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COURS 1


1
Probabilités conditionnelles




A
Probabilité de l’événement B\text{B} sachant que A\text{A} est réalisé


Exemple

Si P(A)=0,7\mathrm{P(A) = 0\text{,}7}, P(B)=0,6\mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et PA(B)=47,\mathrm{P_{A}(B) = \dfrac{4}{7}}, alors
P(AB)=P(A)×PA(B)=0,7×47=0,4\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,7 \times \dfrac{4}{7}=0\text{,}4 puis

PB(A)=P(BA)P(B)=0,40,6=23.\mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(B \cap A)}{P(B)}}=\dfrac{0{,}4}{0{,}6}=\dfrac{2}{3}.

Définition

La probabilité conditionnelle que l’événement B\text{B} se réalise sachant que l’événement A\text{A} est réalisé se note PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} et est définie par :
PA(B)=P(AB)P(A).\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}}.


DÉMONSTRATION
  • On sait que ABA\text{A} \cap \text{B} \subset \text{A} donc 0P(AB)P(A).0 \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \leqslant \mathrm{P}(\mathrm{A}).
    Puisque P(A)>0,\mathrm{P(A) > 0,} il vient 0P(AB)P(A)P(A)P(A)0 \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} \leqslant \dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où 0PA(B)1.0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1.

  • Pour tous A\text{A} et B,\text{B}, (AB\text{A} \cap \text{B}) (AB)=A\cup(\text{A} \cap \overline{\text{B}})=\text{A} et (AB)(AB)=.\mathrm{(A \cap B) \cap(A \cap \overline{B})=\emptyset.}
    Donc P(AB)+P(AB)=P((AB)(AB))=P(A)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=\mathrm{P}((\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}))=\mathrm{P}(\mathrm{A}) et, puisque P(A)0,\mathrm{P(A) \neq 0,} P(AB)P(A)+P(AB)P(A)=1,\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}+\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1, soit PA(B)+PA(B)=1.\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})+\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}})=1.

Probabilités conditionnelles

Propriété

La probabilité PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} vérifie bien 0PA(B)1 0 \leqslant \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \leqslant 1 et PA(B)+PA(B)=1.\mathrm{P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.}

Propriété

Si A\text{A} et B\text{B} sont deux événements de probabilité non nulle, alors P(AB)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

Remarque

Comme le souligne l’exemple, il ne faut pas confondre PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} et PB(A).\mathrm{P_{B}(A).}

Remarque

PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} et PA(B)\mathrm{P_{A}(\overline{B})} sont donc des événements complémentaires.


DÉMONSTRATION

Par définition, PA(B)=P(AB)P(A)\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} d'où P(AB)=P(A)×PA(B).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).

De même, PB(A)=P(AB)P(B)\mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}} d'où P(AB)=P(B)×PB(A).\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

On a bien : P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A).\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

Application et méthode


SOLUTION

Soient F\text{F} l’événement : « L’élève est une fille » et D\text{D} l’événement : « L’élève est demi-pensionnaire ».
On a P(F)=0,55\mathrm{P(F) = 0\text{,}55} et P(FD)=0,4.\mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{D})=0\text{,}4.
On en déduit la probabilité qu’un élève soit demi-pensionnaire sachant que c’est une fille :
PF(D)=P(FD)P(F)=0,40,55=8110,73.\mathrm{P_{F}(D)=\dfrac{P(F \cap D)}{P(F)}=\dfrac{0\text{,}4}{0\text{,}55}=\dfrac{8}{11} \approx 0\text{,}73.}

Pour s'entraîner : exercices 20 et 21 p. 295

Méthode

Pour calculer la probabilité de l’événement D\text{D} sachant que l’événement F\text{F} est réalisé :
  • on détermine la probabilité de l'événement réalisé P(F) \text{P(F) } et on s'assure que P(F)0;\mathrm{P}(\mathrm{F}) \neq 0\,;
  • on détermine (par le calcul ou avec l’énoncé) la probabilité de l’intersection P(FD);\mathrm{P(F \cap D)}\:;
  • on utilise la formule du cours.
  • Énoncé

    Dans une classe de première, 5555 % des élèves sont des filles et 4040 % des élèves sont des filles demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité qu’un élève soit demi-pensionnaire sachant que c’est une fille ?

