Formule des probabilités totales

Même lorsque cela n'est pas demandé, il est toujours bon de construire un arbre de probabilité.

L'événement lu à l'extrémité d'un chemin est l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

On considère une expérience aléatoire et deux événements $\text{A}$ et $\text{B}$ tels que $\text{P(A)}=0,6$ , ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0\text{,}7$ et ${\mathrm{P}}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0\text{,}2.$ 1. Construire un arbre pondéré complet représentant cette expérience.
2. Déterminer la probabilité de l'événement $\mathrm{A}\cap B.$

1. a. On réalise l'arbre qui représente bien toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire.

b. On complète les branches avec les probabilités données par l'énoncé.

c. On calcule les autres probabilités en se rappelant que la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à $1.$

2. On calcule la probabilité de l'intersection en utilisant la formule du cours ou en se rappelant que la probabilité de l'événement à l'extrémité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.

1.
2. $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,6\times 0,7=0,42.$


exercices

22

p.295 et

41

p.297

Formule des probabilités totales
On considère une expérience aléatoire d'univers $\Omega$ et un événement $\text{B}.$ On note, ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\dots ,{\mathrm{A}}_n,$ $n$ événements non vides formant une partition de l'univers $\Omega .$
Alors $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\cap \mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_2\cap \mathrm{B}\right)+\dots +\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_n\cap \mathrm{B}\right)$
Ou, de manière équivalente :
$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\right)\times {\mathrm{P}}_{{\mathrm{A}}_1}(\mathrm{B})+\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_2\right)\times {\mathrm{P}}_{{\mathrm{A}}_2}(\mathrm{B})+\dots +\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_n\right)\times {\mathrm{P}}_{{\mathrm{A}}_n}(\mathrm{B}).$

Depuis la seconde, on sait que $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})+\text{P}(\overline{\text{A}}\cap \text{B})$ où $\text{A}$ et $\overline{\text{A}}$ forment une partition de l'univers. Ce résultat est généralisé ici.

La probabilité de l'événement $\text{B}$ est obtenue en utilisant :

$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})\times {\mathrm{P}}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=0\text{,}6\times 0\text{,}7+0\text{,}4\times 0\text{,}2=0\text{,}5.$

exercices

23

p.295 et

52

p.298