COURS 1


2
Formule des probabilités totales




Application et méthode


SOLUTION

1.
MAT1_CH11_p287etp288_3

2. P(AB)=P(A)×PA(B)=0,6×0,7=0,42.\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0{,}6 \times 0{,}7=0{,}42.


Pour s'entraîner : exercices 22 p.295 et 41 p.297


Méthode

1. a. On réalise l’arbre qui représente bien toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire.

b. On complète les branches avec les probabilités données par l’énoncé.

c. On calcule les autres probabilités en se rappelant que la somme des probabilités des branches issues d’un même noeud est égale à 1.1.

2. On calcule la probabilité de l’intersection en utilisant la formule du cours ou en se rappelant que la probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Énoncé

On considère une expérience aléatoire et deux événements A\text{A} et B\text{B} tels que P(A)=0,6\text{P(A)} = 0{,}6 , PA(B)=0,7\mathrm{P_{A}(B) }= 0\text{,}7 et PA(B)=0,2.\mathrm{P_{\overline{A}}(B)=0\text{,}2.}
1. Construire un arbre pondéré complet représentant cette expérience.
2. Déterminer la probabilité de l’événement AB.\mathrm{A \cap B.}

Application et méthode


Méthode

Il suffit ici d’utiliser la formule des probabilités totales ou de se rappeler que la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.

Énoncé

On considère les événements A\text{A} et B\text{B} vérifiant l’arbre pondéré suivant.

Probabilités totales


Déterminer P(B).\mathrm{P(B)}.

SOLUTION

La probabilité de l'événement B\text{B} est obtenue en utilisant :

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)×PA(B)+P(A)×PA(B)=0,6×0,7+0,4×0,2=0,5.\mathrm{P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)} = \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}) \times \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B}) = 0\text{,}6 \times 0\text{,}7+0\text{,}4 \times 0\text{,}2=0\text{,}5.

Pour s'entraîner : exercices 23 p.295 et 52 p.298

Un arbre pondéré, ou arbre de probabilité, est un schéma mettant en jeu des probabilités conditionnelles et permettant de calculer rapidement des probabilités.

A
Arbre pondéré

Remarque

L’événement lu à l’extrémité d’un chemin est l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

Exemple

On considère l’arbre pondéré ci-contre.
  • D’après la première propriété, 0,7+0,1+P(C)=1\mathrm{0{,}7 + 0{,}1 + P(C) = 1}, d'où P(C)=0,2\mathrm{P(C) = 0\text{,}2} et PA(D)+PA(D)=0,4+PA(D)=1,\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}4+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=1, d'où PA(D)=0,6.\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}})=0{,}6.
    De même P(G) =10,10,3=0,6.\text{P(G) } = 1 - 0{,}1 - 0{,}3 = 0{,}6.
  • D’après la deuxième propriété, P(AD)=P(A)×PA(D)=0,7×0,4=0,28.\mathrm{P(A \cap D)=P(A) \times P_{A}(D)=0{,}7 \times 0{,}4=0{,}28.}
  • D'après la troisième propriété, P(D)=P(AD)+P(CD)=0,7×0,4+0,2×0,5=0,38.\mathrm{P}(\mathrm{D})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) = 0\text{,}7 \times 0\text{,}4+0{,}2 \times 0\text{,}5=0\text{,}38.

  • MAT1_CH11_p286_2

    Remarque

    Même lorsque cela n’est pas demandé, il est toujours bon de construire un arbre de probabilité.

    Propriétés (admises)

    1. La somme des probabilités des branches issues d’un noeud est égale à 1.1.

    2. La probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale au produit des probabilités des branches composant ce chemin.

    3. La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.

    MAT1_CH11_p286_1

    B
    Probabilités totales


    Définition

    On considère un événement A\text{A} ainsi que les nn événements non vides A1,A2,,An\mathrm{A}_{1},\: \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n} tels que :
  • pour tous entiers distincts ii et jj compris entre 11 et n,n , Ai\mathrm{A_{i}} et Aj\mathrm{A_{j}} sont incompatibles : AiAj=;\text{ A}_{i} \cap \text{A}_{j}=\emptyset\, ;
  • A1A2An=A.\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}=\mathrm{A}.

  • On dit que la famille des événements (Ak)1kn\left(\text{A}_{k}\right)_{1 \leqslant k \leqslant n} forme une partition de A.\text{A.}

    Probabilités totales

    Probabilités totales

    Remarque

    A\text{A} et A\overline{\text{A}} forment toujours une partition de Ω.\Omega.

    Exemple

    Probabilités totales
    Probabilités totales


    Puisque A,\text{A}, B\text{B} et C\text{C} forment une partition de l'univers Ω\Omega alors :
    P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)+P(C)×PC(D)=0,1×0,2+0,5×0,7+0,4×0,1=0,41\begin{array}{ll} \mathrm{P}(\mathrm{D})&=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{D}) \\ &= \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{D})+\mathrm{P}(\mathrm{C}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{C}}(\mathrm{D})\\ &= 0{,}1 \times 0{,}2+0{,}5 \times 0{,}7+0{,}4 \times 0{,}1\\ &=0{,}41 \end{array}

    Remarque

    Depuis la seconde, on sait que P(B)=P(AB)+P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) + \text{P}(\overline{\text{A}} \cap \text{B})A\text{A} et A\overline{\text{A}} forment une partition de l'univers. Ce résultat est généralisé ici.

    DÉMONSTRATION


    P(B)=P(BΩ)=P(B(A1A2An))=P((BA1)(BA2)(BAn))=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn) \begin{array} {ll} \mathrm{P}(\mathrm{B})&=\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \Omega)\\ &=\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap\left(\mathrm{A}_{1} \cup \mathrm{A}_{2} \cup \ldots \cup \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\ &= \mathrm{P}\left(\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right) \cup\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right) \cup \ldots\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\right) \\ &= \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{2}\right)+\ldots \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \cap \mathrm{A}_{n}\right)\end{array}
    puisque les événements Ai\mathrm{A}_{i} et Aj\text{A}_{j} sont incompatibles pour tous entiers iji\neq j et donc les événements BAi\mathrm{B \cap A}_{i } et BAj\mathrm{B \cap A}_{j} aussi.

    Propriété

    Formule des probabilités totales
    On considère une expérience aléatoire d’univers Ω\Omega et un événement B.\text{B}. On note, A1,A2,,An,\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \dots, \mathrm{A}_{n}, nn événements non vides formant une partition de l'univers Ω.\Omega.
    Alors P(B)=P(A1B)+P(A2B)++P(AnB)\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \cap \mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2} \cap \mathrm{B}\right)+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n} \cap \mathrm{B}\right)
    Ou, de manière équivalente :
    P(B)=P(A1)×PA1(B)+P(A2)×PA2(B)++P(An)×PAn(B).\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{1}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{2}}(\mathrm{B})+\ldots+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{n}\right) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{n}}(\mathrm{B}).
    Connectez-vous pour ajouter des favoris

    Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

    Se connecter

    Livre du professeur

    Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

    Votre avis nous intéresse !
    Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

    Peu probable
    Très probable

    Cliquez sur le score que vous voulez donner.

    Dites-nous qui vous êtes !

    Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
    Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

    Nous envoyer un message




    Nous contacter?