La probabilité conditionnelle que l'événement \text{B} se réalise sachant que l'événement \text{A} est réalisé se note \mathrm{P_{A}(B)} et est définie par :
\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.

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Propriété

La probabilité \mathrm{P_{A}(B)} vérifie bien 0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1 et \mathrm{P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.}

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Remarque

\mathrm{P_{A}(B)}+\mathrm{P_{A}(\overline{B})}=1 ; dit autrement, \mathrm{P_{A}(\overline{B})}=1-\mathrm{P_{A}(B)}.

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Démonstration

On sait que \text{A} \cap \text{B} \subset \text{A} donc 0 \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A}).
Puisque \mathrm{P(A) > 0,} il vient 0 \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où 0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1.

Pour tous \text{A} et \text{B}, (\text{A} \cap \text{B}) \cup(\text{A} \cap \overline{\text{B}})=\text{A}
et \mathrm{(A \cap B) \cap(A \cap \overline{B})=\emptyset.}
Donc \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=\mathrm{P}((\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}))=\mathrm{P}(\mathrm{A})
et, puisque \mathrm{P(A) \neq 0,}
\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}+\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1,
soit \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}})=1.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Propriété

Si \text{A} et \text{B} sont deux événements de probabilité non nulle, alors \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

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Démonstration

Par définition, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).

De même, \mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}} d'où \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

On a bien : \mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

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Exemple

Si \mathrm{P(A) = 0\text{,}7}, \mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et \mathrm{P_{A}(B) = \dfrac{4}{7}}, alors
\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,7 \times \dfrac{4}{7}=0\text{,}4 puis

\mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(B)}}=\dfrac{0{,}4}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}.

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Remarque

Comme le souligne l'exemple, il ne faut pas confondre \mathrm{P_{A}(B)} et \mathrm{P_{B}(A).}

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Application et méthode

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Énoncé

Dans une classe de première, 55 % des élèves sont des filles et 40 % des élèves sont des filles demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité qu'un élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille ?

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Méthode

Pour calculer la probabilité de l'événement \text{D} sachant que l'événement \text{F} est réalisé :

on détermine la probabilité de l'événement réalisé \text{P(F) } et on s'assure que \mathrm{P}(\mathrm{F}) \neq 0\,;

on détermine (par le calcul ou avec l'énoncé) la probabilité de l'intersection \mathrm{P(F \cap D)}\:;

on utilise la formule du cours.

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Solution

Soient \text{F} l'événement : « L'élève est une fille » et \text{D} l'événement : « L'élève est demi-pensionnaire ».
On a \mathrm{P(F) = 0\text{,}55} et \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{D})=0\text{,}4.
On en déduit la probabilité qu'un élève soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille :
\mathrm{P_{F}(D)=\dfrac{P(F \cap D)}{P(F)}=\dfrac{0\text{,}4}{0\text{,}55}=\dfrac{8}{11} \approx 0\text{,}73.}

Pour s'entraîner

exercices 20
et 21
p. 295

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B
Utilisation de tableaux

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Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles.

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	\text{B}	\overline{\text{B}}	Total
\text{A}	\mathrm{P(A \cap B)}	\mathrm{P(A \cap \overline{B})}	\text{P(A)}
\overline{\text{A}}	\mathrm{P(\overline{A} \cap B)}	\mathrm{P(\overline{A} \cap \overline{B})}	\mathrm{P(\overline{A})}
Total	\text{P(B)}	\mathrm{P(\overline{B})}	1

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Remarque

\mathrm{P(B) + P(\overline{B})} \mathrm{= P(A) + P(\overline{A})} = 1
Ainsi, il y a toujours 1 dans la case en bas à droite du tableau.

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Conventions

\mathrm{P (A \cap B)} se lit à l'intersection de la ligne \text{A} et de la colonne \text{B}.

\text{P(A)} (respectivement \mathrm{P(B)}) se lit sur la dernière colonne (respectivement la dernière ligne).

\mathrm{P_{A}(B)} (ou \mathrm{P_{B}(A))} s'obtient en calculant le quotient des deux probabilités adéquates :
\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}} et \mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.}

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Exemple

Si \mathrm{P(A) = 0\text{,}7} , \mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et \mathrm{P(A \cap B)} = 0\text{,}4 , on a alors le tableau suivant.

	\text{B}	\overline{\text{B}}	Total
\text{A}	0,4	0,3	0,7
\overline{\text{A}}	0,2	0,1	0,3
Total	0,6	0,4	1

Et ainsi :

\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}1\, ;

\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\overline{\mathrm{A}})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\, ;

\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}3}=\dfrac{2}{3}.

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Application et méthode

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Énoncé

Un club sportif rassemble 180 membres répartis en juniors et seniors. On compte 135 seniors dont 81 hommes. Il y a 27 garçons parmi les juniors.
En choisissant une femme au hasard, calculer la probabilité d'avoir une juniore.

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Méthode

On définit les événements \text{H} pour Homme et \text{J} pour Junior.

On construit un tableau à double entrée que l'on complète à l'aide des informations de l'énoncé et en réalisant des soustractions.

On détermine \mathrm{P_{\overline{H}}(J)} en calculant \dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}.

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Solution

	\text{J}	\overline{\text{J}}	Total
\text{H}	\dfrac{27}{180}=0\text{,}15	\dfrac{81}{180}=0\text{,}45	0\text{,}15+0\text{,}45=0\text{,}6
\overline{\text{H}}	0\text{,}1	0\text{,}3	0\text{,}4
Total	0{,}25	\dfrac{135}{180}=0\text{,}75	1

\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{H}}}(\mathrm{J})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25

Pour s'entraîner

exercices 19
p.295 et 35
p.296

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Probabilités conditionnelles

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BUtilisation de tableaux

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