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Algèbre
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Probabilités et statistiques
Annexes
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Entrainement

Indépendance

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
36
 ;
38
 ;
47
 ;
54
 et
67
Parcours 2 : exercices
43
 ;
51
 ;
57
 ;
60
 ;
65
 ;
73
 ;
81
 et
87
Parcours 3 : exercices
46
 ;
49
 ;
61
 ;
66
 ;
80
 ;
83
 et
88
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68
 [Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(\overline{A})=0\text{,}6} et \mathrm{P(A\cap B) = 0\text{,}3.}
Calculer \text{P(A)} puis \text{P(B).}
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67
 [Calculer.]


Dans chacun des cas suivants, dire si les événements \text{A} et \text{B} sont indépendants.
1. \mathrm{P(A) = 0\text{,}2,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2. }


2. \mathrm{P(A) = 0\text{,}4,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32. }


3. \mathrm{P(A) = 0\text{,}5,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}3} et \mathrm{P(A \cup B) = 0\text{,}65. }


4. \mathrm{P(A) = 0\text{,}48,} \mathrm{P(B) = 0\text{,}25} et \mathrm{P(A \cup B) = 0. }

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69
 [Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements indépendants tels que \mathrm{P(A) = 0{,}8} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32 .}

Calculer \mathrm{P(A \cup B).}
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70
Démo
 [Raisonner.]
Soient \text{A} et \text{B} deux événements incompatibles de probabilité non nulle.

Démontrer que \text{A} et \text{B} ne sont pas indépendants.
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71
 [Calculer.]
On considère deux personnes auxquelles on confie à chacune un jeu de 32 cartes. Ces deux personnes tirent une carte simultanément et sans se voir.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux rois ?
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72
 [Calculer.]
On lance un dé non truqué à six faces et on note les événements suivants :

  • \text{A} : « le résultat est 4 ; 5 ou 6 » ;
  • \text{B} : « le résultat est un nombre pair ».

    • Les événements \text{A} et \text{B} sont-ils indépendants ?
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    73
     [Calculer.]

    On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P(A) =p,} \mathrm{P(B)=P(\overline{A})} et \mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2\,p + 0\text{,}15.}

    1. Montrer que, pour tout p \in \mathbb{R} :
    \mathrm{-p^{2}+0{,}8 p-0{,}15=(0{,}3-p)(p-0{,}5).}


    2. Trouver la probabilité p telle que \text{A} et \text{B} soient indépendants.
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    74
     [Raisonner.]
    On considère deux événements \text{A} et \text{B} tels que \mathrm{P (A\cap B)=0\text{,}8} et \mathrm{P(A\cup B) = 0\text{,}9.}

    1. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R}, x^{2}-1{,}7 x+0{,}8=(x-0{,}85)^{2}+0{,}0775.


    2. Montrer que \text{A} et \text{B} ne peuvent pas être indépendants.
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    75
     [Calculer.]
    On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Dans chacun des cas suivants, dire si les événements sont indépendants.
    Placeholder pour Photographie de cartes à jouer dispersées : un as de pique est visible parmi des cœurs et des carreaux.Photographie de cartes à jouer dispersées : un as de pique est visible parmi des cœurs et des carreaux.
    1. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « tirer un rouge » ;


    2. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « ne pas tirer un as » ;


    3. \text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et \text{B :} « tirer un rouge ».
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    76
     [Calculer.]
    Reprendre l'exercice précédent mais en considérant qu'il manque le roi de coeur dans le jeu (le jeu ne contient donc plus que 31 cartes).

    1. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « tirer un rouge » ;


    2. \text{A :} « tirer un roi » et \text{B :} « ne pas tirer un as » ;


    3. \text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et \text{B :} « tirer un rouge ».
    Ressource affichée de l'autre côté.
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    77
     [Calculer.]
    Dans un collège, les élèves doivent choisir une option parmi « latin » et « théatre » et une langue vivante parmi « allemand » et « italien ».
    Le tableau ci-dessous récapitule les différents choix.
    ItalienAllemandTotal
    Latin30120150
    Théâtre9080170
    Total 120200320


    1. Les événements « faire du latin et de l'italien » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?


    2. Les événements « faire du latin » et « faire de l'allemand » sont-ils indépendants ?


    3. Les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?
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    78
    Démo
     [Raisonner.]
    Soit \text{A} un événement qui est indépendant de lui-même. Démontrer que l'événement certain est nécessairement \text{A} ou \overline{\text{A}} .
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    79
     [Calculer.]
    Dans un magasin de décoration, 20 % des clients achètent de la peinture et 80 % achètent de la tapisserie.
    Parmi les clients qui achètent de la peinture, la moitié paie à crédit. Parmi les clients qui achètent de la tapisserie, les trois quarts paient à crédit.

    1. Décrire la situation par un arbre de probabilité ou un tableau.

    Cliquez pour accéder à une zone de dessin


    2. Les événements « le client paie à crédit » et « le client achète de la peinture » sont-ils indépendants ?
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    80
     [Calculer.]

    On choisit au hasard une voyelle selon la loi de probabilité suivante.

    Lettre\text{A}\text{I}\text{O}
    Probabilité0\text{,}1 + 0\text{,}75\,p 0\text{,}1 + 1\text{,}5\,p 0\text{,}3 - 1\text{,}5\,p


    Lettre\text{E}\text{Y}\text{U}
    Probabilité0\text{,}05 + 0\text{,}25\,p 0\text{,}2 + 0\text{,}5\,p 0\text{,}25 - 1\text{,}5\,p


    Trouver p pour que les événements « obtenir une des lettres de OUI » et « obtenir une des lettres de YOU » soient indépendants.
    Aide
    On pourra montrer que :
    3{,}75 p^{2}+0{,}25 p-0{,}0625=3{,}75(p-0,1)\left(p+\frac{1}{6}\right)
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