    Sauf indication contraire, A\text{A} et B\text{B} sont deux événements d’un univers Ω\Omega tels que P(A)0.\text{P(A)} \neq 0 .

    Application et méthode


    Méthode

  • On définit les événements H\text{H} pour Homme et J\text{J} pour Junior.
  • On construit un tableau à double entrée que l’on complète à l’aide des informations de l’énoncé et en réalisant des soustractions.
  • On détermine PH(J)\mathrm{P_{\overline{H}}(J)} en calculantP(HJ)P(H). \dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}.



  • SOLUTION

    J\text{J} J\overline{\text{J}} Total
    H\text{H} 27180=0,15\dfrac{27}{180}=0\text{,}15 81180=0,45\dfrac{81}{180}=0\text{,}45 0,15+0,45=0,60\text{,}15+0\text{,}45=0\text{,}6
    H\overline{\text{H}} 0,10\text{,}1 0,30\text{,}3 0,40\text{,}4
    Total 0,250{,}25 135180=0,75\dfrac{135}{180}=0\text{,}75 11


    PH(J)=P(HJ)P(H)=0,10,4=0,25\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{H}}}(\mathrm{J})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}} \cap \mathrm{J})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{H}})}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25

    Pour s'entraîner : exercices 19 p.295 et 35 p.296

    Énoncé

    Un club sportif rassemble 180 membres répartis en juniors et seniors. On compte 135 seniors dont 81 hommes.
    Il y a 27 garçons parmi les juniors.
    En choisissant une femme au hasard, calculer la probabilité d’avoir une juniore.

    B
    Utilisation de tableaux

    Remarque

    P(B)+P(B)=P(A)+P(A)=1\mathrm{P(B) + P(\overline{B}) = P(A) + P(\overline{A}) = 1}
    Ainsi, il y a toujours 11 dans la case en bas à droite du tableau.

    Les tableaux à double entrée permettent une présentation claire de certaines expériences aléatoires et facilitent le calcul des probabilités conditionnelles.

    B\text{B} B\overline{\text{B}} Total
    A\text{A} P(AB)\mathrm{P(A \cap B)} P(AB)\mathrm{P(A \cap \overline{B})} P(A)\text{P(A)}
    A\overline{\text{A}} P(AB)\mathrm{P(\overline{A} \cap B)} P(AB)\mathrm{P(\overline{A} \cap \overline{B})} P(A)\mathrm{P(\overline{A})}
    Total P(B)\text{P(B)} P(B)\mathrm{P(\overline{B})} 1

    Exemple

    Si P(A)=0,7\mathrm{P(A) = 0\text{,}7} , P(B)=0,6\mathrm{P(B) = 0\text{,}6} et P(AB)=0,4\mathrm{P(A \cap B)} = 0\text{,}4 , on a alors le tableau suivant.

    B\text{B} B\overline{\text{B}} Total
    A\text{A} 0,4 0,3 0,7
    A\overline{\text{A}} 0,2 0,1 0,3
    Total 0,6 0,4 1

    Et ainsi :
  • P(AB)=0,1;\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}1\, ;
  • PB(A)=P(AB)P(B)=0,20,6=13;\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\overline{\mathrm{A}})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\, ;
  • PA(B)=P(AB)P(A)=0,20,3=23.\mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{B})=\dfrac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}3}=\dfrac{2}{3}.

  • Conventions

  • P(AB)\mathrm{P (A \cap B)} se lit à l'intersection de la ligne A\text{A} et de la colonne B.\text{B}.
  • P(A)\text{P(A)} (respectivement P(B)\mathrm{P(B)}) se lit sur la dernière colonne (respectivement la dernière ligne).
  • PA(B)\mathrm{P_{A}(B)} ((ou PB(A))\mathrm{P_{B}(A))} s'obtient en calculant le quotient des deux probabilités adéquates :
    PA(B)=P(AB)P(A)\mathrm{P_{A}(B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}} et PB(A)=P(AB)P(B).\mathrm{P_{B}(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.}
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