Chapitre 11
TP / TICE 1
Méthode de Monte-Carlo
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Énoncé
On considère l'aire du domaine hachuré ci-contre, délimité par les droites
d'équations y = 0, x = 0 , x = 1 et l'arc de parabole d'équation y = x^{2}. Archimède a
montré dans La Quadrature de la parabole que l'aire de ce domaine est exactement \dfrac{1}{3} mais aucune formule en classe de première ne permet de la déterminer.
On admet que la probabilité qu'un point choisi al éatoirement dans le carré appartienne au domaine hachuré est proportionnelle à l'aire de ce dernier.
Question préliminaire : Déterminer un encadrement de l'aire du domaine hachuré.
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Objectif
À partir des probabilités, déterminer une valeur approchée d'une aire à l'aide d'une des deux méthodes.
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Méthode 1GeoGebra
1. Créer le domaine dans une fenêtre graphique de
GeoGebra.
2. Créer un curseur n qui prend des valeurs entières de 1 à 1\,000.
3. a. L'instruction random() permet d'avoir un nombre aléatoire entre 0 et 1. Où se situe un point \text{A} créé avec la saisie A = (random(), random()) ?
b. On souhaite créer une liste de n points placés aléatoirement dans le carré. Comment compléter la saisie suivante pour obtenir ce que l'on souhaite ?
4. La région du plan hachurée est délimitée par les valeurs de x comprises entre 0 et 1.
a. Donner un encadrement de y en fonction de x .
b. Le symbole && signifie « et » dans GeoGebra. Comment compléter la saisie suivante pour colorier la région qui nous intéresse ?
5. Que signifie la saisie suivante ?
6. En saisissant S = Somme[Liste2], on obtient le nombre de points situés dans la région hachurée. Que faut-il saisir pour avoir la proportion de points dans la région hachurée par rapport à l'ensemble des points ?
2. Créer un curseur n qui prend des valeurs entières de 1 à 1\,000.
3. a. L'instruction random() permet d'avoir un nombre aléatoire entre 0 et 1. Où se situe un point \text{A} créé avec la saisie A = (random(), random()) ?
b. On souhaite créer une liste de n points placés aléatoirement dans le carré. Comment compléter la saisie suivante pour obtenir ce que l'on souhaite ?
4. La région du plan hachurée est délimitée par les valeurs de x comprises entre 0 et 1.
a. Donner un encadrement de y en fonction de x .
b. Le symbole && signifie « et » dans GeoGebra. Comment compléter la saisie suivante pour colorier la région qui nous intéresse ?
5. Que signifie la saisie suivante ?
6. En saisissant S = Somme[Liste2], on obtient le nombre de points situés dans la région hachurée. Que faut-il saisir pour avoir la proportion de points dans la région hachurée par rapport à l'ensemble des points ?
7. Faire varier la valeur de n et conclure.
GeoGebra
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Méthode 2Python
En utilisant Python, on va placer aléatoirement 1 000
points dans le carré puis déterminer l'aire du domaine
hachuré.
1. Importer le module random avec l'instruction from random import*.
2. De quelle manière est définie la variable a ci-dessous ?
3. Créer deux variables xA et yA de telle façon qu'elles définissent les coordonnées d'un point \text{A} placé aléatoirement dans le carré défini dans l'introduction.
4. Quelle instruction doit-on saisir pour vérifier que le point \text{A} est situé dans le domaine hachuré ?
1. Importer le module random avec l'instruction from random import*.
2. De quelle manière est définie la variable a ci-dessous ?
3. Créer deux variables xA et yA de telle façon qu'elles définissent les coordonnées d'un point \text{A} placé aléatoirement dans le carré défini dans l'introduction.
4. Quelle instruction doit-on saisir pour vérifier que le point \text{A} est situé dans le domaine hachuré ?
6. En déduire alors la proportion de points situés dans ce domaine par rapport à l'ensemble des points, et conclure quant au problème posé.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
