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68
[Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(\overline{A})=0\text{,}6} et \mathrm{P(A\cap B) = 0\text{,}3.}
Calculer \text{P(A)} puis \text{P(B).}
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67
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, dire si les événements \text{A} et \text{B} sont indépendants.
1. \mathrm{P(A) = 0\text{,}2,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2. }
2. \mathrm{P(A) = 0\text{,}4,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32. }
3. \mathrm{P(A) = 0\text{,}5,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}3} et \mathrm{P(A \cup B) = 0\text{,}65. }
4. \mathrm{P(A) = 0\text{,}48,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}25} et \mathrm{P(A \cup B) = 0. }
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69
[Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(A) = 0{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32 .}
Calculer \mathrm{P(A \cup B).}
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70
Démo
[Raisonner.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements incompatibles de probabilité non nulle.
Démontrer que \text{A} et \text{B} ne sont pas indépendants.
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71
[Calculer.]
On considère deux personnes auxquelles on confie à chacune un jeu de 32 cartes. Ces deux personnes tirent une carte simultanément et sans se voir.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux rois ?
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72
[Calculer.]
On lance un dé non truqué à six faces et on note les événements suivants :
Les événements \text{A} et \text{B} sont-ils indépendants ?
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73
[Calculer.]
On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P(A) =p,} \mathrm{P(B)=P(\overline{A})} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2\,p + 0\text{,}15.}
1. Montrer que, pour tout p \in \mathbb{R} :
\mathrm{-p^{2}+0{,}8 p-0{,}15=(0{,}3-p)(p-0{,}5).}
2. Trouver la probabilité p telle que \text{A} et \text{B} soient indépendants.
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[Raisonner.]
On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P (A\cap B)=0\text{,}8} et \mathrm{P(A\cup B) = 0\text{,}9.}
1. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R}, x^{2}-1{,}7 x+0{,}8=(x-0{,}85)^{2}+0{,}0775.
2. Montrer que \text{A} et \text{B} ne peuvent pas être indépendants.
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75
[Calculer.]
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Dans chacun des
cas suivants, dire si les événements sont indépendants.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « tirer un rouge » ;
2. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « ne pas tirer un as » ;
3. \text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et \text{B :} « tirer un rouge ».
2. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « ne pas tirer un as » ;
3. \text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et \text{B :} « tirer un rouge ».
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[Calculer.]
Reprendre l'exercice précédent mais en considérant qu'il manque le roi de coeur dans le jeu (le jeu ne contient donc plus que 31 cartes).
1. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « tirer un rouge » ;
2. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « ne pas tirer un as » ;
3. \text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et \text{B :} « tirer un rouge ».
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77
[Calculer.]
Dans un collège, les élèves doivent choisir une option parmi « latin » et « théatre » et une langue vivante parmi « allemand » et « italien ».
Le tableau ci-dessous récapitule les différents choix.
| Italien | Allemand | Total | |
| Latin | 30 | 120 | 150 |
| Théâtre | 90 | 80 | 170 |
| Total | 120 | 200 | 320 |
1. Les événements « faire du latin et de l'italien » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?
2. Les événements « faire du latin » et « faire de l'allemand » sont-ils indépendants ?
3. Les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?
2. Les événements « faire du latin » et « faire de l'allemand » sont-ils indépendants ?
3. Les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?
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78
Démo
[Raisonner.]
Soit \text{A} un événement qui est indépendant de lui-même. Démontrer que l'événement certain est nécessairement \text{A} ou \overline{\text{A}} .
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79
[Calculer.]
Dans un magasin de décoration, 20 % des clients achètent de la peinture et 80 % achètent de la tapisserie.
Parmi les clients qui achètent de la peinture, la moitié paie à crédit. Parmi les clients qui achètent de la tapisserie, les trois quarts paient à crédit.
1. Décrire la situation par un arbre de probabilité ou un tableau.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. Les événements « le client paie à crédit » et « le client achète de la peinture » sont-ils indépendants ?
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80
[Calculer.]
On choisit au hasard une voyelle selon la loi de probabilité suivante.
| Lettre | \text{A} | \text{I} | \text{O} |
| Probabilité | 0\text{,}1 + 0\text{,}75\,p | 0\text{,}1 + 1\text{,}5\,p | 0\text{,}3 - 1\text{,}5\,p |
| Lettre | \text{E} | \text{Y} | \text{U} |
| Probabilité | 0\text{,}05 + 0\text{,}25\,p | 0\text{,}2 + 0\text{,}5\,p | 0\text{,}25 - 1\text{,}5\,p |
Trouver p pour que les événements « obtenir une des lettres de OUI » et « obtenir une des lettres de YOU » soient indépendants.
Aide
On pourra montrer que :
3{,}75 p^{2}+0{,}25 p-0{,}0625=3{,}75(p-0,1)\left(p+\frac{1}{6}\right)
3{,}75 p^{2}+0{,}25 p-0{,}0625=3{,}75(p-0,1)\left(p+\frac{1}{6}\right)
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