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Cours 2 : Formule des probabilités totales
P.286-288
COURS 1


2
Formule des probabilités totales





Un arbre pondéré, ou arbre de probabilité, est un schéma mettant en jeu des probabilités conditionnelles et permettant de calculer rapidement des probabilités.

A
Arbre pondéré


Propriétés (admises)

1. La somme des probabilités des branches issues d’un noeud est égale à 1.1.

2. La probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.

3. La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.

Exercice, Formule des probabilités totales

Remarque

Même lorsque cela n’est pas demandé, il est toujours bon de construire un arbre de probabilité.

Remarque

L’événement lu à l’extrémité d’un chemin est l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

Exemple

On considère l’arbre pondéré ci-contre.
  • D’après la première propriété, 0,7+0,1+P(C)=1\mathrm{0{,}7 + 0{,}1 + P(C) = 1}, d'où P(C)=0,2\mathrm{P(C) = 0\text{,}2} et PA(D)+PA(D)=0,4+PA(D)=1,\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}4+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=1, d'où PA(D)=0,6.\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}6.
    De même P(G) =10,10,3=0,6.\text{P(G) } = 1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6.
  • D’après la deuxième propriété, P(AD)=P(A)×PA(D)=0,7×0,4=0,28.\mathrm{P(A \cap D)=P(A) \times P_{A}(D)=0{,}7 \times 0{,}4=0{,}28.}
  • D'après la troisième propriété, P(D)=P(AD)+P(CD)=0,7×0,4+0,2×0,5=0,38.\mathrm{P}(\mathrm{D})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) = 0\text{,}7 \times 0\text{,}4+0{,}2 \times 0\text{,}5=0\text{,}38.

  • Exercice, Formule des probabilités totales

    Application et méthode

    Énoncé

    On considère une expérience aléatoire et deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=0,6\text{P(A)} = 0{,}6 , PA(B)=0,7\mathrm{P_{A}(B) }= 0\text{,}7 et PA(B)=0,2.\mathrm{P_{\overline{A}}(B)=0\text{,}2.}
    1. Construire un arbre pondéré complet représentant cette expérience.
    2. Déterminer la probabilité de l’événement AB.\mathrm{A \cap B.}

    Méthode

    1. a. On réalise l’arbre qui représente bien toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire.

    b. On complète les branches avec les probabilités données par l’énoncé.

    c. On calcule les autres probabilités en se rappelant que la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud est égale à 1.1.

    2. On calcule la probabilité de l’intersection en utilisant la formule du cours ou en se rappelant que la probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.


    SOLUTION

    1.
    Exercice, Formule des probabilités totales

    2. P(AB)=P(A)×PA(B)=0,6×0,7=0,42.\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}6 \times 0{,}7=0{,}42.


    Pour s'entraîner : exercices 22 p.295 et 41 p.297

    B
    Probabilités totales


    Définition

    On considère un événement A\text{A} ainsi que les nn événements non vides A1,A2,,An\mathrm{A}_{1},\: \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n} tels que :
  • pour tous entiers distincts ii et jj compris entre 11 et n,n , Ai\mathrm{A_{i}} et Aj\mathrm{A_{j}} sont incompatibles : AiAj=;\text{ A}_{i} \cap \text{A}_{j}=\emptyset\, ;
  • A1A2An=A.\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}=\mathrm{A}.

  • On dit que la famille des événements (Ak)1kn\left(\text{A}_{k}\right)_{1 \leqslant k \leqslant n} forme une partition de A.\text{A.}

    Probabilités totales

    Remarque

    A\text{A} et A\overline{\text{A}} forment toujours une partition de Ω.\Omega.

    Propriété

    Formule des probabilités totales
    On considère une expérience aléatoire d’univers Ω\Omega et un événement B.\text{B}. On note, A1,A2,,An,\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n}, nn événements non vides formant une partition de l'univers Ω.\Omega.
    Alors P(B)=P(A1B)+P(A2B)++P(AnB)\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \cap \mathrm{B}\right)+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n} \cap \mathrm{B}\right)
    Ou, de manière équivalente :
    P(B)=P(A1)×PA1(B)+P(A2)×PA2(B)++P(An)×PAn(B).\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{1}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{2}}(\mathrm{B})+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{n}}(\mathrm{B}).

    Remarque

    Depuis la seconde, on sait que P(B)=P(AB)+P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) + \text{P}(\overline{\text{A}} \cap \text{B})A\text{A} et A\overline{\text{A}} forment une partition de l'univers. Ce résultat est généralisé ici.

    DÉMONSTRATION


    P(B)=P(BΩ)=P(B(A1A2An))=P((BA1)(BA2)(BAn))=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn) \begin{array} {ll} \mathrm{P}(\mathrm{B})&=\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \Omega)\\ &=\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap\left(\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\ &= \mathrm{P}\left(\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right) \cup\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right) \cup \ldots\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\ &= \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right)+\ldots \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\end{array}
    puisque les événements Ai\mathrm{A}_{i} et Aj\text{A}_{j} sont incompatibles pour tous entiers iji\neq j et donc les événements BAi\mathrm{B \cap A}_{i } et BAj\mathrm{B \cap A}_{j} aussi.

    Probabilités totales

    Exemple

    Probabilités totales
    Probabilités totales


    Puisque A,\text{A}, B\text{B} et C\text{C} forment une partition de l'univers Ω\Omega alors :
    P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)+P(C)×PC(D)=0,1×0,2+0,5×0,7+0,4×0,1=0,41\begin{array}{ll} \mathrm{P}(\mathrm{D})&=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) \\ &= \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{C}}(\mathrm{D})\\ &= 0{,}1 \times 0{,}2+0{,}5 \times 0{,}7+0{,}4 \times 0{,}1\\ &=0{,}41 \end{array}

    Application et méthode

    Énoncé

    On considère les événements A\text{A} et B\text{B} vérifiant l’arbre pondéré suivant.

    Probabilités totales


    Déterminer P(B).\mathrm{P(B)}.

    Méthode

    Il suffit ici d’utiliser la formule des probabilités totales ou de se rappeler que la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.


    SOLUTION

    La probabilité de l'événement B\text{B} est obtenue en utilisant :

    P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)×PA(B)+P(A)×PA(B)=0,6×0,7+0,4×0,2=0,5.\mathrm{P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)} = \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}) = 0\text{,}6 \times 0\text{,}7+0\text{,}4 \times 0\text{,}2=0\text{,}5.

    Pour s'entraîner : exercices 23 p.295 et 52 p.298
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