Probabilités conditionnelles

1

La probabilité conditionnelle de l'événement $\text{B}$ sachant que l'événement $\text{A}$ est réalisé est une probabilité calculée par la formule ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$ (avec $\text{P(A)}\ne 0$). Cela permet de :

✔ construire un arbre pondéré ;
✔ calculer la probabilité d'une intersection d'événements ;
✔ utiliser la formule : ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$ (avec $\text{P(B)}\ne 0$) ;
✔ compléter un arbre en sens inverse ;
✔ compléter un tableau à double entrée.

2

Un arbre pondéré est un arbre de dénombrement où les branches sont complétées par les probabilités des événements représentés. Cela permet de :

✔ déterminer la probabilité d'une intersection en multipliant les probabilités portées par chacune des branches du chemin ;
✔ déterminer la probabilité d'un événement en additionnant les probabilités de tous les chemins conduisant à cet événement.

3

La formule des probabilités totales généralise la formule $\mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})$ avec les événements ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2,\dots ,{\mathrm{A}}_n$ qui forment une partition de l'univers $\Omega .$ Cela permet de :

✔ calculer la probabilité d'un événement en utilisant une partition ;
✔ retrouver des probabilités en utilisant cette formule et un arbre.

4

Deux événements $\text{A}$ et $\text{B}$ sont indépendants lorsque $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\mathrm{B}).$ Cela permet de :

✔ vérifier mathématiquement que deux événements sont indépendants ;
✔ simplifier certaines répétitions d'expériences aléatoires.