probabilités totales

    57
    [Modéliser.] ◉◉
    On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 11 à 66 et on note le résultat obtenu. Si le résultat est pair, on lance un dé non truqué à 2020 faces numérotées de 11 à 20.20.
    Si le résultat est impair, on lance un dé non truqué à huit faces numérotées de 11 à 8.8.
    Quelle est la probabilité pour que le résultat du deuxième dé soit un nombre premier ?
    Différents dés, différentes faces

    59
    [Calculer.]
    On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=0,6,\mathrm{P(A) = 0\text{,}6}, P(B)=0,4\mathrm{P(B)=0\text{,}4} et PA(B)=0,5.\mathrm{P_{A}(B)=0\text{,}5}.

    Calculer PA(B).\mathrm{P_{\overline{A}}(B)}.

    55
    [Calculer.]
    On considère trois événements A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} qui forment une partition de l’univers Ω\Omega ainsi qu’un événement E.\text{E} . On donne l’arbre de probabilité suivant.

    Exercice, Formule des probabilités totales

    1. Compléter cet arbre de probabilité.


    2. Calculer P(E).\mathrm{P(\overline{E})}.

    66
    [Chercher.] ◉◉◉
    Une fourmi a découvert une source de nourriture et en marque le chemin à l’aide de phéromones. Ainsi, la fourmi suivante aura une probabilité égale à 0,95 0\text{,}95 de retrouver le chemin de la source de nourriture. Au bout d’un certain temps, la piste de phéromone disparaît et les fourmis suivantes n’ont plus alors qu’une probabilité égale à 0,10\text{,}1 de trouver la source de nourriture. La probabilité que la deuxième fourmi arrive avant la disparition des phéromones est 0,45.0\text{,}45.

    1. Quelle est la probabilité que la seconde fourmi trouve la source de nourriture ?


    2. Si la deuxième fourmi a trouvé la source de nourriture, elle dépose à nouveau des phéromones. Une troisième fourmi cherche la source de nourriture. Elle commence son trajet au moment où les phéromones de la première ont disparu mais où les éventuelles phéromones de la deuxième sont toujours actives.
    On ignore si la deuxième fourmi a trouvé la nourriture : calculer alors la probabilité que la troisième fourmi trouve la nourriture.

    50
    [Modéliser.]
    Un piéton arrive à un passage protégé. D’après une étude statistique, on établit que le feu piéton est vert avec une probabilité de 0,45.0\text{,}45. Si le feu est vert, alors le piéton s’engage sur le passage avec une probabilité de 0,9.0\text{,}9. Sinon, il s’engage avec une probabilité de 0,3.0\text{,}3.

    1. Représenter cette situation par un arbre de probabilité et le compléter entièrement.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici

    2. Calculer la probabilité que le piéton s’engage sur le passage protégé.

    56
    [Modéliser.]
    Une étude statistique a permis d’établir les probabilités suivantes :
  • la probabilité qu’une voiture soit rouge est de 0,2;0\text{,}2\, ;
  • si une voiture est rouge, elle sera volée avec une probabilité de 0,01;0\text{,}01\, ;
  • si elle est d’une autre couleur, elle sera volée avec une probabilité de 0,03.0\text{,}03.


  • 1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    2. Quelle est la probabilité que la voiture soit volée ?

    54
    [Calculer.] ◉◉
    On considère trois événements A,\text{A} , B\text{B} et C\text{C} qui forment une partition de l’univers Ω\Omega ainsi qu’un événement E.\text{E} . On donne l’arbre de probabilité suivant.

    Exercice, Formule des probabilités totales


    1. Compléter cet arbre de probabilité.


    2. Calculer P(E).\text{P(E)} .

    63
    [Modéliser.]
    En 2018, la répartition des candidats au baccalauréat est la suivante :
  • 395097395\,097 pour la filière générale ;
  • 156033156\,033 pour la filière technologique ;
  • 216484216\,484 pour la filière professionnelle.
  • Les taux de réussite en pourcentage sont respectivement les suivants : 91,0 % ; 88,8 % et 82,8 %. On choisit un candidat au hasard.

    1. Construire un arbre pondéré modélisant l’expérience aléatoire.
    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici

    2. Déterminer la probabilité de réussir le baccalauréat.

    DIFFÉRENCIATION

    ◉◉ Parcours 1 : exercices 36 ; 38 ; 47 ; 54 et 67
    ◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 51 ; 57 ; 60 ; 65 ; 73 ; 81 et 87
    ◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 88
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