Entrainement


Indépendance





73
[Calculer.] ◉◉
On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=p,\mathrm{P(A) =p,} P(B)=P(A)\mathrm{P(B)=P(\overline{A})} et P(AB)=0,2p+0,15.\mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}2\,p + 0\text{,}15.}

1. Montrer que, pour tout pR:p \in \mathbb{R} :
p2+0,8p0,15=(0,3p)(p0,5).\mathrm{-p^{2}+0{,}8 p-0{,}15=(0{,}3-p)(p-0{,}5).}


2. Trouver la probabilité pp telle que A\text{A} et B\text{B} soient indépendants.

78
DÉMO
[Raisonner.]
Soit A\text{A} un événement qui est indépendant de lui-même. Démontrer que l’événement certain est nécessairement A\text{A} ou A.\overline{\text{A}} .

80
[Calculer.] ◉◉◉
On choisit au hasard une voyelle selon la loi de probabilité suivante.

Lettre A\text{A} I\text{I} O\text{O}
Probabilité 0,1+0,75p0\text{,}1 + 0\text{,}75\,p 0,1+1,5p0\text{,}1 + 1\text{,}5\,p 0,31,5p0\text{,}3 - 1\text{,}5\,p


Lettre E\text{E} Y\text{Y} U\text{U}
Probabilité 0,05+0,25p0\text{,}05 + 0\text{,}25\,p 0,2+0,5p0\text{,}2 + 0\text{,}5\,p 0,251,5p0\text{,}25 - 1\text{,}5\,p


Trouver pp pour que les événements « obtenir une des lettres de OUI » et « obtenir une des lettres de YOU » soient indépendants.
AIDE

On pourra montrer que :
3,75p2+0,25p0,0625=3,75(p0,1)(p+16)3{,}75 p^{2}+0{,}25 p-0{,}0625=3{,}75(p-0,1)\left(p+\frac{1}{6}\right)

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 36 ; 38 ; 47 ; 54 et 67
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 51 ; 57 ; 60 ; 65 ; 73 ; 81 et 87
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 46 ; 49 ; 61 ; 66 ; 80 ; 83 et 88

70
DÉMO
[Raisonner.]
Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements incompatibles de probabilité non nulle.

Démontrer que A\text{A} et B\text{B} ne sont pas indépendants.

77
[Calculer.]
Dans un collège, les élèves doivent choisir une option parmi « latin » et « théatre » et une langue vivante parmi « allemand » et « italien ».
Le tableau ci-dessous récapitule les différents choix.

Italien Allemand Total
Latin 30 120 150
Théâtre 90 80 170
Total 120 200 320


1. Les événements « faire du latin et de l’italien » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?


2. Les événements « faire du latin » et « faire de l’allemand » sont-ils indépendants ?


3. Les événements « faire du latin » et « faire du théâtre » sont-ils indépendants ?

72
[Calculer.]
On lance un dé non truqué à six faces et on note les événements suivants :

  • A\text{A} : « le résultat est 4 ; 5 ou 6 » ;
  • B\text{B} : « le résultat est un nombre pair ».

  • Les événements A\text{A} et B\text{B} sont-ils indépendants ?

    74
    [Raisonner.]
    On considère deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(AB)=0,8\mathrm{P (A\cap B)=0\text{,}8} et P(AB)=0,9.\mathrm{P(A\cup B) = 0\text{,}9.}

    1. Montrer que, pour tout xR,x \in \mathbb{R}, x21,7x+0,8=(x0,85)2+0,0775.x^{2}-1{,}7 x+0{,}8=(x-0{,}85)^{2}+0{,}0775.


    2. Montrer que A\text{A} et B\text{B} ne peuvent pas être indépendants.

    69
    [Calculer.]
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements indépendants tels que P(A)=0,8\mathrm{P(A) = 0{,}8} et P(AB)=0,32.\mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32 .}

    Calculer P(AB).\mathrm{P(A \cup B).}

    67
    [Calculer.] ◉◉

    Dans chacun des cas suivants, dire si les événements A\text{A} et B\text{B} sont indépendants.
    1. P(A)=0,2,\mathrm{P(A) = 0\text{,}2,} P(B)=0,8\mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et P(AB)=0,9.\mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}9. }


    2. P(A)=0,4,\mathrm{P(A) = 0\text{,}4,} P(B)=0,8\mathrm{P(B) = 0\text{,}8} et P(AB)=0,32.\mathrm{P(A \cap B) = 0\text{,}32. }


    3. P(A)=0,5,\mathrm{P(A) = 0\text{,}5,} P(B)=0,3\mathrm{P(B) = 0\text{,}3} et P(AB)=0,65.\mathrm{P(A \cup B) = 0\text{,}65. }


    4. P(A)=0,48,\mathrm{P(A) = 0\text{,}48,} P(B)=0,25\mathrm{P(B) = 0\text{,}25} et P(AB)=0.\mathrm{P(A \cup B) = 0. }


    79
    [Calculer.]
    Dans un magasin de décoration, 20 % des clients achètent de la peinture et 80 % achètent de la tapisserie.
    Parmi les clients qui achètent de la peinture, la moitié paie à crédit. Parmi les clients qui achètent de la tapisserie, les trois quarts paient à crédit.

    1. Décrire la situation par un arbre de probabilité ou un tableau.

    Couleurs
    Formes
    Dessinez ici


    2. Les événements « le client paie à crédit » et « le client achète de la peinture » sont-ils indépendants ?

    71
    [Calculer.]
    On considère deux personnes auxquelles on confie à chacune un jeu de 3232 cartes. Ces deux personnes tirent une carte simultanément et sans se voir.

    Quelle est la probabilité d’obtenir deux rois ?

    75
    [Calculer.]
    On tire une carte dans un jeu de 3232 cartes. Dans chacun des cas suivants, dire si les événements sont indépendants.
    Indépendance - cartes

    1. A :\text{A :} « tirer un roi » et B :\text{B :} « tirer un rouge » ;


    2. A :\text{A :} « tirer un roi » et B :\text{B :} « ne pas tirer un as » ;


    3. A :\text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et B :\text{B :} « tirer un rouge ».

    68
    [Calculer.]
    Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements indépendants tels que P(A)=0,6 \mathrm{P(\overline{A})=0\text{,}6} et P(AB)=0,3.\mathrm{P(A\cup B) = 0\text{,}3.}
    Calculer P(A)\text{P(A)} puis P(B).\text{P(B).}

    76
    [Calculer.]
    Reprendre l’exercice précédent mais en considérant qu’il manque le roi de coeur dans le jeu (le jeu ne contient donc plus que 31 cartes).

    1. A :\text{A :} « tirer un roi » et B :\text{B :} « tirer un rouge » ;


    2. A :\text{A :} « tirer un roi » et B :\text{B :} « ne pas tirer un as » ;


    3. A :\text{A :} « tirer un roi ou tirer une dame rouge » et B :\text{B :} « tirer un rouge ».
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