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Cours 1 : Probabilités conditionnelles
P.284-286

COURS 1


1
Probabilités conditionnelles





Sauf indication contraire, et sont deux événements d’un univers tels que

A
Probabilité de l’événement sachant que est réalisé


Définition

La probabilité conditionnelle que l’événement se réalise sachant que l’événement est réalisé se note et est définie par :

Propriété

La probabilité vérifie bien et

Remarque

et sont donc des événements complémentaires.


DÉMONSTRATION
  • On sait que donc
    Puisque il vient d'où

  • Pour tous et () et
    Donc et, puisque soit

Probabilités conditionnelles

Propriété

Si et sont deux événements de probabilité non nulle, alors


DÉMONSTRATION

Par définition, d'où

De même, d'où

On a bien :

Exemple

Si , et alors
puis

Remarque

Comme le souligne l’exemple, il ne faut pas confondre et

Application et méthode

Énoncé

Dans une classe de première,  % des élèves sont des filles et  % des élèves sont des filles demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité qu’un élève soit demi-pensionnaire sachant que c’est une fille ?

Méthode

Pour calculer la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé :
  • on détermine la probabilité de l'événement réalisé et on s'assure que
  • on détermine (par le calcul ou avec l’énoncé) la probabilité de l’intersection
  • on utilise la formule du cours.

  • SOLUTION

    Soient l’événement : « L’élève est une fille » et l’événement : « L’élève est demi-pensionnaire ».
    On a et
    On en déduit la probabilité qu’un élève soit demi-pensionnaire sachant que c’est une fille :


    Pour s'entraîner : exercices 20 et 21 p. 295

    B
    Utilisation de tableaux


    Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles.

    Total
    Total 1

    Remarque


    Ainsi, il y a toujours dans la case en bas à droite du tableau.

    Conventions

  • se lit à l'intersection de la ligne et de la colonne
  • (respectivement ) se lit sur la dernière colonne (respectivement la dernière ligne).
  • ou s'obtient en calculant le quotient des deux probabilités adéquates :
    et

  • Exemple

    Si , et , on a alors le tableau suivant.

    Total
    0,4 0,3 0,7
    0,2 0,1 0,3
    Total 0,6 0,4 1

    Et ainsi :
  • Application et méthode

    Énoncé

    Un club sportif rassemble 180 membres répartis en juniors et seniors. On compte 135 seniors dont 81 hommes.
    Il y a 27 garçons parmi les juniors.
    En choisissant une femme au hasard, calculer la probabilité d’avoir une juniore.

    Méthode

  • On définit les événements pour Homme et pour Junior.
  • On construit un tableau à double entrée que l’on complète à l’aide des informations de l’énoncé et en réalisant des soustractions.
  • On détermine en calculant



  • SOLUTION

    Total
    Total



    Pour s'entraîner : exercices 19 p.295 et 35 p.296
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